超聲波空化效應沖流壓的模擬分析

高金澤,黃斐君,韓潤澤,張 昊,景鵬飛

(1. 北京師范大學 物理學系,北京 100875; 2. 中國科學院高能物理研究所 粒子天體物理重點實驗室,北京 100049)

本文探究的問題源于第34屆國際青年物理學家錦標賽(IYPT)的課題之一:浸潤在超聲波水浴中的細管像泵一樣把水提升到一個相當的高度,如圖1. 這一現象被稱為超聲毛細現象,它是由超聲波空化效應產生的沖流壓造成的[1,2]. 空化效應是指存在于液體中的微氣核空化泡在聲波的作用下振動,當聲壓達到一定值時發生的生長和崩潰的動力學過程,氣泡被壓縮直至崩潰的一瞬間,會產生巨大的瞬時壓力[3].

圖1 未超聲浴與超聲浴對比示意圖

關于此現象,有的研究認為造成細管內液面顯著升高的空化效應與超聲波聲壓幅值大小成正相關[2],有研究說明了超聲功率、液面高度等不同因素對空化效應的空間分布特性的影響[4],但均未探究空化效應產生的沖流壓的具體數值與在水浴內的分布.實際上,根據超聲波聲壓、環境壓強和空化泡半徑等物理量將能計算空化效應的沖流壓大小,進而得到液面上升高度的理論值. 為了方便閱讀,本文用到的所有物理量及其含義列在表1中.

表1 物理量及其含義

1 空化效應基本理論

1.1 宏觀力學分析

超聲波聲源位于水浴底部,近似看作點源. 實驗結果表明[5,6],僅由聲壓作用造成的水面上升高度比實際觀察到的高度要小一個數量級以上,且只有聲壓幅值達到空化效應的閾值時,水面才出現顯著的上升。因此,聲壓對超聲毛細現象的直接貢獻很小,主要通過影響空化強度間接影響管內水面的高度。故本文探究水位提升的原因主要由兩部分組成:毛細作用和超聲波特有的空化效應導致的沖流壓.

液面在細管中上升的高度記為ΔH,其由毛細作用產生的ΔHc和超聲波的作用產生的ΔHp兩部分引起,如圖2所示,產生的總壓強Δp滿足

圖2 未超聲浴與超聲浴管內水面高度對比示意圖

Δp=ρgΔH

(1)

未打開超聲波泵時,毛細管內水面在毛細作用下上升一段高度ΔHc并保持平衡,其滿足[7]

(2)

其中σ為表面張力系數,ρ為液體密度,g為重力加速度,r0為細管半徑,θ是浸潤角.由于水與管壁的浸潤,對于水和潔凈的玻璃,近似有

θ≈0

(3)

則表面張力的附加壓強:

(4)

打開超聲波泵,水面繼續上升ΔHp,滿足[6,8]

ps=ρgΔHp

(5)

ps為宏觀沖流壓,即空化效應產生的壓強[9,10].

1.2 COMSOL仿真聲壓分布

通過COMSOL Multiphysics仿真軟件進行仿真,得到系統的聲壓分布.其中,超聲波泵的超聲功率P=80 W,超聲頻率f=40 kHz,聲速c=1 482 m/s,超聲波波長λ=0.037 05 m,液體密度ρ=1 000 kg/m3.

在壓力聲學的頻域(ACPR)模塊模擬,超聲波在水浴中傳播的聲壓pr滿足亥姆霍茲方程

(6)

其中,ω為超聲波的角頻率。圓柱形水浴半徑10 cm,高20 cm,令半徑0.3 cm,高30 cm的細管插入水浴中,得到聲壓分布,如圖3所示.

圖3 容器內聲壓分布圖

圖4 空化效應顯著范圍示意圖

圖5 空化泡半徑R(x,t)

圖6 空化泡半徑變化率dR/dt

根據聲壓幅值可以判斷空化效應的有效發生區,并將對應數值代入式(7) ～(11)進行計算.

1.3 宏觀沖流壓

空化泡急劇壓縮、崩潰的瞬間會產生巨大的瞬時壓力,在水中形成高速噴射的沖流,沖流定向移動產生宏觀沖流壓ps[11],使得細管內液面顯著上升.

設空化泡運動過程絕熱,空化泡穩態半徑為R0,瞬態半徑為R.設環境溫度為T=308.15 K,根據公式計算得介質比熱為γ=1.33,表面張力系數為σ=0.070 4 N/m,黏度為μ=7.43×10-4Ns/m2,環境壓強p0=1.013×105Pa,水的飽和蒸汽壓為pv=5.63×103Pa,則由空化泡振蕩模型理論[12]：

(7)

其中pt=p0-pv+2σ/R0為與時間無關的壓強量,κ(R)=(R0/R)3γ為絕熱過程帶來的無量綱數,與空化泡瞬態半徑有關,pa是超聲浴內的聲壓幅值.

由pt、κ、pv可以表示泡內氣體壓強pin(R):

pin(R)=pv+pt*κ(R)

(8)

單個空化泡崩潰時的沖擊波產生的壓強為[13]

(9)

其中p1、p2滿足

其中r是某點距空化泡的距離,Λ=Rmax/Rmin,pe是周圍液體介質的靜壓強,pgl是空化泡達到最大半徑時泡內的壓強,即(8)式pgl=pin(Rmax).Rmax是空化氣泡在超聲波的負壓相逐漸膨脹的最大半徑,Rmin是之后空化氣泡在超聲波正壓相下壓縮至的最小半徑,二者可以通過MATLAB計算的R和dR/dt隨時間變化的圖像中得到,如圖7—圖9所示.

