寬帶相干信號DOA和極化參數聯合估計方法

王栗沅, 何華鋒, 韓曉斐, 何耀民, 李 震

(火箭軍工程大學導彈工程學院, 陜西 西安 710025)

0 引 言

極化作為除時、頻、空域外又一類重要的電磁特征,刻畫了電場矢量的運動軌跡。利用矢量傳感器進行波達方向(direction of arrival, DOA)和極化參數的聯合估計,在雷達信號處理領域[1-3]受到廣泛關注。均勻圓陣矢量傳感器(uniform circular array vector sensor, UCA-VS)能夠提供全空域范圍內的方位信息和極化信息[4],因此長期以來被作為熱點的研究對象。在均勻圓陣的結構下,旋轉不變子空間(estimation of signal parameters via rotational inva-riance techniques, ESPRIT)[5-6]和多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)[7-8]等經典的子空間類估計算法因能夠獲取高精度的參數信息而得到推廣應用。文獻[9]針對具有交叉偶極子的線陣結構,首次將ESPRIT拓展至極化域。文獻[10]利用四階累積量,將ESPRIT應用在UCA-VS上,實現DOA和極化參數的聯合估計。文獻[11]提出了降維MUSIC(quaternion-MUSIC, Q-MUSIC) 算法,通過對極化域-空域聯合導向矢量的解耦,分離信號的波達角和極化參數,將MUSIC算法中復雜的四維譜峰搜索問題轉化為二維譜峰搜索問題,減小了算法的計算量。文獻[12]則利用導向矢量和噪聲子空間的正交關系估計信號的極化參數,提出了秩虧損MUSIC(rank loss MUSIC, RL-MUSIC)算法,進一步降低算法的復雜度。文獻[13]通過構造DOA矩陣方法(DOA matrix method, DMM)估計入射信號參數,此過程無需譜峰搜索,以降低部分估計精度為代價換取計算量的大幅減小。在后續的研究中,學者在估計精度和算法的實時性上進行取舍,提出了許多性能優良的改進算法[14-17]。

以上研究方法多是針對窄帶、信號不相關的條件。而在實際的電磁對抗環境下,具有更強的抗截獲、抗干擾能力的寬帶信號和由多徑傳播形成的高度相關或相干信號更為普遍。在信號高度相關或相干條件下,陣列接收數據協方差矩陣出現秩虧現象,導致以上估計方法不再適用?？臻g平滑(spatial smoothing, SS)[18-19]和極化平滑(polarization smoothing, PS)[20-21]等方法為解相干信號提供了有效的手段。文獻[22]通過模式空間變化將圓陣變為虛擬線陣,而后進行空間平滑,拓寬了SS的應用范圍,但仍無法處理具有極化信息的陣列數據。PS算法通過對陣列數據不同極化分量的加權平均,實現了信號的解相干,但此過程破壞了數據矩陣的極化域結構,無法進一步估計信號的極化信息[23]。文獻[13]采用雙圓陣的軸向虛擬平移估計二維相干信號,但此方法無法直接估計極化參數且存在陣元損失。另一方面,在寬帶背景下,信號的導向矢量與瞬時頻率有關,窄帶的參數估計方法不再有效。為此,研究者將寬帶信號分解為多個窄帶信號,提出了基于相干信號子空間方法(coherent signal-subspace method, CSM)的參數估計算法。針對CSM算法中聚焦矩陣的構造問題,目前典型的方法包括雙邊相關變換[24]、旋轉信號子空間[25]和信號子空間變化[26]等,然而以上方法均需要預估角度信息,預估誤差對算法精度產生較大影響。文獻[27]以陣列自相關矩陣的特征向量作為過渡矩陣,提出了一種不依賴于角度先驗信息的聚焦方法,即特征向量信號子空間法(eigenvectors signal subspace, ESS),實現了寬帶信號的空間測向。文獻[28]則基于寬帶循環平穩信號的特有性質,將循環互相關函數分離成獨立的方向矩陣和極化旋轉矩陣的乘積,以此構造DOA矩陣,進行空間定位和極化估計。

