“視點”與世界幾何秩序的構建
——托勒密《地理學》制圖思想新探

魯博林

(清華大學 科學史系,北京 100084)

托勒密(Claudius Ptolemy,約公元100—170年)的《地理學》(GeographicalHyphegesis)作為古代西方地學和制圖學方面的代表著作,自文藝復興以來一度主導西方世界圖像和地理觀念的塑造。遺憾的是,自近代科學革命以來很長一段時間內,科學史界對該書并未投以特別的關注——在許多史家眼中,它或被視為一部無關思想的制圖手冊,或被認為是過時的古代地理論述。直到19世紀,西方古典學界逐漸認識到《地理學》的歷史價值,以諾布(C.F.A.Nobbe,1791—1878)等學者為首開始對龐雜的《地理學》抄本譜系進行?？?、編定,繼之有昆茨(O.Cuntz)、費舍爾(J.Fischer)等奠定了該書文獻研究的基礎。以此為前提,《地理學》在20世紀之后逐漸進入科學史的視野,但受限于“分科治史”的實證史進路影響,托勒密的制圖方法始終被諾伊格鮑爾(O. Neugebauer)等史家視為現代投影的古代雛形,因而成為一種合理但過時的地圖投影嘗試。[1-2]而埃杰頓(S.Y.Edgerton)等藝術史家則努力在《地理學》與近代透視法之間建立聯系,以圖證明這部古代作品所潛藏的現代性。[3]兩者看似殊途,實則反映的都是基于現代科學視角的治史進路。地圖史家迪爾克(O.Dilke)更是在哈利(J.B.Harley)與伍德沃德(D.Woodward)編定的《制圖學史》中,以典型的輝格史語調對該進路下的托勒密《地理學》做了蓋棺論定的評價。[4](1)在迪爾克看來,托勒密《地理學》的核心是其“地圖投影理論”,而投影理論的貢獻在于“對后世制圖學發展的重要性”。這種典型的輝格史論調頗能代表20世紀科學史界對《地理學》的普遍態度。另外由于該書在中世紀長期沉寂,至文藝復興后才有廣泛影響,所以相關研究也側重后者的時段,對其古代起源的研究并不受到重視。

然而近幾十年來,隨著科學史界的思想史轉向以及該書新譯本的相繼出版,國際學界開始進行新一輪評注和解讀。(2)該書最新的英譯本為伯格倫與瓊斯對理論章節的節譯本(Berggren &Jones, 2000);而德譯本則為伯爾尼大學“托勒密研究中心”(Ptolemaios-Forschungsstelle)歷經十年的編譯成果,并附古希臘文對照Stückelberger &Gra?hoff(2006)。其余英譯大多為早期史蒂文森(E.L.Stevenson)令人不甚滿意的拉丁文英譯本的重印。以陶布(Liba Taub)、瓊斯(A.Jones)等為代表,科學史家開始從思想史、哲學史的角度重估托勒密的諸多作品。[5-6]《地理學》自然在重估的作品之列,如費凱(Jaqueline Feke)、謝格羅夫(D.Shcheglov)等學者便基于對關鍵性概念在同時代著作中的運用所做的語言學分析,試圖闡明古希臘地學、斯多亞哲學和托勒密的數學哲學對該書的影響。[7-8]然而,類似討論仍基于概念界定等理論文字展開,對制圖步驟的細節著墨不多。確切地說,當下學界對托勒密地理制圖的數學理解,仍基于20世紀70年代諾伊格鮑爾等人的解讀。這在很大程度上,妨礙了科學史學者對作為古代數學化作品的《地理學》數學思想的深入分析。更不必提,由光學角度或視點切入托勒密制圖的研究幾乎仍處于空白。因此在下文中,我們將首先點明《地理學》作為數學化作品的本質特征,以此將其置于古希臘地理傳統中并引出“視點構建”的重要性。以假想的“視點”為線索,本文試圖借助對托勒密制圖過程的重構,揭示視點背后的光學與幾何思想,并展示《地理學》如何在此基礎上綜合古代的數學傳統,將居住世界納入一個宏大的古代數學世界圖景之中。

