美國初中數學教科書中的中國數學史

王 彬，李春蘭，張 濤

美國初中數學教科書中的中國數學史

王 彬1，2，李春蘭1，張 濤3

（1．內蒙古師范大學 數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022；2．新惠中學，內蒙古 赤峰 024399；3．內蒙古師范大學 科學技術史研究院，內蒙古 呼和浩特 010022）

在研讀分析21世紀初美國11本初中數學教科書的基礎上，從欄目分布、內容分布和運用方式3個方面梳理了這些教科書中所融入的中國數學史內容．發現美國多本初中數學教科書中用精美別致的版面引入了中國數學史內容，如，勾股定理、負數、線性方程組、中國古代數學著作中的歷史名題以及七巧板等內容．就美國初中數學教科書中融入中國數學史，得到5點啟示：堅持立德樹人，堅定對中華優秀傳統文化的自信；追根溯源，求真求實；名題變式，以題說法；游戲數學，玩中傳知；圖文并茂，不乏趣味性和藝術性．

中國數學史；美國；初中數學教科書；歷史名題；七巧板；民族自豪感；文化自信

1 問題提出

英國數學家格萊舍（J. W. L. Glaisher，1848—1928）說過：“如果企圖將一門學科和它的歷史割裂開來的話，我們確信，沒有哪一種學科會比數學損失的更多．”[1]美國著名數學史家克萊因（M. Kline，1908—1992）主張：數學教材的編寫者應該讀一讀歷史上大科學家的有關著作，將教材寫得更人性化一些[2]．老一輩數學家余介石強調：“教師對于學理，必須考其在歷史上發展之跡象，以覘人心認知之程序與限度，庶可因時指宜，善為說理，既不至使初學難以猝通，亦不至養成其謬見或誤解．歷史之于教學，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學高山仰止之思，收聞風興起之效．更可指示基本概念之有機發展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融合調劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也．”[3]國內外中小學數學教科書中融入數學史內容亦由來已久．例如：在美國數學教育家、美國數學會和美國數學協會的發起人史密斯（D. E. Smith，1860—1944）編寫的教科書（《解析幾何》，1922年）中介紹了解析幾何的歷史，數學家余介石編寫、南京正中書局出版的《建國教科書高級中學平面解析幾何學》（1936年）以該書為藍本，融入了一定數學史內容；在段育華編寫、上海商務印書館出版的《新學制混合算學教科書初級中學用》第一至第六冊（1923—1926年）中，共插入數學家肖像30幅（其中28位西方數學家，2位中國數學家），并附載小傳；等等．

從19世紀末開始，美國數學史家和數學教育家們對數學歷史的教育功能有頗多的闡述，包括激發學生的學習興趣、改變學生的數學觀、使數學人性化、讓學生從原始文獻汲取數學家的原始思想和社會文化信息、幫助學生更好地理解和欣賞數學、增強學生的自信心、通過歷史可以了解學生學習數學的困難和認知過程等[2]．《美國學校數學教育的原則和標準》中的課程原則強調，數學史知識可以作為“值得學生花時間和精力學習的數學內容”，它有助于“加深學生對數學作為一門學科和作為人類創造活動的理解”[4]．在美國學者如此重視數學史的呼聲下，美國初中數學教科書中融入了哪些中國數學史內容？是如何融入的？中華文化源遠流長，積淀著中華民族最深層的精神追求，代表著中華民族獨特的精神標識．在整個數學史的海洋中，中國數學史占有舉足輕重的地位，中國古代數學體現算法化的優秀數學思想，在如今的數學教科書中，中國數學史內容必不可少．研究者選取2000年至2010年十年間美國初中數學教科書，不分版本，共查閱32本美國初中數學教科書，發現其中有11本（見圖1、表1）教科書編有中國數學史內容．

圖1 美國11本初中數學教科書書影

表1 編有中國數學史內容的11本美國初中數學教科書

研究者從欄目分布、內容分布和運用方式3個維度對這11本美國數學教科書中的中國數學史內容進行了梳理、比較和分析．研究如下問題：美國數學教科書中是如何呈現中國數學史內容的？具體包含了哪些中國數學史內容？又是如何運用這些內容的？對中國數學教科書編寫數學史內容有何啟示與借鑒？