受以上方法啟發,本文提出了具有低復雜度的極化DOA矩陣法(polarization DOA matrix method, PDMM),并聯合ESS的空間聚焦方法,實現了寬帶相干信號背景下DOA和極化參數的聯合估計。本文主要做出了以下貢獻。

(1) 與文獻[13,16-17]不同的是,本文提出了在寬帶背景下的軸向虛擬平移解相干方法。該方法將寬帶信號分為若干窄頻帶信號,通過對單一圓陣進行軸向虛擬平移和平滑,有效達到解相干的目的,同時不存在陣元的損失。

(2) 相比于傳統的DMM,本文充分利用了各頻點下的數據矢量信息,提出了適用于寬帶的PDMM。該方法根據聚焦和平滑的思想,將軸向虛擬平移后的自協方差矩陣變化到某一頻點下并對互協方差矩陣進行平滑處理,以此構造極化波達方向矩陣。

(3) 對于DOA和極化參數的估計,本文充分利用了極化波達方向矩陣特征值和特征向量信息,通過閉合式求解,有效估計出信號的四維參數,所得參數自動配對。算法無需譜峰搜索,大大降低了計算復雜度,同時該方法最多僅需要3個陣元信息即可有效估計出DOA和極化參數,節約了硬件資源。

1 信號模型

考慮均勻圓陣由M個非完備的電磁矢量傳感器組成,其沿切線方向等角度放置在以r為半徑的圓周上。每個傳感器由3個相互正交的電偶極子組成,電偶極子負責接收入射電磁波的電場分量信息。假定有K個遠場、寬帶的線性調頻完全極化電磁波信號S(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T入射至陣列。記第k個入射信號的俯仰角φk∈[0,π/2];方位角θk∈[-π/2,π/2];極化幅角γk和極化相位差ηk表示信號電場矢量的兩個分量,γk∈[0,π/2],ηk∈[-π,π]。進一步地,假設陣元噪聲是以0為均值、σ2為方差的高斯白噪聲,且與入射信號互不相關。因此,第m個陣元上輸出的信號矢量可表征為

(1)

式中:τm(θk,φk)表示第m個陣元接收第k個信號時相對于首個陣元接收的時延。對于寬帶信號而言,信號的時延與瞬時頻率有關,因此陣列導向矢量數據無法直接在時域上體現?，F將一段在足夠長的觀測時間內采集到的信號分為L個子段,對每個子段的接收信號進行I點的離散傅里葉變換,得到陣列輸出的頻域模型X(fi)=[X1(fi),X2(fi),…,XL(fi)],其中L同時代表頻域快拍數,第l個子段中頻點fi處的陣列數據頻域模型Xl(fi)可表示為

Xl(fi)=A(fi,θ,φ,γ,η)Sl(fi)+Nl(fi)

(2)

記i=1,2,…,I代表頻率范圍,Sl(fi)=[s1(fi),s2(fi),…,sK(fi)]T表示K維的相干信號矢量;Nl(fi)表示3M維的觀測噪聲矢量;A(fi,θ,φ,γ,η)表示頻點fi處的導向矢量

(3)

a(fi,θk,φk,γk,ηk)=as(fi,θk,φk)?

ap(fi,θk,φk,γk,ηk)

(4)

式中:as(fi,θk,φk)=[as,1,as,2,…,as,M]T表示第k個信號的空域導向矢量;ap(θk,φk,γk,ηk)表示第k個入射信號的極化域-空域導向矢量;?表示Kronecker積。

(5)

ap(θk,φk,γk,ηk)=HE=

(6)