1 《地理學》觀念概說與制圖新論

《地理學》的希臘語原題為Γεωγραφικφγησι?(英語:Geographical Hyphegesis),意為“地理描繪指南”,學界一般簡稱為“地理學”。在古代西方的地學語境中,“地理”(γεωγραφα)是一個涵蓋范圍相當廣泛的概念,既可以指對不同地域民族地貌的文學類記載,也可以指對已知世界輪廓的圖像化描繪。但自從希臘化時期的亞歷山大學者埃拉托色尼(Eratosthenes)第一次在傳世文獻中明確以“地理”為題撰寫專著以來,制圖尤其是基于天文幾何方法的數學制圖,便成為了古代地理學的應有之義。[9]同屬亞歷山大學派的托勒密《地理學》,正是在這一意義上展開論述的。不僅如此,托勒密還將“地理”的內涵精準地規定為“世界制圖”,使之不僅和現代地理概念大相徑庭,也和當時與地理描繪相關的其他概念區別開來。故而甫一開篇,他便如此寫道:

地理學是一種模仿,是對整個世界的已知部分和與之關聯的事物的繪制。它與地志學(χωρογρφα, chorography)不同,后者作為獨立的門類,著手描繪相互獨立的地區,并切實記錄下盡可能多的各項事物;而地理學的本質是把已知世界作為一個單一的、連續的實體來展示,展示其性質和排布方式,它只關注與邊界、輪廓相關的元素。(PtolemyGeography1.1.1-2)([10],57頁;[11],52-53頁;[12],3頁)(3)本文參考的《地理學》譯文綜合了最新的英譯和德譯本,對關鍵概念的闡釋則核對了由諾布(Nobbe)編定的古希臘文本。此處英譯本將“地理學”譯為“世界制圖學”(world cartography),“地志學”譯為“區域制圖學”(regional cartography),意在加以普及性的闡釋,本文基于思想史研究的立場,主張仍譯為“地理學”和“地志學”,以還原其知識語境。此段重點參考了德譯本和諾布本。

這里托勒密將“地理學”(geography)和“地志學”(chorography)相對舉,前者指的是對整個世界的地理描繪,而后者是對部分區域的地理描繪,此處的描繪主要就圖像而言。因此他將地理學比喻為“畫一幅完整的頭部肖像”,而地志學則類似“只有耳朵或眼睛的圖像”。與后者相比,地理學更重“量”而非“質”,強調距離的合比例大于摹仿的逼真。因此數學方法在地理學中“占據著絕對的優先性”,其目標就是“盡可能按照真實世界的比例來繪制地圖”。(Geography1.1.5-7)可見書中所謂“地理學”,本質是對已知世界大致輪廓的幾何繪制。

然而須注意的是,這里的“世界”并非現代意義上覆蓋全球的地理范圍,而是當時古希臘羅馬文明已知的地域。在托勒密所繼承的古代地學傳統中,有一個專門的術語對此加以指代,即οκουμνη (oikoumene),意即“有人居住的世界”或“居住世界”。早在亞里士多德的《氣象學》(Meteorologica)中,該詞就作為希臘地理論述的核心被提出。亞氏選取了希臘語中表示居住的動詞“οκω”,以該詞的陰性現在時中動態分詞形式搭配表示“大地”的詞“γ”,組成了“οκουμνη γ”(有人居住的大地),再將其截取為縮短形式,便造出了οκουμνη一詞。[13-14]在古希臘的知識語境中,“居住世界”的含義幾乎等同于“已知大地”(包括周邊海洋與島嶼)。古代西方的地理論述借此得以開辟出一方獨立空間。尤其在地球觀念成為共識后,居住世界相對于地球和天界的位置關系逐漸明確,如亞里士多德所言,“居住世界的寬度(緯度)是有限的,在一定的氣候范圍內,可延伸為圍繞地球一條相續不斷的環帶”。[13-14]埃拉托色尼則進一步將其限定在赤道以北、極圈以南、東西跨度不超過半球、約占球面四分之一的象限之內。[15]