2 教科書中的中國數學史欄目分布

美國初中數學教科書的欄目設置一般有：章頭、引入、探究活動、例題、習題、旁白、閱讀材料等．根據王建磐等人對教科書欄目的分類方法[5]，將上述11本教科書欄目分為：非正文、引入、例題、習題4類，并統計其中的中國數學史內容，結果如表2所示．

表2 美國初中數學教科書中中國數學史欄目分布與數量

11本美國初中數學教科書中的中國數學史內容共25處，主要位于非正文、引入及習題部分，例題部分未查詢到中國數學史內容，習題部分的中國數學史內容為9處，多為中國古代數學著作中的歷史名題．其中，19處中國數學史內容以圖文并茂的方式呈現，6處以文字敘述的方式呈現．

3 教科書中的中國數學史內容分布

基于數學史概念，將美國初中數學教科書中的中國數學史內容主要分為數學概念的起源與發展、歷史名題、數學游戲3類，具體信息見表3．

3.1 數學概念的起源與發展

教科書，在“勾股定理”一節中提到，畢達哥拉斯定理是以生活在公元前6世紀的希臘數學家畢達哥拉斯的名字命名的．然而，這種關系在更早的時候就為人所知了，比如古巴比倫人、古埃及人和中國人．教科書在“勾股定理”一節中也提到，早在1000年左右，勾股定理就被中國人和古巴比倫人發明和使用．此書復習題第3題[6]介紹了中國最古老的數學和天文學的來源之一——《周髀算經》，并展示了著作中的趙爽弦圖，讓學生根據趙爽弦圖來了解探究中國人是如何使用和證明的勾股定理，如圖2．

表3 中國數學史內容分布

圖2 利用趙爽弦圖探究勾股定理

教科書，在“11.4勾股定理”一節的旁白處設置了歷史鏈接[7]（History Connection）：“畢達哥拉斯定理最早的證明來自兩千五百多年前的中國．你可以利用中國證明的圖形來證明2+2=2嗎？”（如圖3）

圖3 歷史鏈接

教科書在“11.3勾股定理”一節的開頭[8]，介紹了中國古代數學著作《周髀算經》，并展示了與著作中類似的插圖，圖中包含4個全等的直角三角形和一個正方形（如圖4）．書中設置了3個問題，通過重新排列圖形來比較非陰影區域的面積，以及探究非陰影區域與三角形邊長的關系，從而引入勾股定理．

圖4 介紹《周髀算經》與勾股定理

勾股定理作為初等幾何中重要的定理之一，它從歷史背景到多種證法都蘊含了豐富的數學史料，美版教科書不僅用文字敘述了勾股定理在中國的發展，還巧妙地設置問題情境，將趙爽弦圖融入勾股定理的探究活動與問題之中，使數學史料更貼近學生的學習，拓寬學生的視野，寓數學教育于多元文化之中．《周髀算經》中趙爽弦圖體現了中國古代數學的特色——面積“出入相補”原理，這種證明方法直觀簡明，也體現了數形結合的思想方法．

教科書在“5.4用矩陣求解方程組”練習題中的第15題提到：兩千多年前，中國人發展了列方程矩陣作為求解線性方程的一種方法[7]．對于線性方程組的研究，中國有著悠久的歷史，《九章算術》的“方程章”主要講述了一次方程組的解法．

教科書在“2.6分配律”一節的數學與歷史[9]（Math & History）模塊展現了從古至今負數的發展與應用．首先介紹了負數的歷史：“7世紀的印度數學家婆羅摩笈多（Brahmagupta，598—665）解釋了負數的運算．直到16世紀，許多數學家仍然認為數值小于零的想法是荒謬的．早在公元前200年，中國就使用了負數．”接著提出問題：“從中國人提出負數概念到公元628年在印度被發現，大約相隔了多少年？”并用時間軸刻畫了負數的發展歷程，如圖5．還繪制出西漢時期（負數最早出現于中國西漢時期編成的一部數學巨著《九章算術》的“方程章”中）數學家與皇帝討論算籌的彩圖，并標注：中國人用紅色的算籌表示正數，用黑色的算籌表示負數．美版教科書中精心設計的彩圖與文字相互映襯，使閱讀材料“有滋有味”，能夠吸引學生的閱讀興趣，拉近學生與數學史之間的距離．

