基于雙相準零剛度系統的緩沖隔振超結構設計

王 笑，康 驍

（北京理工大學，先進結構技術研究院，北京，100081）

0 引言

近年來，航空航天中的振動、沖擊問題持續引發關注。航天設備在運行過程中容易受到正弦激勵、隨機激勵和沖擊等作用，尤其是火箭火工分離過程易對箭體搭載設備產生危害甚至導致設備的損壞，進而影響飛行安全，設計相關緩沖支撐裝置對保障設備在沖擊環境下的使用安全具有重要意義。圍繞以上問題，眾多專家學者提出一系列減振措施，使用最廣泛的是用粘彈性阻尼材料進行減振的方法［1］，這種方法也被稱為阻尼減振方法［2］，例如金鳴等［3］提出的金屬橡膠減振器，可以在保證剛度的情況下起到很好的阻尼減振效果。趙程等［4］用金屬橡膠和硅橡膠制備了新的復合材料，但所制備的復合材料的實際動態損耗因子不高，此結構在實際應用時局限性較大。

上述緩沖裝置如硅橡膠、金屬橡膠通過材料的粘彈性或內部金屬絲之間滑移、擠壓產生的摩擦來消耗能量，達到緩沖隔振效果。然而，其在受到較大沖擊后易產生永久變形，影響設備安裝定位，塑性變形也阻礙了其再利用，造成了資源與成本的浪費。為解決這一問題，本文引入了基于軟硬相復合的雙相準零剛度單元的緩沖隔振超結構，該結構由聚乳酸（Polylactic Acid，PLA）準零剛度非線性骨架以及橡膠填充物組成。其中，準零剛度骨架具有高靜低動剛度的特點［5-6］，能在滿足承載的前提下實現低頻隔振的效果，而PLA材料為結構提供了較好的變形可恢復性。橡膠填充物通過產生動態的應力應變，將一部分能量儲存為勢能［7］，其阻尼特性將另一部分能量轉換為熱能耗散在空氣中。將這兩種具有優異力學特性的結構或材料相結合，設計得到的超結構具有優秀的緩沖隔振性能。同時對結構的力-位移承載曲線的設計可滿足設備的安裝剛度需求。本文利用解析手段結合動力有限元數值仿真對該緩沖結構的緩沖、承載功能進行了設計，并對分離過程的沖擊響應進行了計算分析。該研究為火工分離中的設備提供了新的緩沖隔振解決方案。

1 研究背景

1.1 問題描述及緩沖支撐裝置的應用背景

在火箭火工分離過程中需要設計緩沖支撐裝置，保護設備在沖擊環境下的使用安全。如圖1所示，設備本體尺寸200 mm×50 mm×50 mm，質量為2 kg，質心在設備形心。設備底部設4 個安裝耳片，通孔Φ5.5 mm，使用4 個M5 螺釘安裝，螺釘長度可以調整。

圖1 設備本體結構Fig.1 Device body structure

1.2 準零剛度結構的優勢及應用

隨著現代機械設備越來越精密化和輕型化，低頻和超低頻隔振技術越來越受關注。傳統的硅橡膠隔振支座由于自身剛度較大，在低頻隔振上效果有限。準零剛度隔振器通過引入負剛度機制能有效降低系統整體剛度，從而在不犧牲承載能力的前提下提高低頻隔振性能。這類負剛度力學超材料具有特殊的力學性質，能在受約束條件下吸收和消耗大量能量，并且有可恢復性。因此，其在沖擊吸能和減振降噪方面具有很大的應用潛力。

準零剛度振動控制依賴于負剛度機制，目的是用負剛度來抵消正剛度，從而達到接近零的系統剛度，通常通過使用被動或主動/半主動的負剛度機構來實現。被動機構主要包括機械彈［8-9］、預屈曲梁［10-11］、磁性結構［12］、仿生結構［13］和復合結構［14］。

準零剛度結構適合用作緩沖隔振支撐，以往對準零剛度隔振器的研究主要集中在支撐汽車座椅［15］和發動機保護，如圖2所示［15］，尚未用于火箭分離。隨著增材制造技術的進步，超結構在吸能和隔振方面得到應用。其吸能原理來自單胞中通過屈曲實現的負剛度。串聯這些單胞可實現理想的沖擊保護和能量吸收。超結構作為一種具有先進機械和物理性能的人造結構，獨特的性能嚴格依賴于內部周期單胞的構型，而非材料的固有屬性。