托勒密的地理寫作,基本延續了傳統的“居住世界”圖景。兼之身處羅馬帝國領土擴張與貿易交往空前繁榮的時代,作者對居住世界的尺度有了更切實的認知。他意識到要在平面上描繪橫跨半個地球的居住世界,必然面臨相似性與合比例性、便利與尺度精準的兩難?！兜乩韺W》對此也毫不回避地加以討論。他首先將地理制圖分為“球面制圖”和“平面制圖”兩大類型。前者是對大地形狀的原比例縮小,不涉及任何形變,但難以制作和觀看;后者更加一目了然,方便瀏覽,卻須加以復雜的幾何設計。(Geography1.18)對繼承了古希臘地學傳統的托勒密來說,如何設計出一種更好的平面制圖法才是重點所在。但由于從球面到平面的轉換必然存在形變,哪些比例應當保留,哪些比例只能舍棄,就成為必須加以選擇的問題;同時,他還希望保持世界制圖“在形狀上同真實的居住世界盡可能相似”,這進一步規定了比例保留的限度與表現形式。([10],82頁)基于上述考量,一定程度上定量化、幾何化呈現的“合比例性”與“相似性”,成為了托勒密搭建地理制圖框架的兩大基本原則。[7]

從現代制圖理念的角度加以反觀,可知相似性與合比例性根本上是難以兼顧的。對相似的絕對追求很大程度將進入光學的論域,進而導向文藝復興后興起的透視理論;對合比例原則的恪守則可能根據比例的細分,如距離、角度、面積等的不同,被歸入不同的現代投影類型。顯然,托勒密的制圖并非其中任意一種,而是力圖在兩者之間求取平衡。這自然使得《地理學》中的制圖體系很難在數學內部實現完全自洽。但恰恰是在這種矛盾和復雜的張力中,托勒密給后人呈現了相當獨特的幾何設計。該設計的難點在于,如何將兩種看似矛盾的原則統合為一體,并在相當程度上兼顧兩者。從《地理學》構建的體系來看,托勒密是成功的,以至于地理史論述在提及托勒密制圖法時,往往以“投影”等現代術語加以稱呼。但事實上,無論是托勒密本人的論述,還是古代西方的制圖傳統中,都無“投影”一說。[16]這種輝格式表達在方便現代人理解的同時,實則妨礙了對托勒密制圖的深入研究。近年來,研究者開始意識到這一問題,如英譯者瓊斯(A. Jones)認為,《地理學》的制圖法由于數學上的不一致,更像是某種“定性模仿”(qualitative imitation)。([10],39頁)不過僅僅以“定性”來蓋棺論定托勒密的制圖體系也不公平。應當說,為了將相互矛盾的原則加以統合,托勒密的設計有不甚嚴密甚至跳躍之處,但就制圖框架的實用性和可擴展性而言,他的方法體系仍不失為數學上的杰作。最重要的是,托勒密在西方乃至世界地理制圖史上,第一次依托視點的假定和轉換,完成了對世界地圖的系統性幾何構建,由此呈現的世界圖景也對西方的地理和制圖思想產生了決定性影響。在下一節中,我們將以托勒密的第一和第二平面制圖法為例,詳細展示托勒密是如何基于想象的視點,創造性地搭建起他的地理制圖體系的。

2 從“視點”出發:托勒密地理制圖的數學重構

《地理學》中一共提到了3種平面制圖方法,其中前2種專門用于地圖制作,第3種則用于展示當時流行的地球環儀(ringed globe)上的居住世界圖像(更接近于透視圖像)。(4)這里的“地球環儀”托勒密稱為“Κρικωτπη? σφαρα?”,即在常見的天文儀器環儀(即中國古代“渾儀”)中嵌入地球儀。該儀器外層共包含了7個代表天球大圓的環圈,分別為天球赤道、黃道、穿過分點的經線、南北回歸線、北極圈和南極圈。根據托勒密的記載推測,這很可能是一種當時用于表現居住世界、地球和天球關系的展示型儀器(Geography 7.6.1)。因此我們重點討論前2種方法。首先是托勒密的第一平面制圖法。在引入具體的繪制步驟之前,作者從視覺成像原理的角度闡述了設計依據:“當視線開始投向球面北部象限的中央,即居住世界大部分所在的位置,此時讓球體相對于眼睛轉動起來,使得每根經線都相繼位于眼睛的正對面、且經線平面穿過視錐頂點(κορυφ?τ?ψεω?),經線就會呈現為直線。然而緯線卻不會如此,因為北極的位置偏離了視軸(ξονο?τνψεων),于是緯線明顯呈現為向南凸出的圓弧狀?！?Geography1.20.6)([10],82頁;[11],110-111頁)

