數學學科核心素養導向下的教育數學實證研究

譚 琳，張永勝，陳如仙，徐章韜，饒永生

數學學科核心素養導向下的教育數學實證研究

譚 琳1，2，張永勝3，陳如仙1，徐章韜4，饒永生1

（1．廣州大學 計算科技研究院，廣東 廣州 510006；2．廣州城市職業學院 信息工程學院，廣東 廣州 510405；3．邛崍市教研培訓中心，四川 成都 611530；4．華中師范大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430070）

教育數學實驗是中國教育改革的重要組成部分，學生的數學學科核心素養發展狀況是其改革實驗效果的重要衡量指標之一．研究選取初中數學核心素養評價框架，對邛崍市教育數學實驗進行評價研究，分析該實驗對學生數學核心素養發展的影響．基于所選框架對該市2017級初三第二次診斷試卷考查的數學核心素養進行分類．根據學生核心素養的得分，對比分析該市3?672名初三學生與93名教育數學實驗班學生數學核心素養的發展狀況．研究發現：該市初三學生的整體數學核心素養發展不平衡，特別是在數學建模、邏輯推理素養上不合格比例較高；教育數學體系下的實驗組核心素養發展情況普遍優于該市整體水平，且其發展更為均衡．結論說明教育數學可促進學生數學核心素養的普遍均衡發展，實驗風險可控，適合大規模普及．

數學學科核心素養；教育數學；教學改革；評價研究

1 問題提出

1989年，張景中正式提出教育數學，旨在把數學本身變得更容易，改造數學使之更適合教育[1]．張奠宙指出，教育數學是數學的教育形態[2]．“重建三角”新體系[3-5]是教育數學的主要成果之一，該體系下放三角，重構了初高中階段的知識點，一線串通幾何、三角與代數[6]．新體系首先在廣東省廣州市海珠區實驗中學為期3年的規模實驗中取得了令人矚目的成績[7-8]．研究顯示，學生認為新體系的知識點簡單且易于理解，77%的學生喜歡學習新體系的知識，教師和大部分學生對初等數學新體系的整合教學給予肯定[8]．教育數學的理念是在吃透了數學的精神本質，又經過實踐檢驗之后產生的，其“自下而上，由點到面，規模實踐，行動反思”的教學改革技術路線具有較強的可操作性[9]，為國家課程改革提供了一個新方法和新思路[10]．

教育數學的成果走進課堂，推動了數學教育的發展．此后，全國各地多所中學相繼開展了教育數學實踐．四川省邛崍市寶林中學在對新體系中相關內容進行多次試點實驗后，發現新方法受到師生普遍歡迎．隨后，寶林中學啟動了為期3年（2017年9月—2020年6月）的教育數學規模實驗．

目前，數學教育改革的重點是學科核心素養的落實[11]，教育數學實驗作為中國教育改革的重要組成部分，學生的數學學科核心素養發展狀況是其改革實驗效果的重要衡量指標之一．因此，研究選取初中數學核心素養評價框架，對邛崍市教育數學實驗進行評價研究．主要研究以下兩個問題：邛崍市學生數學核心素養發展情況如何？教育數學實驗對學生核心素養發展產生了什么樣的影響？

2 相關研究

2.1 數學學科核心素養

教育部于2018年1月發文[12]，凝練并提出高中數學學科的6大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析．2020年6月，教育部發布《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》[11]，將落實數學學科核心素養作為修訂部分的重中之重，還圍繞核心素養的落實開展一系列活動，如精選并重組課程內容、明確內容要求指導教學設計、提出考試評價與教材編寫建議等．

可以看出，學科核心素養的提出不僅是對課程方案和課程標準的修訂，也是中國全面深化教育改革的頂層設計．無論是從中國的教育方針還是國際教育改革的趨勢來看，培養學生的學科核心素養已經成為教育改革的新指向[13]．基于此，數學學科核心素養的應用不應僅在高中階段，而應切實滲透到義務教育的各個階段中去．