圖2 汽車座椅系統的隔振模型Fig.2 Vibration isolation model of vehicle seat system

2 緩沖隔振超結構胞元設計

2.1 結構模型

本文設計的超結構如圖3a 所示，其單胞由正弦梁、一對半圓拱和剛性壁組成。由于固支正弦梁在水平荷載作用下呈負剛度，而半圓拱在豎向荷載作用下呈正剛度，通過正負剛度的適當配合可在單胞以及整個超結構中實現準零剛度，如圖3b 所示。如圖3c 所示，正弦梁的形狀由y=h/2［1-sin（2π（x-l1/4）/l1）］給出。正弦梁和半圓拱都通過厚度為t的剛性壁連接。

圖3 準零剛度超結構模型Fig.3 Quasi-zero stiffness metastructure model

2.2 超結構的力學模型

正弦梁在中心施加位移的力學行為可以通過使用直固梁屈曲模態的模態疊加來近似模擬。根據文獻［16］，當正弦梁的參數滿足h/t1≥6 時，其力-位移曲線可以近似地用3 條相連的直線表示，如圖4所示。

圖4 正弦梁與半圓拱的力-位移曲線Fig.4 Force-displacement curve of the sinusoidal beam and the semicircular arch

力-位移曲線中相應的參數如下：

式中E為構成材料的楊氏模量；I1為梁的轉動慣量。正弦梁在這3個不同階段的剛度可推導為

對于以彎曲為主的半圓拱，豎向位移作用下的力-位移曲線可近似表示為正剛度彈簧單元，如圖4所示。根據梁理論，半圓拱的剛度與組成材料的楊氏模量E、半圓拱的轉動慣量I2和半圓拱長度l2的立方的倒數成正比。因此，半圓拱的剛度可表示為

其中α是一個無量綱系數。需要注意的是，不同截面對應的無因次系數既可以通過彈性分析求得，也可以通過有限元法求得。

當正弦梁和半圓拱串聯，豎向位移作用下的單胞剛度為兩者剛度之和，因此，單胞的力-位移曲線也可以用3條相連的直線表示。通過調節正弦梁和半圓拱的結構參數來調節剛度，滿足2kb稍大于ka2的絕對值，在如圖5 所示的Ⅱ區域獲得準零剛度。單胞的剛度表達式可由式（4）求得：

圖5 單胞的力-位移曲線Fig.5 Force-displacement curve of unit cell

圖3b顯示超結構由水平和垂直排列的單胞組成。假設水平方向的單胞數為m，垂直方向的單胞數為n。根據串并聯彈簧理論，具有（m，n）個單胞的超結構的剛度和相應的垂直位移為

根據實際工程中的設備質量來確定承載需求，根據力-位移承載曲線反向設計可滿足設備安裝剛度需求的超結構，同時調整正弦梁和半圓拱使其剛度相互配合來獲得低動剛度滿足隔振性能。

3 隔振性能分析

3.1 靜力數值模擬

使用軟件進行有限元分析以研究受壓超結構的力學性能。如圖6所示，分別計算了準零剛度單胞與雙相準零剛度單胞的靜力學性能，結構參數l1=10 mm，t1=0.2 mm，h=1.2 mm，b1=10 mm，l2=6 mm，R=1.5 mm，b2=10 mm，t2=0.31 mm，t=10 mm。超結構采用20 節點二次方塊、簡化積分實體單元（C3D20R）建模，并進行網格靈敏度收斂研究以確保準確性。超結構底部完全固定，頂部表面與參考點耦合并在五個自由度上受到約束，通過對頂部參考點施加恒定的速度載荷來對整個結構進行加載，同時約束結構兩側僅允許壓縮方向的位移。只允許在壓縮方向上進行平移。模擬中準零剛度骨架為PLA，其生產原料為可再生能源，可降解，對環境友好，并且有較好的強度和延展性。采用彈塑性模型對PLA 進行有限元仿真計算，材料參數［17］見表1。橡膠采用Mooney-Rivlin 超彈性本構模型，在小應變范圍內（0～100%拉伸和30%壓縮）能夠較好地表征橡膠材料的力學行為，材料參數見表2。

表1 PLA材料參數Tab.1 Material parameters of PLA

表2 橡膠材料參數Tab.2 Material parameters of rubber

圖6 單胞的有限元模型Fig.6 Finite element model of unit cell

3.2 模擬結果分析及數學模型建立

圖7為準零剛度單胞與雙相準零剛度單胞在頂部表面相同位移D下的變形結果，輸出結構的力-位移曲線如圖8所示，在初始階段，正弦梁和半圓拱均為正剛度，反作用力隨著位移的增大而迅速增大。當壓縮位移超過一定值，正弦梁會經歷一次失穩突變行為，從而產生負剛度特性，與半圓拱的正剛度疊加使得結構出現準零剛度特性，隨著壓縮位移繼續增大，正弦梁過渡到另一個穩態結構，結構總剛度增大到正值。對比圖8中的力-位移曲線發現，有橡膠填充的雙相準零剛度單胞相較于無填充的準零剛度單胞的承載明顯提高，說明其抵抗變形的能力增強。