命題22:如果一段圓弧被置于眼睛所在的平面內,那么圓弧將呈現為一條直線。(圖1右)[17]

根據托勒密的規定,由于視點與球面相對地軸轉動,每根經線會在不同時刻相繼處于眼睛的正對面即視平面之內,因此原本作為圓弧的經線相對于視點自然呈現為直線。相比之下,緯線的再現依據似乎更加復雜。與之相關的首先是《光學》中的“命題10”:

命題10:當一個平面位于眼睛的下面,則平面上越遠的地方,看起來越高。(圖1左)[17]

圖1 歐幾里得《光學》命題10(左)與命題22(右)示意圖[20]

該命題中,眼睛與平面的相對位置與托勒密所說的視點與緯線平面的位置是相符的。命題結尾還附加了一個推論:“在更高處看到的物體,看起來將是凹陷的?！盵21]這就意味著,處在視點斜下方的每一條緯線,都會呈現為兩頭高、中間低的曲線。在古希臘的幾何傳統中,曲線或者是圓(弧),或者是圓與圓或直線的疊加。正如數學史家克萊因(M. Kline)所言:“希臘人不僅把數學主要限于幾何,他們甚至把幾何只限于那些能用直線和圓做出的圖形?！盵22]據此托勒密選擇了最簡化的形式,將所有緯線都設定為“向南凸出的圓弧”。進一步地,托勒密還將球面上經緯線的關鍵幾何特征挪用于平面。比如,球面上的緯線都是相互平行,因此地圖上的緯線圓弧也應相互平行,即互不相交的同心圓。再如,球面上的經線都(在北半球)相交于一點并與緯線垂直,因此地圖上的經線也相交于一點并與緯線垂直,實際等同于緯線圓弧的半徑,所交之點即共同圓心。

上述規定主要出于相似性的考量。要在平面上保留球面居住世界的大致比例,托勒密還需要對重要經線與緯線的長度比加以規定。一方面,由于地圖上的緯線組成了一個同心圓框架,該框架中緯線長度變化與緯度變化成正比關系,這與球面上的余弦函數關系顯然不符。(7)在托勒密制圖法中,同心圓半徑上的單位長度與單位緯度成正比,而緯線作為圓弧同樣與半徑長度成正比,因此緯線λ與緯度φ的變化亦稱正比關系,即Δλ=αΔφ。但在球面上,緯線(圈)的長度λ與相應緯度φ的關系遵守余弦變換,設地球半徑為r,則λ=2πr*cos(φ)。因而從數學上講,托勒密只能保證兩條緯線的長度與真實比例相符。為了控制居住世界的整體形變,他最終選擇了最長和最短的兩根緯線,即穿過極北之地圖勒(Thule, 63°N)的緯線以及赤道。另一方面,由于所有經線都呈現為過共同圓心的直線,托勒密設計了一種獨特的幾何變換,即假定經線是從球面上“展平”在地圖上的。故而經線上的1單位弧長(即1度)對應于1單位長度。這樣,不僅地圖上所有經線都等長,每一緯度對應的長度也相等,由此提供了合比例制圖的基礎。但相應的,單位經度與單位緯度對應的長度比(以下簡稱“經緯比”)卻難以做到和球面處處相同。為此,托勒密延續了馬里諾(Marinus of Tyre,活躍時間早于托勒密,但生卒年不詳)的做法,僅保留了地學傳統中作為世界中線的羅德島(Rhodes, 36°N)的經緯比,即cos36°≈4∶5。(Geography1.21)經由上述對“緯線比”和“經緯比”的詳細規定,第一制圖法的定量數學框架便確定下來。最終呈現的圖式十分類似于現代制圖學的“圓錐投影”(如圖2所示)。

圖2 托勒密第一平面制圖法幾何框架示意圖([23],1396頁)

