基于非線性MPC的電動賽車驅動防滑控制

吳勃夫, 徐 曉, 陳自強, 孫 亮, 吳姚燁

(合肥工業大學 汽車與交通工程學院,安徽 合肥 230009)

相較于傳統汽車,電動車具有能量轉換效率高、環境負面影響小、車身噪音低等優點[1]。本文電動方程式賽車由本研究團隊自主設計、加工和調試,賽車需滿足比賽規則和行駛安全性,同時在加速、剎車、操作性等方面性能優異且穩定[2]。

電動賽車電機布置形式為四電機分布式輪邊驅動,輪邊減速形式選用2Z-X(B)型行星齒輪傳動結構以提高傳動效率。輪邊電機分布式驅動與中央驅動、電動驅動不同,輪邊電機裝配在電動賽車的每個輪邊立柱上,充當動力輸出,其布置形式可以提供更好的控制性,以改善車輛動態性能。

電動賽車更加注重加速性能、縱向穩定性和橫向穩定性。為了發揮四電機優勢,驅動防滑控制策略可以輔助賽車充分發揮輪胎附著性能,保持更好的抓地力和減少能量損耗。

車輛驅動防滑功能實現和穩定的關鍵在于滑移率控制[3]。驅動防滑控制方法主要包括比例積分微分(proportional integral derivative,PID)控制、滑模變結構控制、模糊控制、非線性反饋增益控制和模型預測控制(model predictive control,MPC)等[4]。只采用PID控制算法可以簡單實現驅動防滑功能,但其控制參數不具備跟隨工況改變的適應性,魯棒性也得不到有效保證。文獻[5]提出模糊PID驅動防滑控制算法,模糊PID控制器不僅具有PID控制器的穩定性和較高的控制精度優點,還具備非線性和時變性優點;文獻[6]提出在模糊化時對滑移率進一步細化處理可以提升路面滑移率的識別精度。模糊控制系統具有較強的魯棒性、適應性和抗干擾能力,常被用于非線性、時變及純滯后系統的控制,如對非線性輪胎驅動防滑的分析上,但需要憑借實驗經驗建立控制系統的模糊規則。

文獻[8]通過非線性MPC實現四輪電動汽車的驅動防滑,增加對松弛變量的懲罰,以確保驅動防滑功能的可行性;文獻[9]提出基于四輪電動汽車的快速MPC分配方法,并改進延拓/廣義最小殘差(C/GMRES)算法解決MPC分配中計算量大的問題;文獻[10]提出加入了具有標準滑?？刂圃鲆娴姆e分項來優化模型控制,提高了電動汽車的動力性。

非線性模型預測是為了處理系統存在非線性而提出的,該方法常被用來解決模型非線性問題和復雜的約束問題。本文采用非線性MPC方法來實現輪邊驅動電動賽車的加速滑移控制,結合賽車特性提升賽車在加速時的加速性能和穩定性。首先采用CarSim與Simulink軟件聯合仿真,驗證該方法的可行性;其次在輪邊臺架試驗臺上進行試驗驗證。輪邊試驗臺由電機、減速器、扭矩轉速傳感器、測功機和上位機等組成,主要功能是實現電機的穩定性測試和整車控制器(vehicle control unit,VCU)的算法模型調試與驗證。

1 系統建模

本文分析的車輛模型為輪邊電機分布式驅動電動賽車,電動賽車分布式驅動示意圖如圖1所示。相較于電動汽車,電動賽車的最大特點是裝備了空氣動力學套件,在加速、過彎時空氣動力學套件可以將風阻轉換成下壓力,增加輪胎的抓地性能。

為了研究電動賽車的驅動防滑控制,模型構建上采用基于車輛動力學的非線性打滑控制系統模型,主要包括車輛動力學模型、輪胎模型和輪邊電機模型。本文研究重點是滑移率控制對賽車縱向運動性能與動力輸出響應的影響,因此未考慮車身的俯仰和側傾動力學,而是結合賽車在直線加速時的運動特性。

1.1 滑移控制模型

1.1.1 車輛動力學模型

本文研究目標為構建控制模型對滑移進行控制,以提升賽車縱向性能,因此采用的車輛動力學模型主要包括車輛的縱向運動和4個車輪的旋轉運動。車輛相關參數見表1所列。

表1 整車參數

表1中:m為整車質量;a、b分別為從重心到前、后軸的距離;hCG為重心高度;lf、lr分別為車輛前、后輪距;re為車輪半徑;g為重力加速度;Jω為車輪轉動慣量。

整車變量參數設置如下:v為車速;ax、ay分別為縱向、橫向加速度;Fxi為四輪縱向力;Fzi為四輪垂直力;ωi為四輪轉速;Tmi為四電機輸出扭矩;κi為四輪縱向滑移率;Mair、fair、froll分別為下壓力、空氣阻力、滾動阻力。整車動力學模型如圖2所示。

