追尋教學內容的內在價值

【摘 要】正態分布是概率論中最重要的連續型概率模型。高中教材“正態分布”這一節的內容屬于非高考熱點，是許多教師不太重視且畏難的課題。而正態分布在概率統計理論和實際應用中卻占有重要的地位。研究者以“正態分布”教學研究為例，對內容解析與課堂定位、教材中關于素材的處理進行探究，并給出教學思考和建議。

【關鍵詞】正態分布；教學價值；數學文化；數學美

【作者簡介】范世祥，一級教師，蘇州市學科帶頭人，姑蘇教育青年拔尖人才，主要研究方向為高中數學課堂教學研究。

【基金項目】2020年江蘇省基礎教育前瞻性教學改革實驗項目“指向理性精神培育的數學創新實驗課程研究”（2020JSQZ0146）

正態分布是概率論中最重要的連續型概率模型。由于《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》不要求對一般的連續型隨機變量及其分布進行討論，因此在高中階段，我們只研究服從正態分布的連續型隨機變量。但受到知識的限制，正態分布的許多結論無法嚴格證明或直接用于計算，從而給教師的教學和學生的學習帶來一定的困難，往往出現一帶而過的教學現象。為挖掘該課題的內在教學價值，筆者深入研究教學內容，下面結合自身教學實踐，談談對于這一課題的認識與思考。

一、內容解析與課堂定位

1.內容解析

正態分布是概率論中最重要的一種分布，主要體現以下兩個方面。一方面，正態分布是最常見的一種分布，例如測量的誤差、射擊時彈的落點、人的生理特征指標（如身高、體重）、自動流水線生產的各種產品的質量指標（如零件的尺寸、袋裝食鹽的質量）等，都近似服從正態分布；另一方面，正態分布有許多性質，很多分布可用正態分布來近似，在統計中一些重要的分布可以通過正態分布來導出。

從教材的內容安排看，“正態分布”是隨機變量及其分布的最后一節。從本章整個知識框架來看，該章節首先介紹了隨機變量的概念，然后通過兩點分布、二項分布、超幾何分布等具體實例，重點研究了離散型隨機變量及其分布列，以及離散型隨機變量的均值與方差。而正態分布是一種連續型隨機變量的分布，并且正態分布是二項分布的極限，所以很自然地被安排在本章的最后一節。

從知識層面看，本節課需要用到學生已學的知識。例如：統計方面關于數據處理分析的知識；隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差、二項分布等知識；函數的單調性、圖象對稱性、指數函數、二次函數、復合函數等知識。

從當代的科學發展看，統計學作為應用數學的一個分支幾乎滲透到各個科學領域，例如：社會發展與評價、持續發展與環境保護、資源保護與利用、電子商務、保險精算、金融業數據庫建設與風險管理、宏觀經濟監測與預測、政府統計數據收集與質量保證、分子生物學中的統計方法、高科技農業研究中的統計方法、生物制藥技術中的統計方法、流行病規律研究與探索的統計方法、人類染色體工程研究中的統計方法、質量與可靠性工程等。

因此，正態分布是一個承上啟下的課題，不僅給學生提供了豐富的數學知識，而且給學生開啟一扇窗戶，讓他們看到精彩紛呈的科學世界。

2.課堂定位

從本節課的教學內容來看，教學重點是正態分布的概念及性質，教學難點是正態分布概念的形成與理解。尤其是正態分布密度函數解析式的出現，無論是學生還是教師，都覺得這個解析式過于高深，難以理解。

然而從正態分布在數學中的地位以及正態分布的發展歷史來看，本節內容包含了重要的應用價值與文化價值。正態分布這一節課，如果輕視它，從學生的短期利益來看無傷大雅；但如果能重視它，從學生的終身成長來看卻受益匪淺。因此，筆者認為，本節課可定位于數學文化課與研究課。學生通過對正態分布相關知識的學習，了解正態分布的發展歷程，認識統計學的重要性及其應用的廣泛性，體會數學的博大精深與數學的美，培養研究能力，提升學科素養。

