關于麥克勞林公式中余項的注記

章江華, 王成偉

(北京服裝學院 文理學院,北京 100029)

0 引 言

在某點處高階可導的函數可以表示為泰勒多項式及其余項的和.該泰勒多項式可用于近似計算,其相應的拉格朗日型余項可用于該近似的誤差分析.利用符號計算工具包容易求得一個函數的泰勒多項式,但當作誤差分析時,往往需要手工推導泰勒公式中的余項.值得注意的是拉格朗日型余項形式有時不是唯一的,比如文獻[1-2]給就出了“拉格朗日型余項Rn(x)用函數的(n+1)階導數、(n+2)階導數表示均可”的結論.本文將注解由該“不唯一”造成的應用拉格朗日型余項作誤差分析時余項形式選擇問題,讓泰勒公式及其余項形式的理解更細致.

為簡單且不失一般性,下面僅涉及函數在x0=0處的泰勒公式,即麥克勞林公式.

設函數f(x)在含原點的某個開區間(a,b)內具有直到n+1階導數,那么對于(a,b)內任一非零的x,有

f(x)=pn(x)+Rn(x),

(1)

其中

(2)

(3)

稱(1)式為函數f(x)的帶有拉格朗日余項的n階麥克勞林公式;稱(2)式為函數f(x)的n階麥克勞林多項式,若f(n)(0)≠0,稱(2)式為函數f(x)的n次麥克勞林多項式;稱(3)式為函數f(x)的n階拉格朗日型余項.

通過求函數f(x)的n+1階導數再代入(1)(2)(3)式而獲得麥克勞林公式的方法稱為直接法. 通過基本初等函數的麥克勞林公式運算求得麥克勞林公式的方法稱為間接法.文獻[3]中注明直接法或間接法求得的同次麥克勞林多項式pn(x)是相同的,沒有給出相應的拉格朗日型余項形式的論述.文獻[4]中論證了pn(x)是近似f(x)精度最高的多項式.下面將從兩個方面對麥克勞林公式中的余項形式展開討論,指出直接法或間接法求得的同次麥克勞林多項式pn(x)所對應的余項形式不一定相同.從泰勒公式解決問題本意看,間接法得到的余項也有價值,用于誤差分析有時效果更好.

1 麥克勞林公式階數及其余項形式的選擇

利用麥克勞林公式求給定次數的麥克勞林多項式時,麥克勞林公式的階數可能不同,相應的余項形式也會不同.一般地,選取階數高的余項形式作誤差分析精度更好.

例1求sinx的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.

故帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式為

(4)

簡化

于是

當n=2m時,(4)式為

(5)

當n=2m+1時,(4)式為

(6)

注1 (5)式中有“0·x2m”項,說明sinx的2m(偶數)階麥克勞林多項式是2m-1(奇數)次多項式.當n=2m+2時,(4)式為

觀察(6)與(7)式可以發現,麥克勞林多項式是相同的,余項形式不同,麥克勞林公式的階數不同.

從應用的角度看,用于近似計算sinx的2m+1次多項式可由2m+1階麥克勞林公式(6)式獲得,也可由2m+2階麥克勞林公式(7)式獲得,但相應的余項形式不同.顯然,用階數高的余項形式作誤差分析精度更好.

同理,cosx的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式也可作類似的討論.即cosx的帶有拉格朗日型余項的2m階麥克勞林公式為

(8)

cosx的帶有拉格朗日余項的2m+1階麥克勞林公式為

當近似計算cosx所采用的多項式次數給定時,利用(9)式中的余項作誤差分析精度比用(8)式好. 因此,在教材[3-7]中只給出(9)式型公式.

需要注意的是教材[3-7]配置的習題有“寫出函數的麥克勞林公式”,成了沒有考慮到上述細節的讀者的難點.為保持認知一致性,建議從近似計算的角度來配置習題,或在教材中寫入上述細節,讓表述更清晰.

一般地,當f(n)(0)=0時,函數f(x)的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式中的pn(x)是低于n次的多項式.故從近似計算角度看,當選取一定次數的麥克勞林多項式后,作誤差分析時,選取麥克勞林公式的階數高的余項形式,精度更高.

結論1若函數f(x)在含原點的某個開區間(a,b)內具有直到n+1階導數,且函數f(x)在x0=0的某階(比如f(i)(0)=0)導數為零,則用于近似計算f(x)的某次(比如i-1次)麥克勞林多項式對應的余項有不同的形式,階數高的余項形式精度高.

2 間接法獲得的余項與直接法獲得的余項的比較

例2求函數f(x)=sin2x的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.

故帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式為

(10)

簡化

于是

當n=2m+1時,(10)式為

(11)

當n=2m時,(11)式可表達為

(12)

所以sin2x的帶有拉格朗日型余項的2m+1階麥克勞林公式為

(13)

若利用cosx的帶有拉格朗日型余項的2m階麥克勞林公式(8)得

所以sin2x的帶有拉格朗日型余項的2m階麥克勞林公式為

(14)

注2 比較(11)與(13)式或(12)與(14)式可發現直接法與間接法所得余項形式上是一樣的.

例3求f(x)=xex的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.

解 直接法因為f(n)(x)=(n+x)ex,n=0,1,2,…,所以

f(n)(0)=n,f(n+1)(θ13x)=(n+1+θ13x)eθ13x, 0<θ13<1.

故帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式為

(15)

間接法利用ex的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式,得

(16)

注3 由定義可判斷(16)式不是xex帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.為比較(16)與(15)式中的余項,將用于近似計算xex的多項式取為同次.由(15)式得xex帶有拉格朗日型余項的n+1階麥克勞林公式

(17)

結論2間接法獲得的麥克勞林多項式及其余項的和不一定是麥克勞林公式,但其誤差分析的價值優于直接法獲得的麥克勞林公式.

3 結 論

泰勒公式中的余項是近似計算中誤差分析的基礎,加深其認識具有重要的意義.通過3個例子的麥克勞林公式的求解結果說明用于近似計算的多項式給定次數后,余項可能有多種表達形式,高階的精度更高.間接法獲得的余項雖然不一定滿足拉格朗日型余項標準形式,但是也具有誤差分析的價值.建議在教材中補充余項討論的細節,引入“n階麥克勞林多項式”的稱謂,使思維更清晰,降低難度.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.