2.2 初中數學核心素養評價

初中階段是人的認知迅速發展的階段．在有關初中數學核心素養的研究中，對試卷題目的定性分析較多，且以中考試題的測評為主[14-19]．定量分析模型認可度較高的是董林偉與喻平構建的初中數學核心素養評價指標體系[20]，該體系將《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的初中數學“10個核心概念”[21]與高中數學學科6大核心素養的概念與內涵作對比分析，形成初中數學核心概念與高中數學核心素養的對應關系．殷容儀[22]、周雪兵[23]、李賀[24]、徐德同[25]、杭毅[26]、張愛平[27]等人在此評價指標體系指導下，對江蘇省初中學生的數學核心素養展開了質量檢測．質檢結果表明：數學核心素養水平不存在性別差異，但不同區域、不同類型學校的學生核心素養水平發展不平衡．該模型從多個方面分析了學生的數學核心素養發展情況，結果較為客觀，能有效地評價學生的數學核心素養狀況．

評價研究目的在于利用評價結果指導教學，學生核心素養發展的關鍵在于學校教學實踐活動的開展．陳蓓[28]在利用知識圖譜可視化分析國內數學核心素養發展狀況一文中也指出：國內數學核心素養的研究，正在向縱深發展，并側重數學核心素養在課堂教學滲透．寧銳等將數學學科6大核心素養分為3組建立結構模型[29]：數學思維素養（包括直觀想象和數學抽象）、數學方法素養（包括數學運算和邏輯推理）、數學工具素養（包括數據分析和數學建模），反映了從數學知識學習到數學應用的數學素養發展過程．

針對教育數學體系下學生核心素養的評價不僅要契合教育數學自身的特點，并且要將評價結果導向教學．教育數學實驗踐行的“重建三角”新體系是有關三角、代數、幾何等初、高中知識點的重構體系，因此，直接采用原有的、單一的初中數學核心概念指標對其進行評價是不合適的．基于此，研究將喻平等構建的初中數學核心素養評價指標體系與寧銳等建立的核心素養結構模型相結合，形成針對教育數學體系下學生的核心素養評價框架（見圖1）．評價框架中的指標融合了初中數學核心概念與高中數學核心素養，將融合后的指標與數學核心素養發展的3個層面建立連接，在此評價框架下進行數據分析可直接對應不同層面核心素養發展的焦點，框架內容架構合理且可操作性較強，有利于將核心素養滲透進教育數學體系下的教學實驗中．

圖1 初中數學學科核心素養評價框架

3 研究方法

3.1 研究對象

研究選擇邛崍市寶林中學2017級的初中學生作為樣本，該實驗組共93人，在2020年6月完成了一輪七至九年級完整教育數學實驗．邛崍市寶林中學地處農村地區，其生源大多來自周邊村鎮，學生數學成績參差不齊，師資力量有限．邛崍市整體有28所中學，2017級有90個班（除實驗組外88個班），共3?765人（除實驗組外3?672人）．教育數學實驗在七年級下學期開始實施，因此，收集2017級七年級上學期期末邛崍市整體、寶林中學實驗組的成績數據作為實驗的初始值，具體情況如表1．使用SPSS26.0對實驗數據進行獨立樣本檢驗，數據對比分析結果顯示值為0.745，遠大于0.05，表明實驗組與邛崍市整體，前測無顯著差異．

表1 實驗前測數據

3.2 實驗內容與過程

2017年9月，邛崍市正式開始教育數學實驗．實驗組數學授課教師為劉蓉，女，1971年生人，教齡26年，職稱為中學高級教師．實驗前，授課教師研讀了張景中院士相關著作，與四川省成都市青白江區、廣安市的實驗教師建立溝通，并未特別對其進行特殊培訓．

實驗過程中，邛崍市整體采用北京師范大學出版社出版的初中數學教材，寶林中學實驗組教學則以《一線串通初等數學》[6]一書為主要參照．教育數學理念的實踐路徑是“重建三角”，即以低起點的面積法為引，重新定義正弦、導入正弦，推導正弦定理、余弦定理等，改造三角并重構初中階段的知識點，一線串通三角、代數與幾何，構建了一個整體性強、結構關聯度高的知識體系．

此前，教育數學體系的實踐內容已在廣州市海珠實驗中學[7-8]、成都市青白江區祥福中學[30]等多所學校開展的規?；虒W實驗中取得了較好成效，實驗相關數據與分析表明了教育數學體系改造的合理性，改造后的體系所需預備知識少，可接受程度高，受到學生與授課教師的歡迎．