式中:λk表示第k個信號的波長;ap表示三通道的極化域-空域導向矢量,由坐標轉化矩陣H和極化相位描述子E組成。

2 模型預處理

2.1 平滑和降噪

在實際復雜的電磁環境中,空間多徑效應的存在往往導致接收信號的自相關矩陣出現降秩情況,難以有效進行后續參數的估計與分析。為此,采用軸向虛擬平移對陣列接收信號進行解相干處理[16]。

假設陣列以d=λ/2為移動間距沿載體運動方向虛擬平移P次,如圖1所示。

圖1 陣列虛擬平移示意圖Fig.1 Schematic diagram of array virtual shift

平移后,在每個頻點fi下可得到一組虛擬陣列接收數據X(p)(fi):

X(p)(fi)=A(fi,θ,φ,γ,η)Φ(p)(fi,φ)S(fi)+N(fi)

(7)

式中:p表示虛擬平移的次數,滿足0≤p≤P;Φ(p)(fi,φ)為空間相位差矩陣。

(8)

該頻點處的自協方差矩陣和互協方差矩陣可表示為

(9)

式中:RS(fi)=S(fi)SH(fi)。對式(9)進行空間平滑,得到平滑后的協方差矩陣為

(10)

(11)

在此基礎上,對自協方差矩陣和互協方差矩陣進行降噪處理,得到在單頻點下的去噪協方差矩陣:

(12)

2.2 空間聚焦

經上述分析,得到了各頻點下接收數據的自協方差矩陣和互協方差矩陣,這其中蘊含著信號的方位信息和極化信息。但如果直接使用各頻點下的協方差矩陣進行DOA和極化參數估計,由于其并不是在同一個參考點上測量的,因此計算結果會有偏差。為了解決這一問題,需要將各頻點下的信號空間“聚焦”到同一參考頻點上[29]。

經平滑和降噪處理后,各頻點下的自協方差矩陣為Hermitian矩陣,對其進行特征分解:

(13)

(14)

s.t.T(fi)TH(fi)=I

(15)

文獻[27]證明T(fi)滿足以下關系:

T(fi)=U(f0)UH(fi)

(16)

從式(16)可以看出,聚焦矩陣的求解只需要對各頻點接收信號自協方差矩陣進行特征分解,利用其對應的特征向量即可實現。經聚焦和平滑處理后的自協方差矩陣可表示為

(17)

3 所提算法

本節提出了一種低復雜度的DOA和極化參數估計方法——PDMM。算法在模型預處理基礎上,首先利用聚焦后的自協方差矩陣和平滑后的互協方差矩陣構造極化波達方向矩陣,然后利用該矩陣特征值估計俯仰角,利用特征向量和導向矢量的關系進一步估計方位角和極化角,算法總體流程如圖2所示。

圖2 算法總體流程Fig.2 Overall flowchart of the proposed algorithm

3.1 波達方向估計

經聚焦后得到參考頻率f0處的自協方差矩陣。進一步,對各頻點處的互協方差矩陣進行平滑處理:

(18)

定義極化波達方向矩陣:

(19)

(20)

文獻[30]證明R滿足以下關系:

RA(f,θ,φ,γ,η)=A(f,θ,φ,γ,η)Φ(f,φ)

(21)

分析式(21),R的K個較大特征值與Φ中對角線元素相對應。另一方面,通過式(8)可知,Φ又是由俯仰角φ唯一確定的。因此,通過R的特征值可以估計出目標信號的俯仰角:

(22)

另一方面,極化波達方向矩陣R同時滿足:

RV1:K=V1:KΦ

(23)

式中:V1:K表示R的K個較大特征值所對應的特征向量矩陣。比較式(21)和式(23)可以看出,特征向量矩陣V1:K與導向矢量A線性相關,V1:K中包含入射信號的方位信息和極化信息。

(24)

(25)

因此,對于第k個信號3M×1維的導向矢量Ak,滿足:

(26)

