基于最小二乘法的鋰離子電池參數辨識方法研究

李彥喬,李 昕

安徽理工大學 電氣與信息工程學院,安徽 淮南 232001

1 引 言

面對傳統能源的枯竭以及環境的污染,世界對新能源技術逐漸重視起來,在這種情況下,新能源技術開始得到持續發展,而我國更是將資源和環境問題提升到國家戰略的高度,鋰電池作為新能源的重要組成部分,必然也會受到各個國家的青睞,由于鋰電池體積小、容量大并且放電率高,所以在很多地方都能見到它的身影,小到人們經常使用的電子設備,大到國家的航空航天技術[1]。但是以現在的科技條件來看,鋰電池的應用技術還不夠成熟,許多問題依然等待被解決,其中以安全問題最為突出,因此,鋰電池的應用和維護技術成為研究熱點[2-3]。而對鋰電池的各個狀態參數的預測和估計是儲能安全系統安全運行的必要條件[4-5]。所以建立一個可靠又精確的鋰電池模型能夠提高對鋰電池的監控管理以及參數精準的預測估計。

電池模型的選擇對于電池參數的辨識十分重要,如果模型選取的不恰當就會導致對鋰電池的參數辨識、荷電狀態估計等信息的監測變得不夠準確,從而就會導致使用者錯誤使用,釀成不可挽回的后果,所以要選取一個能夠直觀且簡單的鋰電池模型就顯得十分重要,目前比較常用的鋰電池模型主要有電化學模型、智能數學模型以及等效電路模型,由于電化學模型需要分析電池內部的反應機理,所以操作起來比較復雜,并且在一些實際產品當中很難應用,一般是用來輔助電池的制造與設計,智能數學模型主要就是神經網絡模型,從理論上來看完成電池建模并沒有問題,但是由于它需要大量的數據進行訓練,使得操作起來十分繁瑣,所以在實際應用當中應用較少,而等效電路模型則采用一些電路元件組成電路網絡并模擬電池的動態電壓響應特性,使得模型的物理意義明確,因此被廣泛使用。等效電路模型中的各個參數可以通過公式來表達,而且一般包含相對較少的數量,這使得狀態空間的數學描述工作也比較容易,因此在系統仿真和實際管理中應用十分廣泛。文獻[5]選擇一階RC等效電路作為等效電路模型,由于模型簡單,計算量比較小,對參數進行辨識也比較容易,但是參數辨識的結果誤差較大,不能很好地體現鋰電池的動靜態特性。文獻[6]選擇二階RC等效電路作為等效電路模型,能夠更好地描述鋰離子電池的動靜態特性,但是缺乏與戴維南等效電路所辨識出來的端電壓誤差做對比,體現不出來二階RC等效電路的優越性[5-7]。

參數辨識是鋰電池荷電狀態估計(State Of Charge,SOC)的重要環節,如果所辨識的參數不夠準確,那么就會影響到鋰電池荷電狀態估計的精確度,從而給使用者一個錯誤的信號,因此在對鋰電池完成建模之后,需要對模型中的各個參數進行辨識。鋰電池參數辨識方法主要有粒子群算法、卡爾曼濾波算法、最小二乘法等。粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)又稱粒子群算法、微粒群算法、或微粒群優化算法,這是一種根據群體合作的任意搜索算法,它是由仿真模擬飛禽的捕食方式而發展起來。一般,粒子群優化算法被稱之為一種群體智能算法,在求得繁雜的組合優化問題的時候,與一些基本優化算法對比,PSO一般能更有效地快速優化結果,但是它在選擇遺傳算子時比較麻煩,且不能有效解決離散及組合優化問題,容易陷入局部最優處理上,所以在鋰電池參數辨識上使用粒子群算法的學者較少?？柭鼮V波算法是利用現代控制理論的狀態方程,通過平臺的輸出觀測數據信息系統情況開展最佳估計的算法,因為觀測數據信息包括系統中噪音以及危害,最佳估計也可以理解為是一個濾波過程,但是鋰電池的參數辨識涉及非線性運算,卡爾曼濾波無法對非線性運算進行很好的處理,因此卡爾曼濾波算法在參數辨識上使用較少。而最小二乘法對系統要求不高,不需要測量數據給其概率統計方面的信息,結果卻具備相當不錯的統計分析特性。選用最小二乘算法原理創建的辨識算法在進行鋰電池參數辨識上較為簡便,并且辨識結果也比較精確,因此受到眾多學者的青睞。文獻[8]對二階RC等效電路進行參數辨識,卻沒有給出不同SOC下各個參數辨識的結果,因此所辨識結果無法判斷是否準確。根據前人研究成果發現使用二階RC等效電路作為等效電路模型的研究人員更多,因此本文針對使用戴維南等效電路模型對鋰電池進行參數辨識不夠精確的問題,提出一種二階RC等效電路模型并采用最小二乘法對鋰電池進行參數辨識,同時對一階RC等效電路做了同樣的研究,在最后對一階RC電路和二階RC等效電路兩者的端電壓誤差進行對比,以驗證參數辨識的準確性[9-10]。