借鑒上述實踐經驗并結合邛崍市整體與實驗組的實際情況，教學實踐方案確定為：在基本不大動教材與教學任務前提下，通過面積法重新定義正弦，引入正弦定理、余弦定理等內容，將其適時、適度“植入”七、八年級教學過程，施行邊實踐邊學習策略．重構課程主要安排如下．

七年級下學期：第一章整式的乘除；第二章正弦和正弦定理：用面積法引入正弦，重新定義正弦，補充單位菱形與三角形正弦面積公式，由三角形正弦面積公式導出正弦定理，將“相交線與平行線”與“正弦和正弦定理”整合為一章，主要課時有“單位菱形與三角形正弦面積公式”“由三角形正弦面積公式導出正弦定理”“等腰三角形與正弦定理”“正弦定理的應用”等；第三章三角形：補充等腰三角形與正弦定理，正弦定理的應用；第四章變量之間的關系；第五章生活中的軸對稱；第六章概率初步．

八年級上學期：第一章實數（前置）；第二章余弦和余弦定理：將勾股定理、余弦和余弦定理相結合為一章，補充銳角的余弦定義，求銳角的三角函數值，特殊銳角的三角函數值，射影定理，主要內容有“銳角的余弦定義”“銳角的正切定義”“求銳角的三角函數值”“射影定理與勾股定理”“特殊銳角30o、45o、60o的三角函數值”“特殊角與解直角三角形”等；第三章位置與坐標；第四章一次函數與正切：在“一次函數”后加入“正切”相關內容，將其合并為一章，補充銳角的正切定義，斜率及直線位置關系，特殊角與解直角三角形；第五章二元一次方程組；第六章數據的分析；第七章平行線的證明．

八年級下學期：第一章三角形的證明；第二章一元一次不等式與一元一次不等式組；第三章圖形的變換與正、余弦定理的應用：將“圖形的平移與旋轉”與正、余弦定理的應用整合為一章，圖形的平移與旋轉這部分內容相對難度較低，在此章節整合正、余弦定理的應用可以綜合難度，鞏固應用；第四章因式分解；第五章分式與分式方程；第六章平行四邊形：利用正弦三角形面積公式可以推知正弦和角公式，利用余弦定理推出相似的判定，這樣相似的問題就可以通過三角法來解決．

九年級調整主要集中在下學期，由于直角三角形的邊角關系已在八年級學完，故刪去原教材第一章“直角三角形的邊角關系”，改為：第一章二次函數；第二章圓．后續為正常教學、測試和中考復習，與邛崍市整體進度基本保持一致．

3年實踐，在實際教學過程中實驗組所用的教材頁數與北師大版教材相同，主體內容教學所用學時為315課時（未包含綜合實踐、測試、中考復習課時），與邛崍市整體教學所用課時相同，并未增加教學學時．實驗組相關習題量與對照組基本一致，未額外增加習題量．教育數學體系中各知識點的導入方法起點低，環環相扣，基礎薄弱的學生也能跟上進度，因此實驗組的教學進度基本與邛崍市整體保持一致．

3.3 測評工具分析

研究試卷采用邛崍市2017級初三第二次診斷性測試題．考試時間為2020年6月，是最接近中考的一次全市聯考，具有代表性．試卷分A、B卷，A卷滿分100分，B卷滿分50分，考試時間為120分鐘，其中，A卷側重基礎性，主要檢驗學生是否具備畢業水平；B卷為拓展性，具有選拔作用．試卷總體情況為：難度0.47，區分度0.42，信度0.89，試卷難度適中，區分度較好，且具較高可信度．

基于已有評價框架，首先對試卷題目核心素養內涵進行分析，深入挖掘每道題目考查的知識點，并根據題目特性將其歸納到最貼合的核心素養中．分類時遵循以下兩個原則．

（1）關于一個測試題涉及幾個核心素養的情況，遵循“從重”原則．首先析出此題覆蓋的知識點，再根據知識點的特征與其解題路徑，劃分其所屬的素養．一般存在這種情況時，考查素養的程度不同，再根據題目本身的側重點，將其歸入最重點考查的核心素養類中．