由式(26)可知,不同陣元間同一極化通道上導向矢量數據的差異源于空域導向矢量as,m的差異。由式(5)可知,這個差異來源的本質是由俯仰角和方位角共同決定的。因此,在估計出俯仰角的基礎上,利用相鄰陣元間空域導向矢量的差異即可實現對方位角的估計?？紤]到陣元2和陣元1存在2π/M的角度差,陣元M和陣元1存在-2π/M的角度差。根據式(5),定義中間變量t:

(27)

(28)

由式(28)估計的方位角,能夠保證[-π/2,π/2]上的無模糊估計。

3.2 極化參數估計

在得到俯仰角和方位角參數的基礎上,空間旋轉矩陣H可表示為

(29)

(30)

(31)

(32)

經上述分析,相干信號的DOA和極化參數能夠依據極化波達方向矩陣的特征值和特征向量計算得到,參數一一對應。下面給出本文算法的具體步驟。

步驟 1對原陣列進行軸向虛擬平移,得到平移后各頻點下的陣列接收數據X(p)(fi)。

步驟 5對各頻點處的互協方差矩陣進行平滑,根據式(19)構造極化波達方向矩陣R。

4 實驗分析

仿真實驗從算法復雜度、有效性和穩健性3個層面來考察所提方法的性能。

4.1 復雜度分析

所提的PDMM充分利用極化波達方向矩陣的特征值和部分特征向量信息,通過閉合式求解得到DOA和極化參數的估計值,此過程無需進行譜峰搜索,因此具有較低的計算復雜度。為了充分說明所提算法的優勢,將與3種子空間類超分辨經典算法Q-MUISC[11]、RL-MUISC[12]和ESPRIT[10]進行比較分析。

寬帶相干信號條件下的DOA和極化參數估計算法主要分為3個步驟:一是信號的解相干處理;二是矩陣的聚焦,將寬帶各頻點的接收矢量聚焦到參考頻點處;三是利用不同算法實現參數估計。本文中所對比的算法采用了相同的矩陣聚焦方法,不同之處在于信號解相干的實現算法和參數估計算法。

現假設兩類算法陣元個數為M,相干信號個數為K,快拍數為L,譜峰搜索個數為N。本文算法在信號解相干處理過程中的運算量主要集中在求解自相關、互相關矩陣上,此計算量為O{2L(3M)2},進行矩陣特征分解的計算量為O{(3M)3},估計DOA和極化參數的計算量為O{9K}。因此,算法總計算量為O{2L(3M)2+(3M)3+9K}。

下面對3種對比算法的復雜度進行分析。

Q-MUSIC算法[11]首先利用極化平滑[20]進行信號的解相干處理,該過程計算量主要集中在自相關矩陣的求解上,此計算量為O{3LM2};然后利用子空間降維的思想,構造二維空間譜,實現DOA和極化參數分步估計,該過程計算量集中在矩陣特征值分解和譜峰搜索上,計算量分別為O{M3}和O{N2(8M3+1+K(M3+1))},因此文中Q-MUSIC算法的總計算量為O{3LM2+M3+N2(8M3+1+K(M3+1))}。

RL-MUSIC算法[12]與Q-MUSIC算法的區別在于極化參數的估計,在DOA參數的基礎上,利用導向矢量和噪聲子空間正交的關系估計信號的極化參數。該過程計算量集中在廣義特征分解上,計算量為O{K(27M3+2)},因此,RL-MUSIC算法的總計算量為O{3LM2+M3+N2(8M3+1)+K(27M3+2)}。

ESPRIT算法[10]首先構造四階累計量,需要進行27L·(M2+2)次復數乘法;然后基于旋轉不變子陣列構造旋轉不變矩陣,此過程復雜度集中在矩陣的奇異值分解上,計算量為O{14(M2+2)(K+2)+(M2+2)2(K+2)/2};最后利用總體最小二乘法求解該矩陣,并進行波達角和極化角的參數配對,此計算量為O{14K2+(M2+2)K2/2+3K2(K+2)+2K3}。