圖7 單胞位移云圖Fig.7 Displacement nephogram of unit cell

圖8 力-位移曲線對比Fig.8 Comparison of force-displacement curve

通過圖7可以看出結構會產生大變形，具有很強的幾何非線性，難以得到結構力-位移曲線的解析公式。因此采用基于有限元靜力計算結果的擬合曲線來表示結構變形過程的靜力學關系。采用數據擬合工具箱運用三次多項式擬合，以設計靜平衡位置為位移坐標零點，以設計靜承載力為力坐標零點，對力-位移曲線進行平移，平移后的曲線如圖9所示，曲線初始部分具有較高的靜剛度，為承載段，能夠支撐較大的質量。靜平衡位置附近的準零剛度段，具有極低的動剛度，為隔振段，能夠實現低頻隔振。

圖9 力-位移曲線及其多項式擬合曲線Fig.9 Force-displacement curve and polynomial fitting curve

雙相準零剛度單胞的回復力與位移的關系寫成三次多項表達式為

式中K1，K3分別為一次和三次多項式的擬合系數，本算例中K1=0，K3=1.9 N/mm3。

將雙相準零剛度隔振系統簡化為單自由度質量-彈簧-阻尼系統，如圖10 所示?？紤]阻尼C的影響，被隔振體質量M使系統處于靜平衡位置，在簡諧激勵fB=Fcos（ωt）的作用下，非線性動力學系統的單自由度有阻尼受迫振動運動方程為

圖10 雙相準零剛度隔振系統力學模型Fig.10 Mechanical model of dual phase quasi zero stiffness vibration isolation system

無量綱化后：

3.3 幅頻特性曲線

采用諧波平衡法來求解雙相準零剛度隔振系統的非線性運動方程（9），忽略高次諧波項，設系統的主共振響應為

式中A為系統響應的幅值；Ω為簡諧激勵頻率；θ為系統響應的相位，均為常數。將此解代入式（9），求得系統幅頻特性方程如下：

從式（11）中可以看出，響應幅值A隨激勵力的變化是非線性的，并且受到阻尼比ζ和激振力幅值F的影響。通過數值計算得到阻尼比對幅頻特性的影響如圖11所示，其中γ1為0，阻尼比會影響系統跳躍現象，隨著阻尼比增大，幅頻特性曲線向右彎曲的程度逐漸減小，響應幅值峰值也減小。當阻尼比增大到0.1時，達到臨界阻尼比，此時系統的跳躍現象消失。

圖11 當γ3=75,=0.005時阻尼比對系統幅頻特性曲線的影響Fig.11 Influence of damping ratio on amplitude-frequency curves of system for γ3=75,=0.005

圖12 當γ3=75,ζ=0.05 時激振力幅值對系統幅頻特性曲線的影響Fig.12 Influence of exciting force magnitude on amplitudefrequency curves of system for γ3=75,ζ=0.05

3.4 力傳遞率

力傳遞率是評價隔振器隔振效果的指標，對于單自由度線性系統，力傳遞率T可以定義為隔離質量M所受力Ft與外部激振力F之比，用分貝的形式表示為

而雙相準零剛度系統的力傳遞率與阻尼比和激振力幅值有關，無量綱化后用分貝形式表示為

圖13 為雙相準零剛度系統與其等體積的橡膠隔振系統的力傳遞率對比。雙相準零剛度系統的無量綱剛度γ1=0，γ3=75，橡膠隔振系統無量綱剛度γ1O=2 280。當傳遞率小于0 dB 時，隔振系統才具有隔振效果，從圖13 可以看出，線性隔振系統的幅頻特性曲線沒有跳躍現象，通過選取合適的激振力幅值，雙相準零剛度系統的隔振起始頻率顯著低于其等體積的橡膠隔振系統，有效隔振頻帶更寬。這表明雙相準零剛度系統在保證承載的前提下具有更好的隔振效果，解決了傳統橡膠類線性隔振系統因自身剛度大而無法實現低頻隔振的局限性問題。

圖13 當ζ=0.03,=0.1 時橡膠隔振系統和雙相準零剛度系統的力傳遞率比較Fig.13 The comparison of force transmissibility between rubber system and phase QZS system for ζ=0.03,=0.1

4 緩沖性能分析

4.1 雙相準零剛度系統阻尼能量耗散機制

當結構受到沖擊時，準零剛度骨架在振動過程中反復拉伸、壓縮內部橡膠填充物，導致橡膠內部產生摩擦并耗散能量。由于PLA的剛度遠大于橡膠，當準零剛度骨架變形時，靠近骨架界面的橡膠變形小，遠離骨架界面的變形大，這種不一致的變形使得PLA和橡膠之間的界面產生粘滯效應，進一步產生相應的阻尼耗散。