（2）整張測試卷中，每項核心素養考查分值的權重應遵循“統籌分布、內外一致”原則，即每項核心素養考查分值所占權重應與其內在關系和處在整體中的地位一致[31]．例如，數學運算素養是數學基礎性素養和基本技能，幾乎每個測試題都會涉及，毋庸置疑數學運算素養考查的分值權重較大，但并不能籠統地將測試題都歸類到這一素養中，而是需要根據題目本身的側重和教育數學思想體系下各素養的主次關系統籌協調，最終符合初中階段課程知識點的分布與學生認知發展的規律．

經過多次修訂，最終確定試題核心素養雙向細目表如表2所示．題目編號第一位字母代表題目所在卷號，第二、三位是題號，例如A卷中的第19題號被標記為“A19”，B卷中的第28題被標記為“B28”．

表2 試題核心素養雙向細目表

測試題共28題，系統分類后各核心素養考查的題目數以及考查分數情況如表3所示．從統計結果可以看到，研究所選測試題考查的范圍比較全面，各個核心素養均有涉及．其中，考查分值占比從高到低依次排序為數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學抽象、數學建模、數據分析．各素養考查題目分值占比與題目數量符合教材中各知識點的分布，且試題中考查的知識點不包含教育數學體系中重新定義的“正弦定理”“余弦定理”等相關知識點，試題的命制符合規范，不影響實驗整體的信度．

表3 各核心素養考查的題目數以及分值

3.4 評分標準及數據處理

測試卷評分時采用計算機閱卷，聯考后設立閱卷專家組，評卷開始前對閱卷老師進行培訓與講解，評判過程與評分標準統一嚴格按照中考標準執行．

數據處理部分，研究受董林偉與喻平采用Angoff法[32]得出“邊界組考生”標準值的啟發，對4個水平的劃分進行細化．首先參考凱利（T. L. Kelley）提出的區分度指數，即在正態分布中，兼顧高分組與低分組兩者的最佳百分數是27%[33]．基于此，將核心素養按比例劃分為如表4所示的4個等級．其中，前27%為優秀，后27%為不合格．

再根據以上標準，對各素養分別進行計算統計．例如，數學抽象素養考查了22分，則學生需要在考查數學抽象素養的題目上共拿到考查分值的73%即16.06分及以上，即可以視為達到數學抽象素養的A水平．

表4 核心素養等級水平劃分

4 數據分析

4.1 總體分析

首先，使用SPSS26.0對實驗數據中的總分進行獨立樣本檢驗，數據對比分析結果顯示值小于0.05，表明實驗組與邛崍市整體存在顯著差異．實驗組均值高于邛崍市約5分且標準差較小，由此可知，從整體來看，教育數學體系下的學生成績更優且相對均衡集中，具體情況如表5．

表5 整體t檢驗對比情況

根據試卷核心素養分類，分層對實驗數據進行獨立樣本檢驗，檢驗結果如表6所示．數據顯示：實驗組在3個核心素養層面上的平均值高于邛崍市整體，表明教育數學體系下的學生相較于傳統教材體系下的學生在各個核心素養層面上的發展情況更好．在方法素養中，值為0.013，遠小于0.05，實驗組與邛崍市整體表現出顯著差異，即教育數學體系下的學生方法素養發展明顯優于邛崍市整體水平．

表6 各素養層面t檢驗對比情況

將邛崍市整體與實驗組的各素養平均得分率進行比較（見圖2），可以更直觀地發現教育數學體系下的實驗組在6個核心素養上的整體表現優于邛崍市整體，在數學抽象、直觀想象、數學運算、數據分析4個核心素養上平均得分率超過60%，其中，數據分析素養得分率約80%．在普遍表現不佳的邏輯推理和數學建模2個核心素養上平均得分率也能略超邛崍市整體水平．可以說，實驗組的核心素養發展情況普遍優于該市整體水平．

圖2 平均得分率情況

4.2 各素養層面分析

在實驗組整體與邛崍市整體存在顯著差異的情況下，根據表4核心素養等級水平劃分標準，對邛崍市整體與實驗組數據進行4級劃分，用以具體分析各素養層面學生的表現．

4.2.1 思維素養

思維素養層面包括直觀想象和數學抽象．由表7數據可見：（1）直觀想象素養中，實驗組的A水平比例高出邛崍市4.52個百分點，D水平比例低11.45個百分點，實驗組約97%的學生在直觀想象素養上都能達到合格水平，其中優秀比例約41%；（2）數學抽象素養中，實驗組與邛崍市A、D水平比例相近，但實驗組的A、B比例之和為67.74%，高于邛崍市8.61個百分點，總體表現出優良比例略高．