二、教材中關于素材的處理研究

1.引入的對比與分析

梳理國內的幾套新舊普通高中數學教材，各版本的教材對“正態分布”的引入方式大體可以分成兩種。第一種方式從具體實例出發，通過描述誤差數據的分布引入，引導學生認識誤差隨機變量的取值不能一一列舉，不能用分布列。以新人教A版高中數學教材為例，教材提供了100袋袋裝食鹽的質量誤差數據，將其看成對誤差變量X的100次觀測值，接著教材給出以下思考：①如何描述這100個樣本誤差數據的分布？②如何構建適當的概率模型刻畫誤差X的分布？通過思考題的引導，引發學生的認知沖突：之前如何刻畫連續型隨機變量的概率分布？進而自然地引出課題。第二種方式是借助計算機模擬，從具體實驗出發引出課題。以舊人教A版高中數學教材為例，教材以高爾頓釘板的演示作為引入。在問題的引導下，利用所學的統計學知識讓學生進行數據處理：從頻率分布直方圖到頻率分布折線圖，再到總體密度曲線，引出正態分布的密度曲線，使學生歷經從離散型到連續型的過渡，形成對正態分布最直觀、最初步的認識。

2.內容的生成與處理

本節課的內容主要分為兩個部分：第一部分是正態分布概念的形成；第二部分是正態曲線的性質探究及應用。對于第二部分，從正態分布密度函數解析式出發，利用函數知識并結合數學軟件等工具，讓學生獲得正態曲線的特點并能利用[3σ]原則解決相關問題。

正態分布的概念有三個層面：第一個層面是直觀層面，鐘形曲線就是（或近似地是）正態曲線；第二個層面是從實例的特征（眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和）理解怎樣的隨機變量服從或近似服從正態分布；第三個層面是正態分布密度函數[φμ，σ（x）=12πσ]? e[-（x-μ）22σ2]，x[∈（-∞，+∞）]的獲得，這一層面恰恰是學生感到最為困惑的，因為學生無法理解這個復雜的解析式是怎么來的。如何使正態分布的概念生成更為自然，讓學生更清晰、準確地理解正態曲線的特點，筆者嘗試從以下視角帶領學生賞析。

（1）歷史視角看曲線

正態分布也稱為高斯分布，因此很多學生都誤以為正態分布是高斯發現的，但事實并非如此，不過高斯對于正態分布歷史地位的確立是起到了決定性的作用。發現正態分布的主角是棣莫弗（De Moivre）和拉普拉斯（Laplace）。1733年，法國數學家棣莫弗利用n！～[2πn（ne）n]這一公式［此為斯特林（Stirling）公式，棣莫弗首先發現后由斯特林加以改進］在研究二項分布B（n，[12]）時，得到了正態分布的密度函數[φ（x）=12π]? e[-x22]；1774年，拉普拉斯證明了[12π][-∞+∞e][-x22]dx=1，之后拉普拉斯把二項分布的正態近似推廣到任意p的情況，并得到了棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理。19世紀初，高斯基于最小二乘理論研究統計誤差的概率密度分布。高斯既提出了極大似然估計的思想，又解決了誤差的概率密度分布的問題，這項工作對后世的影響很大，因此，正態分布也被稱為高斯分布。高斯在數學上建樹頗多，去世前他要求給自己的墓碑上雕刻上正十七邊形（高斯尺規作圖的得意之作）。而后世的德國馬克的鈔票和硬幣上卻是以正態密度曲線來紀念高斯，這足以說明高斯的這項工作在當代科學發展中的作用。正態分布的下一個推動力來自生物學家高爾頓，高爾頓是生物統計學派的奠基人，1877年，高爾頓設計了高爾頓釘板的裝置，模擬正態分布的性質用于解釋遺傳現象。從1733年棣莫弗的工作為開端，到20世紀中前期，正態分布及其相關理論陸續被發現、完善并創建起來。［1］

（2）函數視角看曲線

教師請學生研究函數[f（x）=12π]? e[-x22]，x[∈（-∞，+∞）]的奇偶性、單調性、最大值等，旨在通過復習高中數學必修一中函數的單調性、圖象對稱性、指數函數、二次函數、復合函數等知識，實現對函數解析式[φμ，σ（x）=12πσ]e[-（x-μ）22σ2]，x[∈（-∞，+∞）]的深入理解，進而讓學生掌握正態分布密度曲線的特點。

（3）概率視角看曲線

①曲線與x軸之間的面積為1。

②當[σ]一定時，曲線隨著[μ]的變化而沿x軸平移，如圖1甲所示。

③當[μ]一定時，曲線的形狀由[σ]確定，如圖1乙所示。

[σ]越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；[σ]越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中。

