基于狀態估計的分數階線性系統同步控制

蔣文芳，劉 恒

（廣西民族大學 數學與物理學院，廣西 南寧 530006）

在過去的幾十年里，分數階微積分在各個領域得到了廣泛的應用，例如在測量和自動化科學的工程[1]、自動控制理論[2]、交通流短時預測[3]、神經網絡研究[4]等領域。與整數階系統相比，分數階系統可以更準確地描述物理現象，因為它具有記憶性和遺傳性。近年來，針對分數階線性系統，學者們已經做了很多研究工作，例如文獻[5]研究了由Caputo-Fabrizio 導數描述的分數階線性系統的穩定性；文獻[6]提出了一種新的離散分數階滑?？刂品桨?，保證了線性電機控制系統的期望跟蹤性能。隨著研究的不斷深入，分數階線性系統的同步問題受到了很多學者的關注。例如文獻[7]研究了有向連通拓撲下分數階復雜網絡與一般線性系統的同步問題，利用偽狀態變換技術和矩陣的實Jordan 正則形式，將同步問題轉化為相應獨立子系統的等效穩定性問題；文獻[8]研究了具有一般線性動力學的分數階復雜網絡在連通拓撲下的同步問題，通過引入偽狀態變換，將該問題轉化為獨立子系統的等效同時鎮定問題；文獻[9]研究了一類分數階線性系統的預覽跟蹤控制，基于系統與其增廣誤差系統之間的關系，可以得到原系統的預覽跟蹤控制器。

但在上述文獻中，考慮的響應系統的狀態都是已知的。實際上，在一些應用中，某些信息（狀態）存在無法測量或難以直接測量的情況，而這些信息（狀態）會影響到控制器的設計效果。文獻[10]提出狀態變量并不都能通過測量得到，可采用輸入狀態穩定性理論分析閉環跟蹤系統的魯棒性，并據此給出控制系統參數調整的指導性準則；而魯棒性強調的是控制器的結構本身特征。因此，在這種情況下的同步控制問題值得進一步研究。近年來，研究人員提出了一些動態系統狀態估計的方法，如卡爾曼濾波[11]、H1濾波[12]、分數階擴展狀態觀測器[13]、魯棒觀測器[14]、階降階觀測器[15]等。其中，基于觀測器的狀態估計這一方法易于實現，已在許多實際系統中得到了應用。例如文獻[16]設計了一種非奇異的魯棒偽狀態估計器去觀測狀態未知的分數階線性系統；文獻[17]針對一類分數階線性系統，通過重構狀態變量設計觀測器，分析了系統在無干擾情況下的有限時間穩定性，并由觀測器估計出系統狀態和干擾；文獻[18]提出了一種基于線性矩陣不等式的新方法來解決分數階線性系統的穩定性和鎮定問題，并給出了基于觀測器的分數階線性不確定系統二次穩定性的充要條件；文獻[19]針對線性時不變單輸入單輸出系統，建立了聯合狀態參數估計的全局漸近收斂性，提出了自適應狀態觀測器的潛在應用；文獻[20]根據Mittag-Leffler 穩定性的充分條件，研究了狀態反饋鎮定問題，然后在一些充分的假設下構造了觀測器。然而，上述文獻的研究都集中于階數在（0，1）之間，而且由于分數階運算的性質，其結果不能直接應用到階數在（1，2）之間的分數階線性系統上。因此，在這種情況下，分數階系統的狀態觀測器的設計有待進一步研究。

根據以上討論，本文研究了基于狀態觀測器的分數階階數在（1，2）上的線性系統的同步控制問題，主要貢獻如下：1）相比于大多數的相關文獻，本文研究的是階數介于（1，2）之間的分數階線性系統的同步控制問題，得出的相關結果具有較好的理論意義；2）相較于文獻[18-19]，本文令α=2 β，將α 在（1，2）上的分數階線性系統的同步問題轉化為階數β 在（0，1）上的分數階線性系統的同步問題，并且假設響應系統的狀態是未知的，設計了觀測器。

1 預備知識

1.1 分數階微積分概述

下面給出一些有關分數階微積分的定義和性質。

定義1[21]分數階積分定義為

常見的分數階導數定義有3 種，但在實際應用中，由于Caputo 分數階導數與整數階導數定義的初始條件形式一致且有較好的物理意義，所以本文采用Caputo 分數階導數的定義。