圖2 整車動力學模型

車輛的縱向運動和輪胎滾動運動方程[11]描述如下。

車輛縱向受力為:

(1)

其中:Fxi為輪胎縱向所受到的力,i=1,2,3,4分別代表左前輪、右前輪、左后輪、右后輪;fair為空氣阻力大小;froll為滾動阻力大小。本賽車的空氣阻力主要來自于車身和空氣動力學套件。

車輪滾動阻力為:

(2)

其中:Jω i為4個車輪的轉動慣量,由于輪輞質量與胎壓相差微小,4個車輪的轉動慣量設為一樣;Tbi為4個車輪的機械制動力矩大小,本文主要研究滑移率控制對賽車加速性能的影響,故機械制動力矩Tbi=0。

1.1.2 輪胎模型

輪胎是連接車輛和地面的唯一橋梁,本文采用的賽車輪胎為大陸公司的C19方程式熱熔胎,熱熔胎增加了賽車與路面的接觸面積,因此增加了賽車的抓地力。輪胎模型是系統輸入和賽車縱向運動的連接媒介,本文采用的輪胎模型是Pacejka開發的“魔術公式”[12],在該模型中,可利用三角函數組合精確地表示輪胎力。輪胎縱向力被描述為縱向滑移和輪胎垂直載荷的復雜非線性函數,即

Fxi=Dxsin(Cxarctan{Bxkxi-

Ex[Bxkxi-arctan(Bxkxi)]})+Sv

(3)

其中:Bx、Cx、Dx、Ex、Sv分別為剛度、形狀、峰值、曲率因子和曲線的垂直方向漂移;kxi為縱向滑移率?；谳喬ツＰ偷妮喬L動阻力計算公式為:

Mroll=r0Fzi[qSy1+qSy2Fx/Fz0+

qSy3|Vx/Vref|+qSy4(Vx/Vref)4]

(4)

froll=Mroll/re

(5)

由輪胎文件可知:qSy1取-0.023;qSy2、qSy3、qSy4均取0。

1.1.3 電機模型

本文賽車采用AMK公司的競賽電機(AMK.DD5-14-10-POW),該電機參數見表2所列。其中:Tmax為最大扭矩;Tn為額定扭矩;Pn為額定功率;Nn為額定轉速;N0為無負載轉速。

表2 電機參數

電機的扭矩輸出受其輸入電壓和電機內部磁場變化影響。電機扭矩輸出隨輸入電壓的降低而降低,電機的最大扭矩值隨磁場減弱而下降。為了保證電機扭矩輸出的穩定性,該賽車電機控制器采用567 V輸入電壓,并保持良好的散熱性能,以避免高溫導致電機磁場衰弱現象。

電機輸出軸連接著輪邊減速器,實現增扭降速功能,由電機輸入到輪胎的扭矩計算公式為:

Ti=riTmi

(6)

其中,ri為減速比,由圈速仿真結果計算得到賽車的四輪減速比為13.5。

1.2 求解模型

1.2.1 滑移率求解模型

賽車輪胎的附著系數與滑移率在低滑移率區間呈線性正相關關系,如圖3所示。在滑移率增長的同時路面附著系數也在增加,當縱向附著系數達到峰值,即峰值路面附著系數μmax,此時所對應的滑移率即為最優滑移率κopt。當滑轉率繼續増加時,路面附著系數將減小,同時車輛的加速性能也在減小。

圖3 賽車輪胎的附著系數與滑移率關系曲線

輪胎與地面間的側向附著系數隨著滑移率增加而迅速降低,為了使車輛具備優秀的加速性能和側向性能,需要控制賽車加速時的滑移率保持在最佳滑移率,即

κ=κopt

(7)

車輪縱向滑移率求解公式[5]如下:

(8)

根據式(8),由縱向速度和車輪轉速可以求得每個輪胎的縱向滑移率。為了防止賽車起步時縱向速度接近于0而導致滑移率計算值趨近于無窮大,在滑移率計算公式的基礎上增加了防劇增因子ε=0.1 m/s。根據“輪胎魔術公式”[12]得出輪胎縱向力與滑移率的關系為:

Fxi=Kxiκxi

(9)

