數學三個世界理論視角下教學改革探索

周士民 范興奎 劉敏 周麗美 范敏 王正杰

摘? 要：為解決高等數學內容抽象、教學難和學習難的問題，該文提出以數學三個世界理論為指導，教學中貫徹以學生為中心，遵從認知規律，堅持聯通主義學習模式、以核心知識學習為中心，對高等數學教學模式各要素全面改革。以此幫助學生學習，培養抽象思維能力，實現讓學生動起來、教師強起來、效果實起來的本科教學改革目標。

關鍵詞：數學三個世界;教學改革;學習;高等數學;教學模式

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）01-0135-04

Abstract： In the process of advanced mathematics teaching， there remains the question that the teaching content is too abstract for the teachers to explain and thus too difficult for the students to understand， which often results in the students' deficiency in? learning. In order to solve that problem， this? paper proposes comprehensive reform of arious elements of teaching mode， which aims to implement students-centred teaching method by following cognitive laws， adhering to connective learning， and focusing more on? core knowledge. In this way， the students can be helped to learn much better， and thus cultivate their abstract thinking ability. Based on that， it is easier to achieve the undergraduate reform objectives that students will devote themselves to their studying， teachers can further improve their teaching skill and the teaching effect will be better.

Keywords： three worlds of Mathematics; teaching reform; learning; Advanced Mathematics; teaching mode

2019年教育部《關于深化本科教育教學改革 全面提高人才培養質量的意見》中指出，“圍繞學生忙起來、教師強起來”“效果實起來”等要求，深化本科教育教學改革?！耙詫W生為中心”正成為各方共識，而目前“以教師為中心”的教學模式仍然是我國大學課堂教學的主流，“以學生為中心”的教學模式仍處于啟動時期，需要不斷探索。

高等數學是高校理工類專業一門必修基礎課，在幫助學生形成抽象思維能力和邏輯推理能力[1]，培養創新型人才方面有著不可替代的作用。然而這門課符號多、公式多，概念、定理抽象給學生帶來學習困難。本門課教學和學習中存在的問題集中于以下方面：第一，知識多、進度快，學生跟不上教學節奏;第二，知識高度抽象;第三，聽課后不會做題等。抽象能力是大學生必備素質，如何有效地進行抽象知識教學和學習是各高校教師極力探索的問題。2010年后形成的數學三個世界理論提出，抽象知識是可以相互轉化的，并提出轉化的方式，奠定了教學改革基礎。而該理論下的教學研究，國內目前還集中于中學內容，相應的大學教學研究尚顯不足。如何以學生為中心，激發學生求知欲，主動進行學習和探索，有效地進行抽象知識學習，對教學改革提出新課題。

一? 數學三個世界理論及其學習思想

（一）? 數學三個世界理論

認知分為具體化、符號化、形式化三個世界，抽象知識是可以轉化的，結晶體概念（核心概念）簡約性、發散性聯結是抽象知識轉化的根源，認知按累積性原則建構，知識以聯結的方式存在，提倡聯結主義教學和學習[2]。

（二）? 數學三個世界理論學習思想

數學三個世界理論是在建構主義、認知主義基礎上形成的新理論，繼承和發展了原有理論的精華，又融入了新內涵，揭示了數學知識和數學思維的形成過程，成為指導數學學習的理論基礎。

1? 以學生為中心學習

數學三個世界理論提倡聯結學習，學生是學習主體，教師是學習的促進者。教師的作用是在知識聯結點、思維聯結點組織教學活動，幫助學生創設聯結[3]。教師的經驗幫助學生建立聯結，對其獲得的知識和思維進行篩選、評價、指引，具有引導和幫助學生修正知識體系的作用。

2? 按照認知規律學習

數學三個世界理論認為，人的認知按照具體化、符號化、形式化順序層次逐漸提升，并在新層次上按照螺旋法則向更高層次發展。具體化世界，在這個世界中數學學習對象是具體的、形象的、可見的。符號化世界，將操作用符號表示，數學對象得到進一步概括、抽象。在認識事物基礎上，對符號化世界進行自反抽象形成形式化定義，或證明形成形式化定理。

3? 聯通主義學習

聯通主義理論認為，學習是聯結的建立和網絡形成的過程，是借助工具把人腦和腦外聯通，以最大化和優化學習，創新性是發現思想或概念之間的聯節，建立新聯結的能力[4]。數學三個世界提倡教師創設具體化、符號化、形式化聯結點，幫助學生建構知識體系。