不過在上述圖示中,可以明顯看出第一制圖法與圓錐投影的不同。圖中以赤道為界,南北半球的圖像出現了某種斷裂。這是因為在赤道以南,緯線長度實際是遞減而非遞增,使得前述原則不再適用。因此在實際制圖中,托勒密按照鏡像對稱的原理,直接按同緯度的北部緯線長度規定了南界緯線長度,再將相應經度的點與赤道直接相連,遂令南半球圖像出現了嚴重扭曲。但即便在北半球部分,嚴格符合比例的僅有南北緯線之比、羅德島的經緯比兩對數量關系,([4],186-187頁)因此無論就相似性還是合比例性而言,該地圖都與球面的世界圖像相距甚遠。究其原因,則可追溯到托勒密一開始所設“視點”的局限。因此突破的關鍵便是對視點做出改進?；谏鲜鏊悸?托勒密緊接著提出了他的第二平面制圖法。將視點稍作調整,使得視軸同時穿過以下兩點:(1)中央經線與中央緯線的交點;(2)地球的球心。(Geography1.24.10)([10],88頁)同時令視點與球面保持一定距離,使得眼睛所見的差不多等于一個半球。對于這一點的幾何推論,我們同樣能在歐幾里得《光學》中找到相關依據,即“命題23”和“命題24”。其表述如下:

命題23:單眼以任意方式看到的球體總是小于一個半球,而且所見球體本身呈弧形。

命題24:當眼睛靠近球體時,所見部分會進一步縮小,但看起來會變多。[17]

具體到繪制步驟,第二制圖法遵循了與第一制圖法相近的流程:首先根據視點位置確定呈現為直線的球面大圓,再加以展平。在第一制圖法中,被展平的是先后位于中央的各經線;在第二制圖法中,被展平的除了中央經線,還有過居住世界幾何中心且與前者垂直的大圓。然后輔以平面幾何推導,便能找到地圖緯線圓弧的圓心位置。共同圓心一旦確定,各緯線的位置也相繼確定。至此兩種方法的步驟都是相近的。但第一制圖法只須連接圓心與羅德島緯線上按固定經緯比隔開的各點,便可得到作為直線的全部經線;而第二制圖法則應在三條標準緯線上按照各自緯度相應的經緯比,計算出固定經度間隔(托勒密設定為5度)對應的線段長,以此標定不同經度的一組三點,方可依此繪制作為圓弧的經線。顯然,第二制圖法在制圖流程上要更加繁瑣,在后期根據經緯度標定地點時也不如第一制圖法那樣便利。但無論就相似性上還是合比例性而言,第二制圖法都優于第一制圖法,誠如托勒密自己所言,其“緯度范圍和經度范圍之比更加準確了”。 (Geography1.24.25)([10],93頁)由此繪制出來的居住世界圖像如圖3所示?？梢钥闯?不僅地圖的整體輪廓更加符合球面呈現的外觀,而且赤道以南部分也依照相同規則繪制,從而被納入了統一的數學框架之中。([11],132-133頁)

圖3 托勒密第二平面制圖法框架示意圖([4],187頁)

從第一制圖法到第二制圖法,視點的構建轉換扮演了關鍵角色,同時也使古代制圖在數學層面實現了質的飛躍,以至于在相當長時間內,許多制圖史家都直接將其稱為近代意義上的、基于特定幾何點展開的“投影”(projection)。([23],883頁;[10],36頁)但正如前文所言,托勒密的時代既無“投影”概念,本文也反對專業研究者依附于這一出于權宜或普及之便而采用的說法。因“投影”本質是數學上的“點對點”映射,即所繪圖形應當能通過將曲面上的點(L,φ)按照統一的函數f(L,φ)逐點、連續地投射到平面上的相應點(x,y)來直接獲得。([23],879頁)但顯然,托勒密的制圖法既非逐點映射,也不存在融貫一致的數學方法。事實上,《地理學》的制圖至少綜合了3種數學方法,其中包括:以歐幾里得《光學》為代表的古希臘光學命題、傳統的歐氏平面幾何定理和托勒密自行設計的“展平”方法——為了求取相似性與合比例之間的平衡,三者在適用性和量化結果上并不一致。但借助假想的視點,托勒密巧妙地將三者統合為一體,構建出西方地圖史上第一套系統性的幾何制圖理論。而潛藏在視點背后的,是有別于現代投影的制圖思想和托勒密獨特的數學世界圖景。

