一類Z2對稱三次jerk系統的zero-Hopf分支*

胡小燕，桑波

聊城大學數學科學學院，山東 聊城 252059

考慮n維自治系統

其中f充分光滑，x∈Rn為狀態變量。設系統以x=x0為孤立奇點，即f(x0)= 0；進一步地，若雅可比矩陣Df(x0)具有一對非零純虛根和一個n?2 重零根：λ1，2= ±ωi，λ3= …=λn= 0，則此奇點稱為zero-Hopf 奇點。此時對系統（1）進行適當的微擾，可以分支出若干個小振幅極限環（桑波，2014；熊峰等，2017；熊峰等，2018），此現象稱為zero-Hopf分支。在西班牙數學家Jaume Llibre 的推動下，目前此類分支的研究已成為熱點，參見（Llibre et al.，2009；Llibre et al.，2020a；Llibre et al.，2020b；Barreira et al.，2020，Braun et al.，2021）。其中Llibre et al.（2009）運用一階平均法討論了n維自治系統的zero-Hopf 分支；Llibre et al.（2020b）運用一階平均法討論了23 類三維混沌系統的zero-Hopf 分支，由此探討了隱藏吸引子的產生機理。需要指出的是，在微分方程定性理論和分支理論的研究中，平均法作為重要的研究工具有著非常廣泛的應用（Llibre et al.，2014；李時敏等，2015）。

形如

的微分系統稱為jerk系統，其中J為連續可微函數。在適當條件下，此類系統具有復雜的動力學行為，如混沌和隱藏吸引子（王震等，2017）。

對于一般二次jerk 系統，Sang et al.（2020）利用四階平均法討論了zero-Hopf分支，證明系統至多可分支出3 個小振幅極限環。對于一類特殊的Z2對稱三次jerk 系統，Braun et al.（2021）利用二階平均法討論了原點處的zero-Hopf 分支，證明系統至多可分支出3 個小振幅極限環；然而此系統項數較少，本文考慮更一般的系統，從而改進已有的結果。

1 系統的構造和主要結果

令H1，H3分別表示所有齊一次多項式、齊三次多項式構成的線性空間，這里的多項式以x，y，z為變量。根據線性空間的基本理論，可驗證

其中

并且Dim(H1)= 3，Dim(H3)= 10.考慮一類Z2對稱三次jerk系統

這里

且ε為小參數。當ε= 0 時，系統以原點為zero-Hopf 奇點。當小參數ε≠0 時，本文利用四階平均法討論小振幅極限環的個數問題。需要說明的是，在J3中φk的系數只需展開到ε2.事實上如繼續展開，不會影響前四階平均函數的計算結果和極限環個數的估計。

定理1 通過分析系統（3）的二階到四階平均函數，可依次得到小振幅極限環個數的上界Nl：l=2，3，4，其中N2=N3= 3，N4= 5，這些上界都是可達的。

2 平均法

設D??n為有界開區域，S1= ?/(2π?).考慮連續函數Fi：S1×D→?n，i= 1，2，…，k，R：S1×D×(?ε0，ε0) →?n；它們關于θ皆以2π為周期。

考慮方程

引理1 對于系統（4），假設其右端函數連續且滿足如下條件：

（i）對每一個θ∈S1，Fi(θ，?) ∈Ck?i；Dk?iFi關于ξ滿足局部Lipschitz 條件；R關于ξ滿足局部Lip‐schitz條件，這里1 ≤i≤k.

（ii）假設f1=f2= …=fr?1= 0 且fr不恒為零，其中1 ≤r≤k；設a∈D：fr(a) = 0，且存在以a為中心的鄰域V?D使得fr(z) ≠0，?z∈Vˉ {a}；設dB(fr(z)，V，0) ≠0，即fr在原點的Brouwer度非零。

則當|ε| > 0充分小時，系統（4）存在一個關于θ周期為2π的解ξ(θ，ε)，使得ξ(0，ε) →a，ε→0.

注1 注 意 到 在 條 件（ii）中，a是fr在V中 唯 一 的 孤 立 零 點。根 據Krawcewicz et al.（1997），由detDfr(z)|z=a≠0，可推出dB(fr(z)，V，0) ≠0.

