船舶動力定位非線性模型預測控制

張泉, 郭晨

(大連海事大學 船舶電氣工程學院,遼寧 大連 116026)

動力定位(dynamic positioning, DP)是指船舶不借助錨泊而單獨利用其自身安裝的推進器,實現船位、航向或預設航跡的自動保持。DP是船舶進行海洋資源開發時利用的重要技術手段,因此DP控制系統的設計一直備受關注,諸多控制算法被應用在DP控制系統的設計中,如反步法控制[1]、動態面控制[2]、滑?？刂芠3-4]、自抗擾控制[5-6]、魯棒控制[7-8]、智能控制[9-10]等。但這些控制器在設計階段大多忽略了2個問題:1)船舶推進系統存在推力飽和以及推力變化率飽和約束,無法提供任意大小的推力及力矩;2)船舶進行DP作業時極有可能要求船舶保持低速航行,即對船舶運動狀態進行約束。一旦忽略了上述問題,控制效果將難以達到預期,甚至可能無法保證閉環系統的穩定性,最終導致船舶控制失效。

模型預測控制(model predictive control, MPC)由于可以顯式處理約束條件、優化控制作用而備受人們關注。在DP領域中,挪威廠商Konsberg首次在DP系統中應用了MPC算法[11]。同年,文獻[12]利用精確反饋線性化方法將移動式海上平臺動力定位數學模型中的非線性問題和已知擾動做線性化處理,并結合線性MPC控制算法對平臺進行控制。文獻[13]提出了一種基于拉蓋爾函數的線性MPC算法,該算法可提高DP控制系統的實時性。相比于線性MPC控制器,非線性MPC控制器(nonlinear model predictive control, NMPC)能夠更好地處理非線性系統,控制效果更佳。文獻[14]針對DP作業的非線性階段和線性階段分別設計了NMPC控制器和MPC控制器,并設計了切換函數實現不同作業階段的控制器切換。上述工作對MPC在DP領域的應用做出了較深入的研究,但在保證系統穩定性方面鮮有討論,仍需要進一步研究。文獻[15]中已經指出,選擇合適的終端要素可以確保系統穩定性,但構造終端要素目前尚未有統一的方法?；谏鲜龇治?本文針對DP控制問題,提出了一種NMPC控制方法。引入多面體描述系統和線性矩陣不等式(linear matrix inequalities, LMI)理論設計NMPC控制器中的預測模型和終端要素,通過性能指標遞減法理論證明了閉環系統的穩定性。

1 船舶運動數學模型

船舶在動力定位時船速較低,為方便問題研究,此時可認為船舶所受阻尼是線性的,所受的科里奧利向心力近似為0。假設船舶關于艏艉線左右對稱,則在不計風、浪、流等環境影響下,只考慮三自由度運動的船舶動力定位數學模型可表示為[11]:

(1)

(2)

(3)

(4)

2 船舶動力定位NMPC控制器設計

2.1 模型預測控制原理

考慮非線性系統:

x(k+1)=f(x(k),u(k))

(5)

式中:x(k)為k時刻狀態變量;u(k)為k時刻輸入變量;f(·)為非線性函數且f(0,0)=0。在k時刻從系統狀態x(k)出發的MPC問題可以表示為:

(6)

條件A1終端約束集Ω是狀態約束空間的子集,并且是一個包含原點的閉集;

條件A2對于所有的x∈Ω,終端控制律uF(x)均滿足輸入約束,并且當x=0時,uF(x)=0;

條件A3當x∈Ω時,uF(x)能控制系統狀態軌跡一直保持在終端約束集中;

2.2 控制目標和NMPC控制器設計

(7)

在考慮控制目標、狀態和輸入約束以及確保系統穩定性的情況下,MPC性能指標函數設計為:

(8)

3 NMPC算法穩定性分析

3.1 船舶多面體描述系統

多面體描述系統廣泛用于描述存在不確定性的非線性系統,它是由一系列線性系統構成的集合,且該集合能夠包裹原非線性系統。將式(7)在平衡點ξ=0附近線性化,其Jacobian矩陣

Jacobian矩陣中的a13、a23、a14、a24、a15、a25會隨著系統狀態的變化而變化,表達式為:

(9)

而Jacobian矩陣中的其余元素均為常數,受篇幅限制不再逐個列出。

對式(7)建立多面體描述系統時,可根據上述參數的最大值和最小值來確定多面體的頂點。式(7)的多面體描述集合Π定義為:

(10)

(11)

(12)

3.2 終端要素的設計方法

定理1[17]對于式(11)所示的多面體描述系統,如果存在正定對稱矩陣X∈R6×6和矩陣Y∈R3×6,對所有的i=(1,2,…,q)滿足矩陣不等式:

(13)

(14)

根據Schur補性質可知,式(14)等價于矩陣不等式:

(15)

將式(15)分別左乘PT和右乘P,可得:

Q-HTRH=S≥0

(16)

(17)

(18)

式中:τ*(k+i|k)表示在k時刻預測系統在未來k+i時刻的最優控制作用;ξ*(k+i+1|k)表示與τ*(k+i|k)相對應的最優系統狀態。式(17)與式(18)相減可得:

(19)

(20)

定理2對于式(11)所示的多面體描述系統,如果存在正定對稱矩陣X∈R6×6和矩陣Y∈R3×6,滿足下述矩陣不等式:

(21)

(22)

定理2的證明詳見文獻[17],本文不再贅述。綜上可知,只要求解出符合定理1～2的矩陣X和Y,就可以確定終端懲罰項的權重矩陣P和終端控制律中的反饋矩陣H。

(23)

s.t.α>0,X0=αX,Y0=αY

文獻[19]指出當X0為正定矩陣時,log det(X0)是凸函數。因此,可利用凸優化求解器和LMI工具箱對式(23)進行求解,得到α、X和Y,進而確定3個終端要素的具體表達形式。

4 數字仿真算例及結果分析

為驗證設計的船舶動力定位NMPC控制器的性能,對一艘供給船(船長76.2 m,滿載排水量4 591 t)在Matlab環境下進行仿真。該船的水動力參數詳見文獻[20]。

NMPC控制器參數設置如下:預測時域N=50,采樣時間h=0.5 s,權重矩陣Q=diag{5×109,1×1010,5×1012,1,1,1},權重矩陣R=diag{1,1,0.001}。利用YALMIP工具箱離線求解式(23)可得α=2.02×1020,P=diag{5×108,1×1010,5.1×1012, 9×1019,2×1020,6.6×1023}。

圖1～2是船舶不受外界擾動時的位置狀態和速度狀態時間響應曲線?？傮w來看,本文設計的NMPC控制器能夠控制船舶以較快的速度到達期望位置并穩定在期望狀態上,穩定時間大約為140 s,這表明了系統的穩定性。此外,從圖1中還可以看出航向ψ快速穩定在參考值上且沒有超調,穩定時間約為40 s。這是因為船舶在實際進行動力定位時,一般都會優先穩定住航向后再控制船舶的其他狀態,故本文將航向ψ的權重設置的較大。圖3是船舶推力與力矩的響應曲線,從圖中可以看出推力及力矩的大小未超出設定范圍,并且在控制期間內推力及力矩變化平緩,符合海洋工程實踐需求。

圖1 無外界擾動時船舶位置和航向響應曲線Fig.1 Position and course curves with no disturbance

圖2 無外界擾動時船舶速度狀態u、v、r響應曲線Fig.2 u, v, r curves with no disturbance

圖4 有擾動下船舶位置和航向響應曲線Fig.4 Position and course curves with disturbances

圖5 有擾動下船舶速度狀態u、v、r響應曲線Fig.5 u, v, r curves with disturbances

圖6 有擾動下船舶推力及力矩響應曲線Fig.6 Control input curves with disturbances

5 結論

1)本文提出的NMPC方法能夠在較短時間范圍內將船舶準確地控制在期望狀態上,同時滿足實際作業中對船舶運動狀態和推力的限制要求;

2)在動力定位過程中存在干擾時,本文提出的控制器亦能表現出良好的控制性能,具備本質魯棒性。

本文建立多面體描述系統時頂點矩陣較多,這導致求解LMI矩陣時計算量較大,有時甚至無法求出合適的解。后續將研究如何簡化LMI矩陣的求解問題。