2 鋰離子電池建模

因為等效電路模型實際意義確定,關系式比較簡易,因此選用等效電路模型對鋰電池展開了建?！，F階段常見的等效電路模型主要有Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型、GNL模型[11]。Rint模型十分簡單,只包含電壓源Uoc和電池內電阻R0。Thevenin模型將RC電路導入到Rint模型中,從而能夠表現出鋰電池工作性質的極化效應。PNGV模型在Thevenin模型基礎上又串聯了一個電容,這種模型考慮到鋰電池OCV在充放電的過程中,電流隨時間積累產生的誤差,從而涵蓋了歐姆內阻和電池極化效應。GNL模型引入了一個RC串聯網絡和兩個一階RC并聯網絡可以模擬出鋰電池的歐姆極化、電化學極化、濃差極化和電池自放電現象,精確度很高,但是模型太過于復雜。綜合考慮下,選擇對Thevenin模型進行改進,即二階RC等效電路,由于Thevenin模型階數只有一階,與實際電池的特性比還是有比較大的誤差,為了讓電池模型更加精確,在Thevenin模型上加入一個一階RC并聯回路,如圖1所示。經過試驗分析,改進之后的二階RC等效電路能夠更加準確的描述鋰電池的動態特性,并且由于階數為二階使得計算也并不太復雜,因此選用二階RC等效電路作為鋰電池的模型。

圖1 二階RC等效電路模型

圖2 開路電壓Uoc和SOC擬合曲線和實驗數據

鋰電池等效電路模型建立后需要辨識的參數有Uoc、R0、R1、R2、C1、C2,其中R0為歐姆內阻,R1、R2為極化電容,C1、C2為極化電容,極化電容和極化電阻共同表征了鋰電池的極化效應,Uoc為開路電壓,可以認為鋰電池靜置數個小時后的端電壓就是開路電壓,UL為端電壓,可以直接測量獲得,根據基爾霍夫定律(KVL)可得如下公式:

(1)

式(1)中,U1為極化電容C1兩端的電壓,U2為極化電容C2兩端的電壓,I為鋰電池放電電流。

3 參數辨識

根據三星INR18650-30Q三元鋰電池規格說明書得到鋰電池的參數如表1所示,將十塊電池并聯在一起作為一個整體,這個整體就是本文的研究對象。參數辨識可以將其分成兩個部分,第1個部分是開路電壓的辨識,第2個部分是其他參數的辨識,即R0、R1、R2、C1、C2的辨識。由于開路電壓與SOC有對應關系,所以開路電壓可以通過與SOC進行非線性曲線擬合,從而進行辨識,為了減小擬合誤差采用充放電實驗所得到的數據對開路電壓進行非線性曲線擬合。而R0、R1、R2、C1、C2這幾個參數通過進行脈沖放電實驗,并使用MATLAB代入最小二乘法進行辨識。