4.2 沖擊動力學數學模型建立

為了便于分析，將緩沖系統簡化為單自由度無阻尼線性系統，如圖14a所示。其中相對基礎位移為δ，根據相對坐標系的動量定理，以δ為廣義坐標，建立緩沖系統動力學模型為

圖14 計算數學模型Fig.14 Computational mathematical models

為求得微分方程（14）的解析解，依據加速度增量相等原則，把輸入加速度的脈沖曲線轉換為便于計算的矩形脈沖曲線，如圖14b所示。

其中矩形脈沖加速度時程的峰值為，加速度持續時間為

把初始條件δ(0)=0 和(0)=0 代入微分方程（14），考慮脈沖加速度作用時間非常短，滿足參數條件ωnτ?1，可得：

因此緩沖物體絕對加速度為

加速度最大值為

由式（19）可以看出，當沖擊時間非常短時，在一定沖擊強度下，彈性系統的剛度k越小，緩沖物體絕對加速度越小，而準零剛度系統在靜平衡位置具有低動剛度，因此具有優秀的緩沖能力。

4.3 雙相準零剛度系統沖擊仿真

對于考慮阻尼的非線性動力學系統，很難求得其沖擊響應的解析解，為研究雙相準零剛度系統對于爆炸分離沖擊響應的防護效果，進行動力學仿真計算。將上文中所設計的單胞進行了2 行4 列的陣列，并結合所需保護的設備本體進行耦合仿真計算，有限元仿真模型如圖15所示。材料參數與第3.1節一致。結構的底部表面完全固定，設備本體通過綁定約束和隔振器進行連接。

圖15 有限元模型.Fig.15 FE model

為了模擬沖擊的實際行為，通過對整個模型施加y方向的沖擊加速度載荷來對整個結構進行加載，提取設備中部測點的沖擊加速度，通過對比輸入與輸出的加速度幅值來驗證結構的緩沖減振效果。選擇三維應力縮減積分單元C3D8R 進行計算，在此基礎上進行瞬態數值仿真求解。

4.4 結果分析

當結構受到沖擊后，橡膠的阻尼特性將能量轉換為內能進行耗散，同時橡膠和PLA 框架會發生擠壓、摩擦，該過程也會消耗大量能量。圖16為結構受到y方向加速度載荷時的應力云圖，其中對變形進行了2倍放大?？梢钥闯鲈趖=1.5 ms 時結構變形達到最大，之后發生回彈，由于慣性作用，在回彈過程會出現拉伸，在t=3.8 ms 時，拉伸變形達到最大，最后在t=4.8 ms時基本恢復到初始狀態，整個過程中模型變形發生在彈性階段，受到沖擊后能復原，準零剛度骨架為結構提供了良好的變形可恢復性。

圖17b 為結構受到y方向加速度載荷時測點的輸出與輸入時域加速度對比，輸入加速度約為8 000g，輸出響應降低90%以上。圖17e 為結構受到y方向加速度載荷時測點的輸出與輸入沖擊響應譜對比，輸入峰值為7 600g，輸出響應在大于200 Hz 的頻帶段明顯衰減，其峰值衰減90%以上。由于對結構的防護要求在整個空間內都有效，同時計算了x方向和z方向的緩沖效果，見圖17，時域加速度和沖擊響應譜的峰值都顯著降低，驗證該結構可有效降低爆炸分離過程中的沖擊響應，從而保障設備在沖擊環境下的安全使用。

圖17 加速度時程曲線與沖擊響應譜對比Fig.17 Comparison of acceleration time-history curves and shock response spectra

5 結論

本文設計并研究了一種用于隔振的雙相準零剛度超結構。結合理論和仿真方法對超結構的隔振特性和緩沖性能進行了研究。

對所提出的超結構的隔振緩沖性能進行了評估，結果表明所提出的雙相準零剛度超結構比橡膠類隔振器具有更優異的隔振性能，同時具有良好的變形可恢復性，在緩沖隔振應用中具有巨大的潛力。研究得出以下結論：

a）通過適當設計正弦梁和半圓拱，可以實現具有準零剛度特性的單元。推導了單元和陣列后的結構的力學性能理論解。

b）通過力傳遞率的對比，可以看出雙相準零剛度系統比線性橡膠系統有效隔振頻帶更寬，在保證承載的前提下隔振效果更好。

c）數值模擬的應力云圖揭示了雙相準零剛度超結構隔振系統相比于傳統硅橡膠有更好的變形可恢復性，克服了硅橡膠永久變形和不可重復利用的問題。

d）測點的時域輸出響應和沖擊響應譜揭示了雙相準零剛度超結構隔振系統可顯著降低沖擊響應，沖擊響應譜加速度峰值降低了90%以上。