非齊次邊界條件Rosenau-KdV 方程的有限差分格式

劉佳垚,王曉峰,羅詩棟

（閩南師范大學 數學與統計學院,福建 漳州 363000）

0 引言

非線性波現象的研究是非線性研究中的一個重要課題，而非齊次邊界問題一直是非線性波動問題研究中的一個難點.對于非齊次邊界的處理有很多方法.Passonen V I[1]提出了由相鄰網格單元(包括邊界單元)組成的平衡單元和不使用方程本身的情況下近似邊界條件這兩種處理邊界條件的方法.Chen A 等人[2]將微分方程的定性理論應用于滲透分散的K(2,2)方程，得到了滲透K(2,2)方程在非齊次邊界條件下的光滑、峰值和錐孤波解.除了上述方法，有限差分法也可應用于非齊次邊界條件的處理.Esser H 等人[3]針對一類非齊次熱方程的初邊值問題，研究了分別用Crank-Nicolson 差分格式和Saulyev 差分格式求得的近似解的誤差界的銳度.Wang X 等人[4]給出了求解邊界處具有時間周期的KdV 方程的有限差分格式，并驗證了在時間和空間上分別達到二階和四階精度.鄧等人[5]將非齊次邊界KdV 方程轉化為齊次邊界，并利用有限差分法構造一個三層線性有限差分格式.對于非齊次邊界條件Rosenau 方程，?zer S[7]提出了一種基于配置有限元方法的數值法，使用五次B 樣條函數來獲得由初始條件和邊界條件規定的非齊次Rosenau 型方程的近似解.

本文考慮將有限差分法應用到非齊次邊界Rosenau-KdV方程：

其中：a1(t),a2(t),b1(t)和b2(t)是關于時間t的函數；u0(x)是已知光滑函數.

1 輔助函數的引入與差分格式的構造

引入輔助函數

其中，θ1(t),θ2(t),θ3(t),θ4(t)是四個待定的未知函數，且滿足v(x,t)=0.由（3）—（5）式可以得到以下關于θ1(t),θ2(t),θ3(t),θ4(t)的方程組:

可以求得方程組解為

其中，L=xr-xl.

將（5）式代入（1）—（4）式中，有

其中：

對問題（6）—（8）考慮以下三層線性有限差分格式：

2 數值解的存在唯一性

引理1[8]對于任意網格函數vn∈，有

定理1差分格式（9）—（11）存在唯一解.

證明設

由初始條件可得存在唯一解v0.假設v0,v1,…,vn是唯一解，則考慮格式關于vn+1的齊次方程

將式（12）兩端與vn+1作內積，根據引理1 得

由于

故有

取τ足夠小，使得

則‖vn+1‖=0，即（12）只有零解.

3 差分格式的無條件穩定性

定理2差分格式（9）—（11）是無條件穩定的.

證明取f(xj,tn)=0，考慮如下齊次方程

故可得|ε| ≤1，因此差分格式（9）—（11）滿足無條件穩定性.

4 數值實驗

下面我們通過兩個數值實驗來證明所構造格式的可行性，驗證Rosenau-KdV 方程的齊次邊界下誤差和收斂精度以及Rosenau 方程在不同非齊次邊界條件下的圖像.

4.1 實驗一——Rosenau-KdV 方程

取參數λkdv=1，我們可以得到方程

其初值條件為

精確解為

我們定義誤差范數和收斂階為

圖1 在T=10,τ= h=0.0625時不同時刻的數值解圖像

表1 在T=10時不同步長下誤差和收斂階

4.2 實驗二——Rosenau 方程

取參數λkdv=0，我們可以得到方程

我們無法得出方程(20)的精確解，因此，取xl=0,xr=3,u0(x)=0,τ=h=0.01,T=3 來 模擬出不同邊界條件下的數值解.其中圖2采用的是周期函數sin(5πt)來模擬出不同周期邊界下的數值解；類似的，圖3 采用兩個周期函數sin(5πt)和cos(5πt)來模擬數值解.

圖2 采用周期函數sin(5πt)模擬不同周期邊界下的數值解

圖3 采用兩個周期函數sin(5πt)和cos(5πt)模擬不同周期邊界下的數值解

從圖2 和圖3 中可以看出，數值解表現出的周期行為與邊界的周期行為相同.