表1 INR18650-30Q鋰電池主要參數

3.1 Uoc的辨識

在溫度為25 ℃的情況下對鋰電池進行充放電實驗,具體操作如下:將鋰電池以恒流的方式進行充電直至充滿,并靜置2 h。靜置完成后,對鋰電池進行1 C(30 A)恒流放電,每放出5%容量靜置2 h,將靜置后的開路電壓再作為下一階段的開路電壓進行放電,重復上述步驟,直到放電到截止電壓為止。接著對所采集到的實驗數據用MATLAB中的Polyfit函數進行非線性曲線擬合,在擬合的過程中發現九階多項式誤差相對較小,所以對實驗所得的數據進行了九階多項式擬合,得出Uoc和SOC的關系式如下:

Uoc=973.356 67a9-4 367.715 9a8+8 296.706 8a7-

8 703.288 2a6+5 514.183 9a5-2 169.0509a4+

526.892 99a3-78.075 788a2+8.378 564 2a+

2.773 952 9

其中,a=fSOC,Uoc與fSOC的關系擬合曲線以及實驗所得的數據真實值如下:

3.2 R0的辨識

除Uoc以外的其他需要辨識的參數通過脈沖放電數據獲取。放電電流為1 C(30 A),每次放電使得鋰電池的fSOC下降5%,并靜置兩個小時,然后再放電使得鋰電池的fSOC下降5%,再靜置兩個小時,將這個步驟循環20次,得出的電壓與時間的關系數據如圖3所示。

圖3 脈沖放電電壓時間關系數據圖

為了能更直觀地看到脈沖放電后端電壓的變化,以fSOC=0.85為例,則此時完整的一次放電、靜置時期的端電壓如圖4所示。

圖4 脈沖放電放大圖

圖4中,A—B段,放電初期電壓下降十分迅速,這是由于有歐姆內阻R0在作用,C—D段電壓迅速上升同樣是由于歐姆內阻R0在作用,通過這兩段的數據就可以利用式(2)來求得歐姆內阻R0的值:

(2)

3.3 R1、R2、C1、C2的辨識

圖4中,B—C段電壓緩慢下降這是由于極化電容和極化電阻的共同作用所導致,而D—E段電壓緩慢上升,這同樣是由于極化電容和極化電阻共同作用所導致,通過對這兩段數據,就可以對極化電容C1、C2和極化電阻R1、R2進行辨識。一階RC全響應公式如式(3):

(3)

其中,U0為初始電壓,UC為電容電壓,τ=RC。

由于C—D—E段為零輸入響應,根據式(3)可得:

(4)

又A—B—C段為零狀態響應,根據式(3)可得:

(5)

由于D—E段為鋰電池的靜置狀態,且此時為零輸入響應,無放電電流通過,那么此時可以對式(1)的微分方程進行求解可得:

(6)

其中,τ1=R1C1、τ2=R2C2,UL為端電壓,Uoc為開路電壓,U1為電容C1兩端的電壓,U2為電容C2兩端的電壓。對式(6)進行自定義擬合可得:

其中:A、B、C、D、E均為未知數,可以通過MATLAB中的lsqcurvefit函數來確定這幾個未知數的最小二乘最優解。lsqcurvefit函數調用的基本格式為:a=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata),其中xdata和ydata為已有的數據,x0為設定的初始值,這個初始值選取并不會使結果偏離太多,但是為了使結果更加地準確,就需要經過多次嘗試,從而得到合適的初始值,fun為預先定義的函數,本文中這個函數選取的是式(6),通過這種方法就能得出τ1、τ2、U1(tC)、U2(tC)的值。將式(5)進行變換得:

(7)

通過式(7)就能辨識出R1、R2的值。R1、R2得到后就可以根據τ1=R1C1、τ2=R2C2,來計算出C1、C2的值。根據上述參數辨識步驟,可以得到參數辨識的結果如表2所示。

表2 參數辨識結果

為了能夠更直觀地感受不同fSOC與各個參數的對應關系,做出了fSOC與R0、R1、R2、C1、C2的關系圖(圖5—圖7),通過這幾幅圖發現,當fSOC小于0.1時,各參數的變化比較劇烈,這是由于鋰電池的化學濃差極化所引起的,而當fSOC大于0.9時,由于鋰電池處在化學活化極化狀態,所以此時各參數波動也會比較大。

圖5 fSOC與R0的關系圖

圖6 fSOC與R1、R2的關系圖

圖7 fSOC與C1、C2的關系圖

4 驗證與分析

根據安時積分法可知鋰電池t時刻的SOC為

(8)