圖5 數學與歷史模塊

教科書在“1.1尋找模式”[10]一節中介紹帕斯卡三角形時，首先在新知引入中介紹：“早在公元1100年，中國和伊斯蘭的數學家就開始研究三角形．1653年研究三角形的法國數學家布萊斯·帕斯卡（Blaise Pascal）稱其為算術三角形，為了紀念帕斯卡，將它稱為帕斯卡三角形．”并在旁白處展示了朱世杰《四元玉鑒》（《四元玉鑒》3卷，元朱世杰撰，成書于1303年，全書共24門，288問，是宋元時期最重要的數學著作之一，中國傳統數學水平最高的著作，也是中國數學史和世界數學史上最早系統論述多元高次方程組解法的寶貴文獻）卷首的第二幅圖：古法七乘方圓圖，配有文字介紹：帕斯卡三角形出現在中國數學家朱世杰于1303年寫的《四元玉鑒》中（如圖6）．教科書在拓展資料[7]“帕斯卡三角形”也設置了古法七乘方圓圖（如圖7），圖片下方介紹：“帕斯卡三角形其實是朱世杰于1303年在《四元玉鑒》上首次發表的．”圖7中的插圖來自《四元玉鑒》卷首的第二幅圖[11]：古法七乘方圓（如圖8）．但教科書在引入史料時，未核實史料的正確與否，誤用“首次”一詞，認為帕斯卡三角形是由朱世杰首次提出的．其實，朱世杰在《四元玉鑒》中發表的“古法七乘方圓圖”是北宋賈憲“開方作法本源圖”（即賈憲三角，賈憲三角是開方作法本源圖的今稱，由中國北宋數學家賈憲所創．西方的帕斯卡三角形的提出，晚于賈憲三角600年．賈憲三角是一個指數為正整數的二項式定理系數表）的推廣，由七層推廣到九層（八次冪），又用線條將各個數字連結起來，進一步展示出這些數字之間的規律：除三角形兩條斜邊都是由數字1所組成，其它的數字都等于它肩上的兩個數之和．此圖在楊輝《詳解九章算法》“少廣”章中有記載，指明此圖：“出釋鎖算書，賈憲用此術．”[12]可知賈憲才是這三角形的發明人．

圖6 介紹《四元玉鑒》

圖7 拓展資料中的古法七乘方圓圖

圖8 古法七乘方圓

美版教科書在講述帕斯卡三角形的時候，不忘追根溯源，引入數學家朱世杰的《四元玉鑒》，此書的數學成就已得到國際科技史界的矚目和公認，美國科技史家薩頓稱《四元玉鑒》是“中國數學著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀最杰出的數學著作之一”，并稱朱世杰“是他所生存時代的、同時也是貫穿古今的一位最杰出的數學家”[13]．

3.2 歷史名題

數學歷史名題體現和諧之美，是人類文化的瑰寶，中國古代數學著作中蘊含了豐富的數學名題，以實際應用為目的，與生活緊密相連，頗有趣味．

教科書在“2.6用乘法或除法解方程”一節的習題39[14]將《九章算術》中的一道問題進行變式，題為：“一只羊、一匹馬和一頭牛誤入農夫的麥田，吃了一些禾苗．馬吃的是羊的兩倍，牛吃的是馬的兩倍．農夫要求牲畜的主人給他5斗小麥來代替它們吃的東西．羊的主人應該給多少小麥？馬的主人呢？牛的主人呢？”緊接著題目下方給出點撥．

a. 設為羊的主人應該給的小麥量（單位為斗）．怎樣用表示馬的主人應給的數量？牛的主人呢？

b. 列一個方程并解出．到十分之一斗，每個牲畜的主人需要給多少小麥？

此題選自《九章算術》第三卷“衰分”，原題為[15]：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？該題考查的是按比例分配，美版教科書巧設未知數，列方程來解答此題，但未交代該題出自中國的《九章算術》．