表7 思維素養實驗班與邛崍市等級分布情況

4.2.2 方法素養

方法素養層面包括數學運算和邏輯推理．由表8數據可見：（1）數學運算素養中，實驗組的A水平比例略低于邛崍市，但A、B比例之和為80.65%，高于邛崍市7.14個百分點，即實驗組學生80%以上能在數學運算素養上達到優良水平；實驗組D比例水平低于邛崍市8.30個百分點，實驗組學生約99%都能在數學運算素養上達到合格水平；（2）邏輯推理素養中，邛崍市整體與實驗組各水平比例情況相近．從數據可以看出，邛崍市整體包括實驗班的邏輯推理素養發展情況不佳，不合格率均在80%以上，實驗組不合格率略低于邛崍市．

表8 方法素養實驗班與邛崍市等級分布情況

4.2.3 工具素養

工具素養層面包括數據分析和數學建模．由表9數據可見：（1）數據分析素養中，實驗組A水平比例高于邛崍市15.59個百分點，且D比例水平低于邛崍市3.17個百分點，實驗組學生在數據分析素養上優良比例高達約97%；（2）數學建模素養中，實驗組與邛崍市各水平比例相近，實驗組的合格比例略高邛崍市約2個百分點．

表9 工具素養實驗班與邛崍市等級分布情況

5 討論

在不同的素養層面，教育數學體系下的實驗組表現出不同的特點．

在數學思維素養層面中，實驗組呈現特點可以概括為：在直觀想象素養中不合格的人數比例較低，在數學抽象素養中優良人數比例之和較高，這與教育數學體系中三角與幾何的貫穿密切相關．在教育數學知識體系中，由低起點且直觀的面積法引入正弦，利用三角的方法推導幾何，在這個過程中，學生的幾何直觀與空間感知能力可以得到最大限度地激發．“直觀想象是實現數學抽象的思維基礎”[34]，有了直觀想象素養的基礎，學生在解決問題時能更好地感知和理解數學概念，抽象出數學問題的實質，在計算與推理等認知活動中聚焦學生的數學思維素養發展．

低起點的方法對學生認知負荷要求較低，讓基礎薄弱的學生不會望而生畏，從而建立起對數學學習的興趣和信心，成績提高則是水到渠成．對于基礎良好的學生，直觀連貫的推演過程能激發學生思考，在分析解決問題的過程中，教育數學系統化、緊密性強的知識體系又能很好地幫助基礎良好的學生把握知識間的聯系，從而融會貫通，有所進益．

在方法素養層面中，實驗組在數學運算素養中的優勢顯而易見：在為期3年的教育數學實踐之后，約99%的學生都能在考查數學運算素養的題目中達到合格及以上水平．實驗組學生數學運算素養的表現源于：在教育數學體系中，代數是處處有用的，運算能力甚至無需刻意訓練，在潛移默化的計算與推理中就能得到鞏固．基礎薄弱的學生在實驗后計算能力基本都能達到合格及以上水平，基礎相對較好的則體現在優良率的提升上．

在邏輯推理素養中，邛崍市整體包括實驗組的發展情況不佳．這一研究結果與已有的研究存在共性：嚴卿和喻平編制“初中邏輯推理測驗”對中國初中生的邏輯推理能力展開調查，分析發現學生在這類任務上的困難具有普遍性，重點中學學生邏輯推理能力優于普通中學學生[35]．實驗組的學生大都來自農村地區，且實驗初始水平處于全市中等水平，在發展情況普遍不佳的邏輯推理素養中，得分率與合格比例均略高于邛崍市整體水平，表明教育數學體系對農村地區學生的邏輯推理素養培養有一定的促進作用．

將實驗組2017年七年級上學期前測與2020年九年級下學期數據作對比分析，主要收集了平均分、及格率與優生率3個重要指標，實驗組在全市90個班中的排名情況如表10．

表10 實驗組各指標全市排名情況

從全市排名情況來看，實驗組均有不同程度的進步．其中，A卷的及格率提高最大，其次是AB卷的及格率與A卷的平均分，平均分與及格率排名的提升表明：教育數學體系下的實驗組學生基礎學業水平得到較大提升；AB卷的優生率提升程度高于A卷，表明在一定程度上，教育數學提升了實驗組學生在B卷的得分率，在考試中處理難度較高的試題時也能拿到較多的分數．