聯立式(1)和式(8)可得:

(9)

UL=Uoc-U1-U2-IR0

(10)

其中,式(9)稱為系統方程,式(10)稱為觀測方程。將式(9)在k時刻離散化可得:

(11)

令x=(U1,U2,fSOC),y=UL,則式(9)、(10)可寫成:

(12)

其中,

C=(-1,-1,0),D=-R0。

為了驗證參數辨識的準確性,用MATLAB把式(9)-式(12)進行編程,由于當鋰電池fSOC處于較低水平時鋰電池存在著化學濃差極化,所以為了能夠更好地準確體現鋰電池在正常工作下的端電壓,取表2中所辨識的各個參數的前18行數據,即fSOC在0.05～0.95區間內的數據,求平均得到:R0=3.7 mΩ,R1=2.0 mΩ,R2=4.2 mΩ,C1=22.87 kF,C2=469.79 kF。

將所得到的參數代入到建立的程序中,得出仿真電壓與實測電壓如圖8所示,仿真電壓與實測電壓的誤差曲線如圖9所示。根據圖8所示,能看出仿真電壓和實測電壓十分接近,并且隨著時間的推移仿真電壓與實測電壓偏移較小,而通過圖9能看出實測電壓和仿真電壓之間的誤差最大不超過0.05 V,說明參數辨識的結果是十分準確的。

圖8 真實值和模型值對比圖

圖9 誤差曲線圖

如圖10所示,為了能更好地體現二階RC鋰電池等效電路模型的優越性,利用同樣的方法做出了鋰電池戴維南等效電路模型,對其參數辨識之后,得到其仿真電壓與實測電壓的誤差曲線圖后,將其與二階RC等效電路模型的仿真電壓和實測電壓的誤差曲線圖做對比。

圖10 一階與二階的誤差曲線圖

通過圖10可以發現二階RC等效電路模型的精確度要比一階RC等效電路模型更高,并且二階RC等效電路模型的誤差最大不超過0.05 V,而一階RC等效電路模型的最大誤差卻超過了0.08 V,說明所搭建的二階RC等效電路模型能夠精準地體現出鋰電池的動靜態特性。

5 結束語

本文通過脈沖放電實驗得到鋰電池的相關數據,在MATLAB上使用最小二乘算法對所建立的二階RC等效電路進行參數辨識,并對不同SOC下鋰電池各個參數的變化情況進行分析,通過計算鋰電池的端電壓來判斷參數辨識的精確度,最后將辨識結果與戴維南等效電路模型所辨識的結果進行對比,并分析。隨著鋰電池SOC下降,鋰電池的各個參數會有輕微的波動,在鋰電池的SOC處在較低的水平時,鋰電池的各個參數變化比較劇烈,這是由于鋰電池的化學濃差極化所導致的,當將辨識的參數用來求解鋰電池的端電壓時,隨著時間的推移,發現鋰電池的端電壓的誤差波動比較穩定,且最大誤差不超過0.05 V,反觀使用戴維南等效電路模型求得鋰電池的端電壓誤差波動比較大,且最大誤差超過了0.08 V。在鋰電池參數辨識上二階RC等效電路比戴維南等效電路更加準確,能夠更好地描述鋰電池的動靜態特性,為后續對鋰電池的荷電狀態估計提供了有力的基礎。

本文選取了三元鋰電池作為研究對象,通過對電池模型進行比較選取了更能表現出鋰電池動靜態特性的二階RC等效電路模型,接著利用充放電實驗得出Uoc與fSOC的對應數據,并將數據進行多項式非線性擬合,從而得到Uoc-fSOC關系式,利用MATLAB將關系式做成直觀的平面圖后,得到Uoc-fSOC的擬合曲線圖,對二階RC等效電路進行計算分析并與脈沖放電實驗數據以及最小二乘法相結合得出鋰電池的各個參數辨識結果,并匯總成圖表,為了確定所辨識參數的準確性,將參數辨識的結果代入求解鋰電池端電壓的公式中,通過誤差結果可以看出對二階RC等效電路模型進行參數辨識后,得到的結果比較準確可靠。