定義2[21]設f（t）是（0，t）上的光滑函數，則其Caputo 分數階導數為

引理2[23]設x（t）∈Rn是連續可微的向量函數，則下列不等式成立：

1.2 線性系統描述

為了研究分數階線性系統的同步控制問題，設響應系統模型為

其中：α∈（1，2）是系統的階數；X（t）=（x1（t），x2（t），…，xm（t））T∈Rm是響應系統的未知狀態向量；M（t）=（m1（t），m2（t），…，mn（t））T∈Rn是可測的輸出向量；u（t）=（u1（t），u2（t），…，uq（t））T∈Rq是控制輸入向量。A∈Rm×m，B∈Rm×q，在這里假設C∈Rn×m是行滿秩的常數矩陣，并且m >q，m >n。假設X0∈Rm，X（0）=（0，0，…，0）T。

驅動系統模型為

其中：Y（t）=（y1（t），y2（t），…，ym（t））T∈Rm為已知的狀態向量；S（t）=（s1（t），s2（t），…，sn（t））T∈Rn為輸出向量。假設Y0∈Rm，Y（0）=（0，0，…，0）T。

由于大部分研究成果集中于階數在（0，1）上而本文研究的階數在（1，2）上，為了使用已知的理論和便于控制器的設計，注意到一階導數初值為0，根據引理1，本文使用變量替換法將響應系統（1）和驅動系統（2）進行如下轉換。令α=2β，則有

和

其中：β∈（0，1）為系統的階數；v1（t）=（v11（t），v12（t），…，v1m（t））T∈Rm和v2（t）=（v21（t），v22（t），…，v2m（t））T∈Rm分別為響應系統和驅動系統的中間變量。

2 響應系統觀測器的設計

由于響應系統（5）的狀態未知，因此可設計觀測器

為進行穩定性分析，定義響應系統（5）的觀測誤差為

根據以上分析，可得如下定理：

定理1對于系統（5）和（7），若可以選擇增益矩陣L，使得Ω=HTH（E -LC1H）為半負定的，則動態誤差系統（9）是漸近穩定的。

3 同步系統的控制器設計

在本節中，為了設計反饋控制器使響應系統（5）跟蹤驅動系統（6），首先定義同步誤差

其中e3=Z2-Z1，則同步誤差e 的動態方程為

為了使響應系統（5）能有效地跟蹤驅動系統（6），設計同步控制器

根據上述分析，本文的主要結果如下：

證明：構造Lyapunov 函數

根據式（11）、（13）和（14），對V 求β 階導數，可得

4 數值仿真

為了驗證所設計方法的有效性，設計響應系統為

驅動系統為

其中初始狀態y0=（0，0，0）T。

由于給出的系統階數α∈（1，2），因此，使用變量替換法將其化簡。響應系統為

驅動系統為

其中Z2=（y1，y2，y3，v21，v22，v23）T。

根據理論分析，先取

顯然，Ω 是半負定的，滿足定理1 的條件，因此，觀測誤差是漸近穩定的。

根據上述結論，首先取

顯然，Λ 是半負定的，滿足定理2 的條件，因此，同步誤差是漸近穩定的。

仿真結果見圖1—圖2。圖1 中（a）為觀測誤差隨時間t 變化的圖像，從圖中可以看出，觀測器的設計使得觀測向量逐漸趨于真實向量x；（b）為同步誤差隨時間t 變化的圖像，從圖中可以看出，控制器的設計使得響應系統狀態向量x 與驅動系統狀態向量y 趨于一致。圖2 為控制輸入u 隨時間t 變化的圖像。

圖1 觀測器誤差和同步誤差隨時間變化的圖像Fig.1 Diagram of observer error and synchronization error over time

圖2 控制輸入u1、u2 與u3 隨時間t 的變化圖像Fig.2 Time responses of Control inputs u1，u2 and u3

5 結束語

本文的創新之處在于，針對階數在（1，2）之間狀態未知的分數階系統，采用變量替換法將其簡化為求解（0，1）之間線性系統的同步問題，并設計了反饋控制器，利用Lyapunov 方法證明了誤差系統的穩定性。此外，由于響應系統的狀態是未知的，因此設計了狀態觀測器?；诜謹惦ALyapunov 穩定性判據，觀測誤差和同步誤差漸近穩定。仿真結果驗證了觀測器和同步控制器的有效性。進一步的工作將集中于分數階系統階數在（1，2）之間的非線性系統的研究。