④3[σ]原則

正態變量在區間[（μ-σ，μ+σ）]，[（μ-2σ，][μ+2σ）]，（[μ-3σ，μ+3σ]）內，取值的概率分別是68.3%，95.4%，99.7%；正態變量在[（-∞，+∞）]內的取值的概率為，在區間（[μ-3σ，μ+3σ]）之外的取值的概率是0.3%，故正態變量的取值幾乎都在距x=[μ]三倍標準差之內，這就是正態分布的3[σ]原則。

（4）美學視角看曲線

當正態分布密度函數[φμ，σ（x）=12πσ]e[-（x-μ）22σ2]，x[∈（-∞，+∞）]很自然地一步步呈現出來時，學生既可以從中感受到數學家探索知識的偉大過程，還可以欣賞這個解析式內在的數學美。這個式子完美地包含了數學中的“五朵金花”：圓周率[π]、自然對數的底數e、最小質數的算術平方根[2]、均值[μ]、標準差[σ]。從感受正態曲線的形態美到函數解析式的數字美，這對學生多角度欣賞數學的美，領略數學的魅力，提高數學的美學修養起到積極的作用。

綜上可知，本節課從結構上是“一條線索”——從隨機誤差試驗的探究出發；從內容上有“兩個板塊”——正態分布的概念、正態曲線的性質與應用。在正態分布概念的認識上有“三個層面”——圖形、特征、密度函數。前兩個層面直觀、具體，第三個層面則因為解析式比較抽象，學生較難理解。從貫穿教材及正態分布發展史上看有“三個人物”——高爾頓、棣莫弗、高斯。從數學的美感看，最后盛開的是“五朵金花”——[π]，e，[2]，[μ]，[σ]。如果廣大一線教師能正確地理解和把握這些內容，那么對于這節課的教與學有重要的作用。

三、思考與啟發

1.教學思考尋本質

教師用書建議本節課為一課時，但在一個課時內讓學生既掌握正態分布的相關知識，又能從中感受到其中所蘊含的豐富文化歷史背景，顯然是比較困難的。筆者曾聽過麻省理工學院的一節公開課《正態分布、均勻分布和指數分布》，該教授沒有一板一眼地進行推導公式，而是把大量的時間花在了計算機模擬骰子試驗，談其方法與思想。還有其他一些國外知名大學的視頻課程，這些教授對于具體的定義、定理、例題講得很少，而相關的思想、方法、歷史講得比較多。對于具體的定義、定理、例題等，不同版本的教材、不同教師的講授，都是大同小異，學生完全可以自學。然而這些知識的建立過程及背后的思想和方法，對于學生深刻掌握知識和創新能力的培養至關重要。

如何利用好這節課的文化價值，筆者建議可以布置研究性學習的任務，先讓學生搜集正態分布的起源、發展、應用等相關數學素材，再分組合作寫成研究報告，最后選擇一些出色的小組報告在課堂上給全班學生做展示。這樣可以更好地幫助學生認識正態分布，對他們今后進入高等院校后的學習具有重要作用。

2.提高站位尋價值

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學是人類文化的重要組成部分，高中數學課程應提倡數學的文化價值。筆者認為這節課的價值在高考之外，教師應認真對待這節課，開闊學生的視野，有效提升學生的數學素養，同時也可以促進教師的專業發展［2］。

在高中階段，教師面對“正態分布”這樣一些高考要求不高的課題時，往往表現出畏難情緒或松懈的感覺，有時會采取習題教學的方式對待。事實上，仔細閱讀教材內容，我們會發現許多緊跟時代、緊跟最新科技發展的教學素材，并且教材中幾乎所有的章節都精心設計了“探究與發現”“閱讀與思考”等板塊，對相關內容進行多層面的拓展。如果教師在日常的教學中認真對待這些板塊，放手讓學生多做一些研究，認真鉆研，相信會迎來一個不一樣的數學世界和教學生態。

因此，教師應該要轉變觀念，基于學生核心素養的培養，立足教材內容，開闊學生視野，充分挖掘教學內容背后的價值和本質，才能真正為拔尖創新人才的培養貢獻力量。

參考文獻：

［1］陳希孺.數理統計學簡史［M］.長沙：湖南教育出版社，2002.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責任編輯：陸順演）