圖7 pa=1.1×105Pa時R(t)與

圖8 pa=1.4×105Pa時R(t)與

圖9 pa=1.7×105Pa時R(t)與

空化效應發生需要液體聲壓達到一定閾值,為確定空化效應的發生范圍,需要用到超聲波水浴中聲壓大小的分布.空化效應發生的聲壓閾值滿足Blake聲空化閾表達式[12]：

(10)

聲壓在該閾值pB以上的區域稱為有效發生區,如圖4.假設空化效應的有效發生區為距聲源距離為D的半球形區域,設細管底部距離容器底部的距離為d,外部水面距離容器底部的距離為H.

在實際情況中,一定時間一定體積內存在著多個空化泡,存在多個空化泡的形成和潰滅,該相變過程稱為成核事件[14].設單位時間單位體積內成核數為成核率J,則空化效應產生的壓強和成核率成正相關,成核率滿足[15]

(11)

在室溫T=308.15 K情況下,J0滿足文獻[11]中定義,由式(11)可得成核率J=7.5×105sm3.

根據式(9),位于r位置的氣泡對水面的沖流壓為p(|r-d|),如圖4采用的是球坐標,θ是空間點的俯仰角,則空化有效發生區內總沖流壓ps為

(12)

通過MATLAB求解常微分方程式(7),得到R和dR/dt隨時間變化的圖像,從而得到相應的Rmax、Rmin代入式(9),再通過積分得到宏觀沖流壓ps,根據式(5)得到液面上升高度隨距聲源距離變化的理論曲線.

2 MATLAB程序模擬

設置超聲頻率f=40 kHz, 聲速c=1 482 m/s,超聲波波長λ=0.037 05 m,液體密度ρ=1 000 kg/m3,利用MATLAB模擬計算.圖5、6分別展示了空化泡半徑和空化泡半徑變化率隨時間、空間的變化情況.可見,空化泡半徑隨著時間周期性變化,且離聲源的距離越遠,空化泡半徑的值也越小.

分別令聲壓幅值pa為1.1×105Pa,1.4×105Pa,1.7×105Pa,空化泡的半徑及其變化率隨時間的變化如圖7～9所示.隨著聲壓幅值的增加,空化泡半徑在一個周期內隨時間的振蕩現象顯著減弱,氣泡超聲空化現象的劇烈程度迅速增加.

分別將不同將聲壓幅值情況下的Rmax、Rmin從計算結果中提取出來,代入式(9),通過式(12)積分得到宏觀沖流壓ps.

3 實驗探究

3.1 實驗裝置

如圖10所示,實驗裝置由超聲波清洗機、有機玻璃細管、鐵架臺、刻度尺組成．

圖10 實驗裝置示意圖

超聲波清洗機提供超聲波,鐵架臺用來固定細管入水深度,刻度尺用來測量細管內液面上升高度．超聲波清洗機的超聲功率為80 W,超聲頻率為40 kHz.有機玻璃細管外徑3.0 mm,內徑1.7 mm．實驗裝置實物圖如圖11所示．實驗過程中,通過手機錄像調制幀率60 fps,記錄細管管底距聲源不同距離時管內液面上升高度,并用Tracker軟件逐幀追蹤取上升高度關于時間的平均值ΔHp.

圖11 實驗裝置實物圖

3.2 實驗結果及理論驗證

將有機玻璃細管置于距聲源不同距離進行實驗,得到相應的液面上升高度ΔHp. 實驗值與式(12)得到的理論曲線對比如圖12,二者基本相符.橫坐標的誤差棒由刻度尺誤差決定,縱坐標的誤差棒由細管內液面高度隨時間變化的標準差估計,Tracker內置算法、攝像時差和視頻標點等的誤差約為1 mm[16],相較于液面高的時間標準差可忽略不計.

圖12 液面上升高度與距聲源的距離關系圖象

由于超聲波清洗機的超聲功率和超聲頻率不可變,本文只驗證了液面上升高度隨管底距聲源的距離的關系. 由上述分析,超聲功率只對COMSOL模擬的聲壓有影響,超聲功率越大,聲壓幅值越大,與管底距聲源的距離減小帶來的效應是相似的;而超聲頻率會影響空化泡的振蕩過程,在我們的理論中只用到了振蕩過程中的空化泡半徑最大值和最小值,所以對超聲毛細現象沒有影響. 這兩方面的實驗驗證需要功率與頻率可調節的超聲波發射儀.

4 總結

本文根據超聲空化理論對細管內液面升高的超聲毛細現象進行了解釋,探究了插有細管的超聲波水浴內的沖流壓大小,將上升高度的實驗值與理論值相比較,驗證了沖流壓作用使得管內液面高度出現顯著的上升.

在空化泡動力學理論部分,通過COMSOL模擬水浴內聲壓分布,得到聲壓的大小.利用MATLAB解偏微分方程并積分得到空化泡半徑及其變化率隨空間、時間的變化情況.計算了在不同聲壓幅值條件下空化泡半徑及其變化率隨時間的變化情況,進而積分計算沖流壓的大小.

在實驗操作部分,通過實驗裝置記錄細管距聲源不同距離時,管內液面上升高度的平均值?Hp.將實驗值與理論值對比,實驗結果與理論相符,通過空化效應理論解釋了超聲毛細作用導致的細管內液面高度上升現象.