3 “視點”的制圖思想與數學世界圖景

應當注意的是,光學和制圖學的宗旨原本并不相同:歐氏光學的目的是“解釋眼睛所見之物,而非模仿它”[26];而地理學卻是“模仿”而非解釋。換句話說,光學是將視覺現象還原為幾何命題,制圖學則旨在用幾何命題重構現象。兩者似乎構成了互逆的關系。但《地理學》的寫作不只為還原視覺圖像,也意在保留原有的數學比例,即在前述“相似性”與“合比例性”之間求取平衡——這也是托勒密制圖與光學“嫡傳”透視法的關鍵差異所在。因此,地理制圖理論并非純然是幾何光學理論的“逆命題”,毋寧說,光學是再現居住世界所依托的數學傳統之一——其中的關鍵便是“視點”。正是依托于特定視點,托勒密得以規定地圖上經緯線的基本性質,并設計了展平的數學步驟。視點的不同將決定經緯線框架的不同以及展平對象的差異。在由此確立的“腳手架”基礎上,構建制圖體系的平面幾何操作方才得以順利展開。

視點在托勒密地理制圖中的重要意義,也體現在數學家托勒密對古代制圖思想的革新。地圖繪制早在古典希臘時代便大量存在。在地球說興起之前,古希臘人將居住世界視為一個巨大的平面,周圍被大洋環繞,與此相應的地圖則是圓形的周航圖(γ?περιóδου?)。[27-28]地球說興起之后,亞里士多德、狄凱阿科斯、波西多尼奧斯等學者對居住世界的形狀重新加以闡釋,引出了長形、四邊形、懸帶狀等多類地圖,然而其共同點是制圖過程均不存在視點,甚至是非數學的。[29]到了埃拉托色尼的《地理學》(Geographika)中,他將該學科確立為一門以描繪世界圖像為宗旨、以幾何學為主要方法的知識門類,居住世界的范圍、位置,以及不同“地塊”(σφραγδε?)的大小和形狀都可以計算得到。[30,9]遺憾的是,由于該書大部分已散佚,今人很難確定埃拉托色尼是否繪制過地圖,但他卻在傳世長詩《赫爾墨斯》中,描繪了一種獨特的地理視角:

赫爾墨斯從天界望去,

赫然看見五段美麗的“緯度帶”:

“有兩條的色彩,比幽然閃爍的藍色更深;

一條呈紅粉狀,似是淬火而出……

還有兩條環繞著兩端的極點,天寒地凍?！盵31]

此處作者借神祇之眼俯瞰地球,似乎預設了可用于制圖的視點存在。只是詩性的想象并不等于數學的確立。事實上自埃拉托色尼以降,古希臘羅馬的地圖繪制在幾何上有了長足進步,甚至發展出等間隔矩形地圖、梯形地圖等沿用后世的制圖方式,但嚴格意義上的視點卻并未真正出現。應當說,托勒密以前的世界地圖繪制,更像是對小范圍地圖的簡單擴大,很少考慮到世界尺度上球面的曲率和平面化的形變。正如斯特拉波所說:“我們的想象力能輕易地把平面圖形轉換到球面上去?！?Strabo 2.5.10)[32]但果真如此嗎?與斯特拉波幾乎同時代的托勒密,率先意識到其中的問題。在《地理學》中,托勒密嚴格指出了平面制圖中形變的不可避免。(Geogrpahy1.21)更重要的是,他第一次在制圖實踐中確立了“視點”,從而使曾經不可捉摸的形變得以在數學層面被精確地把控。通過對視點的選擇,他進一步改變經緯線的呈現方式,以保留不同的真實比例,從而探索出更加相似以及合比例的制圖效果。這在古代西方制圖史上,無疑是一項偉大的創舉。