為更直觀地展示對比結果,以柱狀圖的形式描述不同陣元數條件下算法的計算復雜度。在仿真中,假設有3個相干信號入射至陣列,信號的頻域快拍數為1 024,MUSIC算法進行的二維DOA譜峰搜索假定以1°為步長在(0,90°]范圍內進行,結果如圖3所示。從圖3能夠直觀地看出,本文所提算法相比經典MUSIC算法在計算復雜度上具有顯著優勢,與ESPRIT算法相比,本文算法也具有更低的計算復雜度。這在對導彈武器測向定位這類實時性要求較高的應用場景中具有一定參考價值。

圖3 不同算法計算復雜度對比示意圖Fig.3 Comparison diagram of computational complexity of different algorithms

4.2 有效性分析

文中算法的有效性是檢驗在相干信號條件下算法的正確性。仿真中,陣列陣元數M=10,均勻圓陣的半徑r=λ/2,軸向平移間距d=λ/2,信號采樣頻率fs=24 GHz,快拍數L=1 024,假設三正交偶極子中的噪聲遵從高斯分布且信噪比SNR=15 dB。

仿真 1平滑和聚焦的有效性

圖4 模型預處理結果Fig.4 Model preprocessing results

仿真 2參數估計的散點圖

此部分實驗驗證的是所提PDMM參數估計的有效性。實驗參數同仿真1所設置參數保持一致。200次獨立蒙特卡羅仿真實驗結果如圖5所示。從圖5可以看出,本文方法能有效分辨兩個相干信號的來波方向。這一方面進一步說明了軸向虛擬平移技術能夠實現相干源的解相干處理;另一方面也驗證了所提參數估計算法能夠有效估計出信源的DOA和極化參數。

圖5 兩個相干信號參數估計散點圖Fig.5 Scatter points diagram of parameter estimation of two coherent signals

4.3 穩健性分析

算法的穩健性是指在不同指標下所提算法性能的穩定性。仿真從信噪比、快拍數、陣元數3個維度來考察算法的穩健性,通過均方根誤差(root mean square error, RMSE)來定量刻畫3類指標的變化對算法性能的影響。RMSE定義如下:

(33)

式中:N表示蒙特卡羅仿真的次數;zk表示第k個信號的某一角度參數的真實值;znk表示第n次蒙特卡羅仿真中第k個信號某一角度參數的估計值。

為更好地描述與分析,對信號和陣列做出如下設定:不失一般性地,假設有兩個相干信源入射到UCA-VS中,兩個入射信號載頻f=1 GHz,帶寬B=0.5 GHz,脈寬T=12 μs,兩個信號的波達方向參數(θ,φ)分別為(20°,60°)和(30°,40°),極化參數(γ,η)分別為(10°,20°)和(50°,10°);陣列由M個三正交的電偶極子組成,圓陣的半徑R=Md/2π,其中d=λ/2表示陣列軸向虛擬平移的間距,信號采樣率fs=24 GHz,快拍數為L。

仿真 3不同信噪比下算法穩健性

DOA參數和極化參數的RMSE隨信噪比變化的曲線如圖6所示。仿真中,假定M=8,L=1 024,SNR=5∶3∶23,進行200次獨立的蒙特卡羅實驗。從整體上看,相干信號DOA參數估計的RMSE要小于極化參數的估計誤差,測向精度在低信噪比環境下仍能取得較準確的結果,基本滿足雷達導引頭在復雜電磁環境下的測向要求。從單個參數著手,俯仰角的估計值是通過極化波達方向矩陣的特征值計算得到的,因此具有較好的穩健性;方位角的估計是在俯仰角估計的基礎上進行的,誤差存在一定的累積。這種積累伴隨著空間旋轉矩陣H作用到了極化參數的估計上。因此,在低信噪比下誤差積累相對較大。