4? 核心知識學習

數學三個世界理論認為，結晶體概念（核心概念）具有簡約性、發散性特點，是抽象知識轉化的根源[5]。在教學中幫助學生理解和形成核心概念，與其他相關概念建立聯結，進而形成概念體系。在形式化推理基礎上，探討定理間的聯結點，建構定理體系。核心習題掌握后，尋找與其他習題聯結點，形成習題體系，在對習題分析挖掘基礎上，形成概念、定理、性質的深入理解。

二? 基于數學三個世界理論的教學改革

數學三個世界理論下的教學模式改革，包括教學目標、教學內容、教學過程、師生交往系統、反饋方式、支持條件和評價方式等各要素全面改革。

（一）? 教學目標的改革

教學目標不僅是傳授知識、提高數學素養，而是幫助學生形成自我建構知識和解決問題的能力。一般認為大學生數學素養包括數學知識、數學能力、數學思想和數學品質，這四部分相互補充，相互滲透。從學生發展來看，數學能力是大學生能力的中心內容，而學生自我建構能力，是學生長遠發展的目標。

（二）? 教學內容改革

1? 劃分課程內容模塊

根據微積分不同內容，將課程教學分解為概念課、定理課、習題課等，針對不同內容依據具體化、符號化、形式化認知規律設計教學內容。通過在線調查，了解學生在課程中抽象知識學習中存在的問題。以高等數學為例，學生對“極限、導數、積分形式化證明”“極限、微分、積分、曲線積分、曲面積分形式化定義”“曲線、曲面積分形式化推理與應用”的學習有難度。教師在準備教學內容時，在具體化、符號化、形式化轉化過程中創設聯結點，對不同知識模塊，以及具體化、符號化、形式化認知差異性，設計不同情境，幫助學生理解抽象知識，建構知識體系。

2? 內容設計與能力培養的統一

運用翻轉課堂學習課前知識，學生學習具體化、符號化基礎性問題時，設計聯結點培養自我抽象、概括、發現、總結及合作能力。教師在課堂上針對學生存在的不足，設計聯結點，與學生共同解決問題，學生思維活躍、分析問題、解決問題能力得到提升，同時促進其對抽象知識進行反思。在具體化認識、符號化表示，構建形式化概念過程中，設計聯結點引導學生發現問題，培養學生抽象思維能力，提升其思維品質。學生在形式化核心概念學習時，設計聯結點，培養其發散思維能力。教師設計聯結，引導學生探究形式化理論之間關系，培養邏輯思維能力。

（三）?; 師生交往系統改革

采用高度集中型、溫和型、放任型等多種方式結合的交往模式。教師是教師的組織者和協調者，教學內容，教學方法設計，教學條件的知識和思維聯結點的創設，都是由教師決定，當然也要參考翻轉課堂學生的反饋信息。課堂教學中，教師設計聯結點讓學生進行探索、討論，在知識聯結點、思維聯結點、情境聯結點給學生以啟發，發揚教學民主，引導學生自我建構。學生能夠獨立解決的問題，放手讓學生完成，教師起督促、檢查、幫助的作用。如學習第一類曲線積分時，先引導學生觀察均勻的鐵絲的質量，等長度質量相等，只要知道單位長度鐵絲質量（線密度），量出鐵絲長度即可。非均勻鐵絲質量，需要將無限細分時長度質量累加、求和、取極限。引出曲線積分概念。再聯系求曲線長度方法，引出第一類曲線積分公式，不同情境下第一類曲線積分計算，由學生自主解決。

（四）? 反饋方式改革

微信群、QQ群是課前、課后學習情況反饋的主要形式，主要由課代表負責收集、整理，包括學生知識、思維、學習情境出現的困惑，需要得到哪些幫助等，教師根據反饋信息在群里進行指導，或者由部分優秀生在群里進行指導，或者課下學習小組討論完成。課堂反饋由學生聽課表現、討論表現、練習時的表現確定，在課堂上師生共同解決。

（五）? 支持條件改革

1? 運用翻轉課堂

首先，將核心概念、核心定理、核心題目的基礎知識翻轉給學生，幫助學生形成前期認識，為課堂建構打下基礎，充分運用“問題導向法”，以問題為導向，層層設計聯結，讓學生通過查資料、運用多媒體、互聯網等途徑嘗試自主解決。其次，引導學生合作學習，指定研討組組長，負責組織問題討論。最后，將不能解決的問題反饋給課代表，每位學生完成翻轉課堂質量和討論情況由組長負責紀錄，課代表統計，記作平時成績，確保翻轉課堂效果。課堂講授時，主要在核心概念、核心定理、核心題目設計聯結點，創設情境，引導學生自主建構知識體系。解決核心題目時，引導學生探究已有題目的聯結點，形成解決問題的一般方法，并進一步變式，引導學生深化探究，拓展已有知識體系，課堂講解始終圍繞核心知識難點、疑點展開[6]。