視點的引入和確立,既代表了托勒密對埃拉托色尼之“赫爾墨斯視角”的傳承,也是托勒密對前人未竟之數學理想的進一步開拓。托勒密借此將地理學完整地納入了數學科學領域:就合比例而言,居住世界在平面化后仍保留中心和邊界的真實比例,從而將整體形變控制在可接受范圍內,而非如馬里諾的矩形地圖一樣隨緯度升高而愈加扭曲;([10],34頁)就相似性而言,緯線乃至經線被呈現為圓弧,初步還原了現實中俯瞰球面的幾何效果,亦是空前的創造性設計。兩方面的成就將地理學擢升到足以在數學方面比肩天文學的位置。正如托勒密在卷一開頭所言:“在地理學中,數學方法占據著絕對的優先性。我們首先必須要研究清楚大地的形狀、大小和相對于周邊的位置,從而描述出已知部分的范圍和性質。另外,還應說明已知世界的各地分別位于哪一條天球緯線之下,以確定……相關的天象。這些部分歸屬于最崇高和最美好的智性追求……因為諸天的運轉能大致為我們所見;然而大地卻只能借助(再現的)圖像得到認識?！?Geography1.1.8-9)([11],54-55頁)

盡管天地呈現有諸多不同,托勒密還是努力地創造條件(譬如借助再現的圖像),將地理學納入一個整體的數學宇宙之中。這也反映出托勒密作品背后宏大的學術理想。早在天文學代表作《至大論》中,托勒密就表明了他的數學哲學立場:即相比于神學和物理學,“只有數學才能為它的信徒提供可靠而不可動搖的知識”,并使得追隨者能夠以神性相關的恒常、秩序與合比例來改造自身。[33]從這句話中,我們能看出作者不僅志在揭示恒常不易的秩序,更試圖再現秩序以作用于世界或自身。在另一部著作《和音學》(Harmonics)中,這一意圖體現得更加明確。他認為:“和音理性能產生聽覺上的特定秩序,正如圖像理性能產生視覺上的秩序,批判理性能產生思想上的秩序?！盵34]隨后他指出,和音學家不僅揭示和音現象背后的幾何比例,也運用樂器復現它們以產生聽覺上的秩序。類似地,地理學家也須基于圖像理性揭示世界在“視覺上的秩序”,并通過繪制地圖來再現這一世界秩序。因此,借助數學方法在地界構建清晰、穩定與合比例之秩序,正是《地理學》寫作的應有之意。

正如該書英譯者伯格倫所說,托勒密的制圖法提供了“一個數學地理學家想象視角下的地球視圖”。[35]而筆者更愿意將其稱為“一個數學家基于想象視點構建的世界地理的幾何秩序”。在再現世界秩序的過程中,“視點”扮演了樞紐性的角色:唯有通過想象的、超越的視點,我們身處其中的居住世界才可能被定量地觀察和模仿,進而被賦予一種數學的理性秩序。在這一意義上,視點充當了某種“阿基米德支點”,托勒密借此得以將地理學納入他以數學為萬物確立秩序的宏大學術藍圖之中。

4 結 語

綜上所述,作為以居住世界為描繪對象、以幾何為基本方法的古代地理制圖理論之大成者,托勒密《地理學》繼承并實踐了埃拉托色尼的“赫爾墨斯視角”,將古代西方制圖理論推向了新的高度。為了在數學層面精確把控世界圖像從球面到平面的轉變,托勒密基于古希臘歐幾里得的光學傳統,構建了幾何意義上的視點,借此將3種不同的數學方法加以綜合,以在相似性與合比例性之間求取平衡。由此設計出的托勒密第一與第二制圖法,也成為西方地理史上第一套系統性的幾何制圖理論?！兜乩韺W》對視點的運用,折射出背后以數學哲學為基礎的制圖思想。在他看來,數學是一切可靠知識的來源,地理學也須基于隸屬于數學的圖像理性再現居住世界的視覺秩序。在此基礎上,視點構成了托勒密地理制圖的獨一無二的前提:唯有通過假定的視點,居住世界才可能被定量地觀察和模仿,進而被賦予理性的幾何秩序。因此,視點充當了托勒密構建地理世界的幾何秩序、實現球面向平面轉換的“阿基米德支點”。作為托勒密學術理想的一部分,視點的假定指向了一個更為宏大的數學世界圖景,也使得托勒密制圖在古代西方乃至世界制圖理論史上占據了不可替代的一席之地。