為更全面掌握算法在不同信噪比下的性能,將本文算法與Q-MUSIC、RL-MUSIC和ESPRIT這3種超分辨算法進行對比分析,進行200次獨立的蒙特卡羅仿真實驗,結果如圖7所示。由圖7可以看出所提算法與Q-MUSIC、RL-MUSIC算法DOA參數的估計精度相仿,但極化參數估計誤差較大。這是由于本文算法的極化估計是經閉式求解得到的,這種方式雖然大大減小了計算復雜度,但在估計過程中存在一定的誤差累計,導致估計精度稍差。此外,基于ESPRIT算法的DOA和極化參數估計精度都呈現出較大的動態變化,尤其在低信噪比條件下,性能急劇惡化。顯然,對比之下,本文算法較ESPRIT算法更具優勢。

圖6 RMSE隨信噪比變化曲線圖Fig.6 Variation curve of RMSE with SNR

圖7 不同算法隨信噪比變化性能曲線Fig.7 Performance curves of different algorithms with SNR variation

仿真 4不同快拍數下算法穩健性

從前文分析可知,RL-MUSIC算法相比Q-MUSIC算法具有更低的計算復雜度,相比ESPRIT算法具有更高的估計精度。因此,在下面的仿真中,著重將本文算法與RL-MUSIC算法進行對比分析。

兩種算法的RMSE隨快拍數變化的性能曲線如圖8所示。仿真中,M=8,SNR=15,L=128∶128∶1 024,利用MUSIC進行譜峰搜索時設置步長為1°,進行200次獨立的蒙特卡羅仿真實驗。從圖8可以看出,本文算法相比對比算法更加穩定,在低快拍條件下,對比算法呈現出較大的動態變化。究其原因,對比算法的估計精度很大程度上與接收數據矢量的維度有關。維度越大,接收數據矩陣所含信息就越豐富,估計精度就會越高;而本文算法利用軸向虛擬平移解相干信號,本質上是對陣列數據的同相疊加,提高了信噪比,因此具有較好的穩健性。

圖8 RMSE隨快拍數變化曲線Fig.8 Variation curve of RMSE with number of snapshot

仿真 5不同陣元數下算法穩健性

陣元數通過影響接收數據的協方差矩陣進而影響算法的性能。仿真中,假定SNR=15,L=1 024,M=4∶2∶16,經200次獨立蒙特卡羅仿真的實驗結果如圖9所示。由圖9可以看出,本文算法的RMSE相比RL-MUSIC算法更加穩定,尤其是在陣元數M≤6時,所提算法仍取得較好的估計性能,而對比算法的估計誤差明顯增大。分析原因,對比算法對數據的協方差矩陣進行了高精度的譜峰搜索,更充分地利用了陣元信息,然而在陣元數較少的情況下,陣列誤差對算法的影響更為顯著。而本文算法在進行波達角估計時僅利用了3個陣元的信息,在進行極化參數估計時,僅利用了1個陣元信息,通過對少量陣列數據的閉式求解,有效估計出各參數。因此,在陣元數較少的情況下,所提算法更具優勢,能夠節約硬件資源。

圖9 RMSE隨陣元數變化曲線Fig.9 Variation curve of RMSE with array elements number

5 結束語

本文聯合特征向量子空間的聚焦方法,提出了一種適用于寬帶相干信號條件的DOA和極化參數聯合估計方法。該算法通過軸向虛擬平移和空間聚焦,構造極化波達方向矩陣,利用該矩陣的特征值和特征向量信息估計出入射信號DOA和極化參數,并實現了參數的自動配對。該方法無需譜峰搜索,大大降低了計算復雜度,在低快拍下仍能保持良好的估計性能,基本滿足了雷達導引頭對測向實時性和估計精度的要求。同時,算法僅需3個陣元信息即可估計出信號波達角和極化角,能夠節約硬件資源。但也應該注意到,該算法對信噪比的要求較高,在低信噪比條件下極化參數估計誤差較大,因此提高估計算法在低信噪比環境下的估計性能是下一步工作的重點。