注2 令k= 4且引理1中條件（i）成立，則方程（4）的前四階平均函數依次為

其中

3 標準系統

經過線性變換

和柱面坐標變換

系統（3）變為

其中

需要說明的是在H(ε，θ，r，w)中εk的系數具有規律性，這正是在第1部分給出線性空間H1，H3生成元的用意所在。

當r> 0充分小時，以θ為新的獨立變量，系統（5）等價于

這里ξ=(r，w)，Fk及余項關于θ皆以2π為周期，k= 1，2，3，4.

令Fk(θ，ξ) =(Fk1(θ，ξ)，Fk2(θ，ξ))，則Fk1= ?sinθFk2，且有

至此原系統（3）已變為系統（6），即符合形式（4）的標準系統。

4 主要結果的證明

利用平均函數遞推公式，可得系統（6）的前四階平均函數：

這里

其中fi關于f1= …=fi?1≡0已化簡，ξ=(r，w).

由于方程f1(ξ) = 0 不存在孤立的解，使得r> 0，故當 |ε|> 0 充分小時，由一階平均法無法得到小振幅極限環的個數信息。

引理2 當 |ε|> 0充分小時，由二階平均法可知，系統（3）至多存在3個小振幅極限環，且此上界是可達的。

證明在計算第二階平均函數（8）時，已置f1(ξ) ≡0.方程f2(ξ) = 0的孤立解對應系統（3）的小振幅極限環。

令f2(ξ) =(f21，f22)T.注意到r> 0，由f21= 0得到

代入f22得

由于f22關于w至多有3個零點，所以方程f2(ξ) = 0至多存在3個簡單解。根據引理1，系統（3）至多存在3個小振幅極限環。

當a22c20< 0，(a32c90?a22c100)(c20c100?c90c50)> 0，(a22c50?a32c20)(c20c100?c90c50)> 0 時，方程f2(ξ) =0關于ξ=(r，w)具有3個簡單解(ri，wi)，其中

根據引理1，此時系統（3）恰有3個小振幅極限環。

引理3 當 |ε|> 0充分小時，由三階平均法可知，系統（3）至多存在3個小振幅極限環，且此上界是可達的。

證明在計算第三階平均函數（9）時，已置f1(ξ) =f2(ξ) ≡0.由于f3(ξ)與f2(ξ)具有相同的代數結構，仿照引理2的證明過程，此引理得證。

引理4 當 |ε|> 0充分小時，由四階平均法可知，系統（3）至多存在5個小振幅極限環。

證明在計算第四階平均函數（10）時，已置f1(ξ) =f2(ξ) =f3(ξ) ≡0.

在（10）中，令f42= 0，得到如下兩種情形：

（I）w= 0，

考慮情形（I），將w= 0代入f41可得f41=rM(r2)，其中M(r2)是關于r2的二次多項式。由于r> 0，所以f4(ξ) = 0關于ξ=(r，w)至多存在2個簡單解，滿足r> 0，w= 0.

對于情形（II），將w2的值代入f41可得

其中N(r2)是關于r2的三次多項式。由于r> 0，所以對于情形（II），f4(ξ) = 0關于ξ=(r，w)至多存在3 個簡單解。

綜合以上兩種情形，f4(ξ) = 0 關于ξ=(r，w)至多存在5 個簡單解，滿足r> 0.根據引理1，系統（3）至多存在5個小振幅極限環。

推論1 當 |ε|> 0充分小時，由四階平均法可知，系統（3）可以存在5個小振幅極限環。

證明在引理4的證明中，為敘述方便，我們引入記號M(r2)，N(r2).它們的定義為

其中

容易看出這些系數是線性無關的。而n3，n2，n1，n0中部分系數非常復雜，在此不一一列出；可以證明{n3，n2，n1，n0}是線性無關的?；谙禂档木€性無關性，在適當的系數條件下，f4(ξ) = 0 關于ξ=(r，w)存在5個簡單解，滿足r> 0.從而引理4中小振幅極限環個數的上界5是可以取到的。

定理1的證明綜合引理2～4 和推論1 的結果，即可得到定理1 的結論：利用二階到四階平均法，可依次得到小振幅極限環的最大個數N2=N3= 3，N4= 5，且這些上界都是可達的。