上述從3個素養層面具體分析了實驗組數學核心素養的發展情況以及形成原因，結合實驗組在全市的排名情況，教育數學體系對學生的影響主要表現在：實驗組均分由前測低于邛崍市整體變為高于邛崍市整體，說明實驗組學生成績有明顯進步且優于邛崍市整體，教育數學體系在一定程度上提升學生在各核心素養上的優秀率，并降低不合格比例．

6 結論

（1）邛崍市2017級學生的核心素養發展不平衡，其中，在數學抽象、直觀想象、數學運算、數據分析4個核心素養上達到較高水平，但在數學建模、邏輯推理素養上表現不佳，不合格比例過高．

（2）教育數學體系下的實驗組，與邛崍市整體存在顯著差異，并且在6個核心素養上的平均分與得分率高于邛崍市整體水平，實驗組的核心素養發展情況普遍優于邛崍市整體水平，在方法素養中的數學運算素養上顯著優于邛崍市．

（3）實驗組平均分、及格率、優生率等指標排名顯著提升，表明教育數學思想體系下的知識組織形式對學生的認知負荷要求較低，做到了把數學本身變得容易．對于基礎薄弱的學生，能在一定程度上提升其在各素養中的合格率，對于學優生而言，在維持其優秀的同時提升了其綜合解決問題的能力．綜合表明教育數學體系對各水平的農村學生數學核心素養的培養有一定的促進作用，實驗風險可控，適合大規模普及．

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Empirical Study on Educational Mathematics under the Guidance of Mathematical Key Competencies

TAN Lin1, 2, ZHANG Yong-sheng3, CHEN Ru-xian1, XU Zhang-tao4, RAO Yong-sheng1

(1. Institute of Computing Science and Technology, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;2. College of Information Engineering, Guangzhou City Polytechnic, Guangdong Guangzhou 510405, China;3. Qionglai Education Research and Training Center, Sichuan Chengdu 611530, China;4. School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430070, China)

Educational Mathematics experiments play an important role in the educational reform of China, and the development of students’ mathematical key competencies is regarded as one of the significant indicators of the effectiveness of the reform experiments. In this paper, an evaluation framework of mathematical key competencies for middle school students is selected to evaluate the Educational Mathematics experiment conducted in Qionglai City, and the impact of the experiment on the development of students’ mathematical key competencies is analyzed. First, the mathematical key competencies involved in the paper of the second diagnostic test paper for students of Grade 3 (i.e., students enrolled in 2017) are classified according to the selected evaluation framework. Second, based on scores of students’ mathematical key competencies, a comparative analysis was conducted on the development of mathematics key competencies among 3?672 junior high school students and 93 students in educational mathematics experimental classes in the city. The results show that:city’s overall key mathematics competencies development among junior high school students is unbalanced, especially on aspects of mathematical modeling competency and logical reasoning competency; however, the development of the mathematical key competencies of the students from the experimental class is more balanced, and generally better than the overall level of the city. In conclusion, Educational Mathematics can promote a balanced development of students’ mathematical key competencies, the experimental risks are controllable, and the Educational Mathematics is suitable for large-scale popularization.

mathematical key competencies; Educational Mathematics; teaching reform; evaluation study

G623.5

A

1004–9894（2024）01–0021–07

譚琳，張永勝，陳如仙，等．數學學科核心素養導向下的教育數學實證研究[J]．數學教育學報，2024，33（1）：21-27．

2023–09–04

中國高等教育學會“2022年度高等教育科學研究規劃課題”——教育數學教學評價研究與實踐（22SX0301）；教育部人文社科規劃項目——“雙減”政策落地的教師教學知識研究（22YJA880068）；2020年度廣州大學全日制研究生“基礎創新”項目（2020GDJC-M26）；四川省教育信息技術研究“十三五”規劃2020年度課題——區域推廣網絡畫板提升教師信息技術能力實踐研究（川教館[2020]60031）

譚琳（1997—），女，湖南衡陽人，碩士生，主要從事教育數學、教育技術研究．饒永生為本文通訊作者．

[責任編校：張楠、陳漢君]