2? 運用虛擬仿真技術

將虛擬仿真技術應用到數學教學，幫助學生理解核心概念、核心定理，例如極限、微分、積分、導數等概念產生的背景，運用仿真情境，以具體化案例讓學生了解它們產生的過程，增強親身體驗浸入感，更加深入理解形式化核心知識的內涵。再如定積分概念的講解時，用仿真技術將曲線一段無限放大，感受曲線就是由無限細分的直線段構成，從而理解“化曲為直”的含義。在仿真條件下，將火箭曲面無限細分、放大，讓學生觀察曲面實際就是平面構成，分析曲面側面向底面投影，進而得出曲面和平面的關系。課堂抽象知識教學始終貫徹虛擬仿真技術建立真實場景，以具體化方法加深對形式化定義和符號化產生過程的理解，弱化理解難度，提高學習興趣[7]。

（六）? 評價方式的改革

數學三個世界提倡聯結學習，信息化條件下聯通主義成為聯結學習的理論基礎。該理論認為，教師成為課程促進者，教學的影響者。因此，教師如何幫助學生在已有認知體系、外部認知體系、新概念體系之間建立聯結，如何根據學生的討論和反思，將學生從矛盾和迷茫中引導出來，如何把學生零碎知識點進行聚合，如預判學生學習出現的困難，有效地加以預防，成為評價教師能力的主要內容。學生參與學習的主動性、自主發現知識聯結點的能力、元認知水平、主動創造知識能力、創新能力和水平成為評價學生的內容。學習內容的不斷深化、更新，教學和學習模式的不斷升級，也是評價教學和學習的重要內容。

三? 數學三個世界理論下教學過程

教學過程按照運用翻轉課堂預習、線上自主學習、收集疑難問題、課堂虛擬仿真條件下核心知識與核心題目學習、小組討論形成結論和課后鞏固提高等步驟展開。

（一）? 設計翻轉課堂

確定每節課的核心概念、核心定理、核心題目，從教材問題情境入手設計聯結點。根據核心概念，引導學生探討概念間聯系，形成概念的全面理解。圍繞核心定理，探究與其他定理、性質的關系，全面理解定理。以包含知識內容、解決問題方法為依據，確定核心題目，設計問題情境，探究與其他題目的聯系，形成解決問題的一般方法。將上述內容反轉給學生，形成對核心知識的前期認識。

（二）? 線上自主學習

建立學習微信群，以課代表和部分優秀學生為中心，確定學習小組?；A知識、基本方法、基礎題目由小組討論自主解決，各小組之間相互分享形成解決問題的一般方法。為保證全體學生參與，可以用雨課堂簽到的方式，作為平時成績的一部分。學生不懂的基礎問題也可以在微信群里反映，教師在知識聯結點、思維聯結點、已有解決問題方法聯結點處予以啟發指導。

（三）? 收集疑難問題

學生自主學習中遇到問題，由課代表反饋給教師。例如定積分概念、第二類曲線積分概念、三重積分概念的理解，分部積分法、定積分換元法、二重積分極坐標換元法，第二類曲線積分計算方法，中值定理相關證明、級數應用等。遵循認知累積性建構原則，在新舊知識聯結處創設聯結，便于引導學生共同解決。對于新知識學習可能出現的問題，教師要有準確預判，設計問題情境，幫助學生解決。

（四）? 核心知識學習

核心知識學習包括核心概念、核心定理學習。核心概念按照具體化、符號化、形式化認知順序，為了幫助學生實現由具體化到符號化的轉化，充分運用虛擬仿真技術，引導學生自主形成認知。如曲面積分中，以虛擬仿真動態還原“平面代替曲面”思想產生過程，讓學生很自然地接受。積分、中值定理等“形式化”概念和理論學習，以虛擬仿真形式化概念和定理產生過程，在問題中，探究形式化概念與其他形式化概念的聯結點、形式化定理之間的聯結，通過反思抽象，深化對形式化概念和定理的理解。

（五）? 核心題目學習

核心題目的確定，首先來自章節所學核心概念、核心定理，這類題目緊扣概念定理，幫助學生深入理解。其次來自典型方法、典型技能的運用，這類題目對應多種題型，具有觸類旁通的效果。再次來自綜合型題目，這類題目滲透著核心知識和技能方法的應用，利于提升學生創新能力、發展層次、競爭實力。教師在知識、思維、方法聯結點處引導學生自主解決核心題目，并探究與其他題目的聯結點，進而加深對核心概念、核心定理、核心方法的理解。