其中,Kxi為縱向滑移剛度,由4個輪胎相應的垂直載荷求解得出。Kxi計算公式如下:

Kxi=Fzi(pKx1+pKx2Δfzi)exp(pKx3Δfzi)λKx

(10)

(11)

由輪胎文件可知:pKx1、pKx2、pKx3為魔術公式給出的參考擬合系數,取值分別為81.25、-20.25、0.50;λKx、λFz0分別為滑移剛度和額定載荷的比例系數,2個比例系數值均為1;Fz0為標稱額定負載,Fz0=800 N·m;Fzi為輪胎在賽車運動時的垂直載荷。Fzi(i=1,2,3,4)計算公式為:

(12)

(13)

(14)

(15)

其中:空套與車身的下壓力和空氣阻力作用點為風壓中心點,Mair為車身和空氣套件在加速時集中作用在風壓中心的下壓力,并將下壓力分配到4個輪胎的垂直載荷上;c、d分別為風壓中心到前軸和后軸的距離;hair為風壓中心的高度,由圖2可知風壓中心比重心靠后,可增強抗側風能力。

空氣套件提供的下壓力可以增強賽車的加速和轉彎性能,因此在力學建模上結合了賽車空氣動力學模型。由流場分析得到賽車在不同車速下車身和空套所產生的下壓力和空氣阻力,見表3所列。

表3 不同車速下阻力和升力的變化 單位:N

由表3數據計算得到升力系數和阻力系數分別為Cl=-3.896、Cd=-1.419,代入升力公式和阻力公式,計算得出隨車速變化的空氣阻力fair和下壓力Mair。將計算出的空氣阻力、升力與多組不同車速下的阻力、升力數據比較,結果兩數值相差微小,因此在建模時可以用升力公式和阻力公式代替流場分析得到的數據。Mair、fair計算公式[13]如下:

(16)

(17)

其中:ρ為空氣密度;v為賽車行駛速度;S為該賽車行駛方向的投影面積,取S=1.149 m2。

2 基于NMPC驅動防滑控制器設計

非線性模型預測控制(nonlinear model predictive control,NMPC)驅動防滑控制器的總體設計思路如圖4所示。

圖4 加速時驅動防滑總體結構

通過CarSim軟件搭建輪邊電機賽車模型,在Simulink上利用賽車模型提供的四輪轉速、縱向加速度、橫向加速度和車速計算4個輪子的滑移率和4個電機的最大扭矩值,驅動防滑控制器通過滑移率和扭矩信息計算得到4個輪邊電機的參考扭矩輸出,并提供給賽車模型以實現聯合仿真。

2.1 模型預測

為了構建求解縱向滑移率和扭矩輸出的狀態關系模型,將式(8)滑移率對時間求導數得:

(18)

結合式(1)、式(2)、式(9)得到滑移率與扭矩的關系為:

(19)

由(19)式可得NMPC的狀態空間模型公式[8]如下:

(20)

設x=[κ1κ2κ3κ4]T為狀態空間模型的狀態變量,u=[Tm1Tm2Tm3Tm4]T為系統輸入變量,y=[κ1κ2κ3κ4]T為系統輸出變量。

為了解決優化控制問題,采用歐拉方法[14]對系統狀態空間模型進行離散,即

x(k+1|k)=Ax(k)+Bu(k),

y(k)=Cx(k)

(21)

定義Np為預測范圍,Nc為控制范圍,預測公式如下:

x(k+Np|k)=ANp-1BΔu(k)+…+

ANp-Nc-1BΔu(k+Nc)+BNcx(k)

(22)

2.2 成本函數設計

建立成本函數的目的是保證賽車在加速時的最佳滑移率跟蹤性能和扭矩輸出平穩性能[14]。成本函數包含2個優化目標,主要目標為保證滑移率跟蹤性能,次要目標為優化扭矩變化率。2個目標函數分別描述如下:

1) 主要目標。為了確保賽車在加速過程中可以獲得更好的加速性能,并避免縱向力過大導致車輛不穩定,設置目標滑移率跟蹤函數為:

(23)

其中,yr(k+i)為四輪最佳縱向滑移率。

2) 次要目標。為避免扭矩的變化率過大導致賽車在駕駛中出現不穩定的加速現象和保證車輛駕駛過程中的平穩性,增加成本函數J2去控制扭矩輸出變化率,即

(24)

以上設計目標相加組成最終的成本函數如下:

(25)