（六）? 討論形成結論

在課前自主學習、交流、分享經驗，課上運用虛擬仿真分析問題的基礎上，師生共同探究、討論、形成問題解決的結論。對于具體化問題，在師生共同概括、壓縮、抽象，形成概念，并用符號表示基礎上，以核心題目探究概念間聯系，形成概念體系。對于形式化問題，在分析已有知識和思維聯結點基礎上，師生共同解決核心題目，形成解決問題的一般方法。變換核心題目，加深對形式化概念、形式化定理的理解，將相關知識、方法加以歸納，形成問題解決的一般模式。對于應用問題，引導學生探求形式化知識與現實的聯結點，理解形式化問題產生情境，形成解決應用問題的一般方法。

（七）? 反思鞏固提高

圍繞課堂學習的核心概念、核心定理、核心題目設計課后習題，分為基礎題和提高題兩種類型，采用線上線下相結合的方式?；A題目由學生完成。提高題目先由學生自主解決，教師檢查發現問題，或者學生在線反應疑難點。部分疑難問題教師在線提示或講解，共同問題課堂講評，形成解決問題的思路，規律、方法。每章節的設計在線單元練習由學生自主完成。

四? 結束語

基于數學三個世界理論的教學改革是一種線上線下有效結合成功實踐，其以幫助學生學習抽象知識，形成抽象思維能力，以學生為中心，培養合作學習和自主探究能力為目標，形成一種混合式教學基本框架。筆者在實踐中體會到，要保證效果最大化，需要對以下環節予以加強。

（一）? 學生忙起來

始終圍繞核心知識學習，學生課前、課中、課后三個階段都要忙起來。課前可采用小組點名和雨課堂點名的形式，保證所有學生都參與。課中學生能討論解決的問題，放給學生自主解決，讓學生充分練習中理解問題。課后讓學生有練習、有問題，在學生線上線下都要參與相互學習和討論，疑難問題先自主解決，而后集中反饋。教師引導學生找出所學知識，所解題目與核心概念、核心定理之間聯結點，所解題目與核心題目聯結點，系列題目之間的聯結點，形成知識網絡是學習的基本目標。

（二）? 教師強起來

教師圍繞核心知識學習，駕馭知識、駕馭學生、駕馭課堂及駕馭問題的能力都要強起來。教師研究課本每章節知識、課外知識、歷年知識和題目新變化聯結點，做到心中有數。教師要參與到學生線上和線下討論中，充分了解學生建立知識和思維聯結點存在的不足，使教學有針對性。教師對學生課堂提出的問題和可能出現的問題要有準確預判，才能更好駕馭課堂。在充分研究教學內容基礎上，對疑難問題、課堂突發問題都能得心應手。

（三）? 效果實起來

圍繞核心知識學習，強化課前、課中、課后教學和學習實效。翻轉課堂階段學生反饋問題一定要準確，課代表收集問題一定要及時，為保證獲得問題的準確性，教師適時參與到群中的步驟必不可少。解決課堂問題一定要落地，讓學生確實弄懂、學會，必要時圍繞核心概念、核心定理和新題目反復變式，幫助學生探究其中聯結點，形成對問題的基本認識，總結出解決問題的基本方法，使學生真正理解知識，會解決這類問題。課后問題一定要有反饋，對課后布置的線上和線下問題和作業一定要有檢查和反饋，可采用學生相互檢查與教師檢查相結合的形式，典型問題采用教師在群里講評，或者課堂集中講評的形式，保證教學和學習效果。

參考文獻：

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[2] 周士民，聶立川，王君.認知發展研究新成果-David Tall的數學三個世界理論[J].數學教育學報，22（3）：8-11.

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[5] DAVID T. Crystalline concepts in long-term mathematical invention and discovery[J]. For the Learning of Mathematics，2011（3）：3-8.

[6] 毛齊明，王莉娟，代薇.高校翻轉課堂的實踐反思與超越路徑[J].高等教育研究，2019（12）：75-80.

[7] 顏媛媛.VR虛擬現實的理念實現與教學研究[D].石家莊：河北師范大學，2018.

基金項目：全國教育規劃一般項目“虛實融合學習空間的深度學習機制及有效支持研究”（BCA220211）;山東省教學改革重點項目“基于數學建模創新實驗班培養模式的探索和實踐”（Z2021114）;青島理工大學本科教學模式改革示范課程“高等數學”（F2020-082-高等數學）;青島理工大學本科教學改革重點項目“‘四維融合、四課融通、四階遞進’數學建模育人模式的探索與實踐”（F2023-060）

第一作者簡介：周士民（1969-），男，漢族，山東淄博人，碩士，副教授，碩士研究生導師。研究方向為數學教育。