其中:n1、n2分別為2個目標的權重系數,根據優化分析得到權重系數分別為1 500、5。

3 測試結果

3.1 仿真測試結果

由于比賽路面為瀝青路面,賽車直線加速時沒有轉向動作參與,基于路況信息在CarSim中進行參數配置。

設置路面附著系數為0.8,最佳滑移率為0.10時仿真結果如圖5所示。在起步時輪胎縱向速度與車速相差不大,在0.2 s后縱向滑移率急劇增加,以獲得較大的扭矩輸出,如圖5a所示;由于在加速時重心后移,為了得到更好的加速性能,采用前兩輪最大扭矩限制,如圖5b所示,在成本函數J1的控制下,四輪滑移率很快接近理想滑移率κ=0.10;比賽加速成績的評定依據為賽車75 m路程的加速時間,如圖5c所示,賽車完成75 m加速路面仿真時間為4.909 s,車速由0 km/h增加到111.30 km/h,在成本函數J2的約束下扭矩增加更加平穩,保證了加速性能的同時也保證了扭矩輸出的平穩性。

圖5 μ=0.8時加速驅動防滑仿真結果

當賽道出現積水路況,路面的附著系數處于0.3～0.5范圍內。在CarSim參數配置中,設置附著系數為0.3,最佳滑移率為0.08時,積水路面加速仿真結果如圖6所示。相較于干燥路面,積水路面防滑控制要在保證賽車加速性能的同時,注重加速時的驅動防滑性能。

圖6 μ=0.3時加速驅動防滑仿真結果

從圖6a、圖6b可以看出,相較于干瀝青路面,為避免扭矩過大導致車輪出現打滑,控制器在積水路況降低了四輪最大扭矩的限制數值,最佳滑移率跟隨效果和加速性能得到了保證。

從圖6c加速結果可以看出,75 m路程的加速完成時間為5.789 s,車速從0 km/h加速至96.88 km/h。

3.2 試驗測試結果

半實物硬件在環試驗如圖7所示。模型在快速原型平臺基礎上進行搭建,滿足實時計算性能需求,并通過自動代碼生成,將建模與仿真階段所形成的控制算法模型下載到快速原型控制器硬件(RapidECU-U2)中。

1.上位機 2.電機 3.電機控制器 4.電池箱

電腦通過Kvaser CAN與控制器通訊,硬件在環仿真時,電腦將車輛狀態參數發送到U2,U2根據控制策略制定扭矩輸出,同時將電機實時轉矩信息輸入到電腦,用于計算車輛狀態,通過電腦、U2及臺架完成半實物硬件在環。

由于該試驗臺電機數量限制,采用同一工況前、后雙電機分開試驗后,再做數據整合。路面附著系數μ=0.3的半實物硬件在環試驗結果如圖8所示。

圖8 在μ=0.3下的加速驅動防滑試驗結果

由圖8a數據計算得到,臺架試驗上四輪輸出扭矩比仿真結果減少了3.6%,這是由于試驗測試環境不同,電機實際輸出轉速與理想扭矩模型輸出的轉速有偏差,再通過模型計算導致扭矩輸出減少;從圖8b可以看出滑移率的控制保持著良好的魯棒性;從圖8c可以看出,75 m路程的加速完成時間為5.990 s,這是由于輸出扭矩減少了3.6%,加速時間慢了0.201 s,最終賽車尾速達到99.05 km/h。

由試驗結果可知,本文采用的方法在最佳縱向滑移率跟隨性能與縱向加速性能上都具備良好的魯棒性。

4 結 論

為實現輪邊驅動的電動賽車在直線加速賽道上有良好的動力性和穩定性,避免起步出現打滑不穩定現象,本文采用非線性MPC控制方法,實現約束條件下的驅動防滑,得到結論如下:

1) 通過采用非線性模型控制結合賽車特性,對輪胎非線性滑移率控制進行分析,并搭建滑移率控制扭矩輸出模型。

2) 對賽場最容易出現變化的賽道附著系數進行設置,并聯合CarSim和MATLAB/Simulink軟件進行仿真分析。仿真結果表明,本文控制方法在路面附著系數為0.8、0.3的路況下,均能有效地將縱向滑移率控制在理想區間內,在提升賽車動力性能和驅動防滑性能的同時,保證加速扭矩輸出的平穩性。

3) 通過半實物硬件試驗平臺進行路面附著系數為0.3的路況試驗,結果得出,本文控制方法在最佳縱向滑移率跟隨性能與縱向加速性能上均具備良好的魯棒性,扭矩輸出微小偏差主要源于實際轉速輸出與理想模型輸出轉速之間的偏差。