教科書在“第9章勾股定理”中的習題22[6]，引用了《九章算術》勾股章的習題．書中首先介紹了《九章算術》是中國古代數學教材，共有246道習題，許多題目使用了勾股定理，即畢達哥拉斯定理的中文名稱，指出勾股定理為：勾2+股2=弦2．接著敘述了此題：“一根繩子從一木柱的頂端垂下來，有三尺在地上．當把繩子拉緊，使它的一端剛好接觸到地面時，它離木柱的底部有八尺遠．繩子有多長？”題旁插入了繩子與木柱的圖片，形象地描繪了題目，將題意用圖畫（如圖9）的方式呈現出來，易于學生的理解．圖旁還使用中文標注著《詳解九章算術》中的解法：木長如股索，余如股弦較；木長如股弦，索斜之如弦．原題為：“今有立木，系索其末，委地三尺．八尺而索盡．問：索長幾何？”美版教科書直接引用中國的歷史名題，插入帶有中國漢字的插圖，為學生提供了不同文化背景下的題目．

圖9 引用《九章算術》勾股章中的習題

《九章算術》是中國傳統數學中最重要的經典著作，歷來被尊為算經之首．它之于中國和東方數學，大體相當于《幾何原本》之于希臘和歐洲數學．在世界古代數學史上，《九章算術》和《幾何原本》像兩顆璀璨的明珠，東西輝映[16]．《九章算術》集先秦到西漢的數學知識之大成，全書包含246個題目，題目由“問”“答”“術”3部分組成．它具有理論密切聯系實際的風格，以計算為中心，奠定了中國傳統數學的基本框架，不僅使數學成為中國古代最為發達的基礎科學學科之一，而且深刻影響了此后兩千余年間中國和東方的數學發展．《九章算術》具有如此重要的地位，這大概也是美國數學教科書融入其中名題的主要原因．

教科書在第2章“比例推理與變異”復習題的Improving your reasoning skills（提高你的推理能力）版塊中有一道題目[7]：“一位城市官員在監測用水情況時，看到一位婦女在河里洗盤子．他問：‘這里為什么這么多盤子？’她回答道：‘這所房子里有一個晚宴．’他又問：‘有多少客人出席聚會？’女人不知道但回答道：‘每兩位客人共用一盤米飯，每3位客人吃一道菜肉湯，每四位客人用一個盤子吃肉，宴會上總共用了65個盤子．’有多少客人參加了晚會？”此題是著名的“河上蕩杯”問題（蕩杯，即洗碗），教科書中介紹此題來自于中國古代著作《九章算術》，這是錯誤的，此題首先出自成書于公元400年前后的《孫子算經》中的第17題，《張邱建算經》和吳敬的《九章算法比類大全》中也存在這一題．而美國教科書誤認為此題來自《九章算術》，可能是與《九章算法比類大全》混肴了．

原題是：今有婦人河上蕩桮（杯的繁體字）．津吏問：“桮何以多？”婦人曰：“家有客．”津吏曰：“客幾何？”婦人曰：“二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五，不知客幾何？”此題故意將解法的思想過程隱藏起來，使讀者很難領會解決同類問題的一般原則，從而鍛煉學生的推理能力．題旁還展示了一幅來自17世紀中國的卷軸畫《四季風景》（如圖10）．除了“河上蕩杯”問題，“雞兔同籠”“物不知數”等名題也都出自《孫子算經》．

圖10 “河上蕩杯”問題

教科書在“17.3用線性組合求解線性系統”一節的數學與歷史模塊[9]介紹了線性方程組的歷史（如圖11）．從古至今，首先介紹了第一個線性方程組來自中國1247年的《數書九章》（該書內容異常豐富，計分大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易等9大類），給出書影及書中第八章軍旅類中的“計造軍衣”習題，原題是：“問庫有布綿絮三色，計料欲制軍衣．其布，六人八匹，少一百六十匹，七人九匹，剩五百六十匹．其綿，八人一百五十兩，剩一萬六千五百兩，九人一百七十兩，剩一萬四千四百兩．其絮，四人一十三斤，少六千八百四斤，五人一十四斤，適足．欲知軍士及布綿絮各幾何？”[17]接著用精美的圖片和簡略的文字回顧了從公元前3000年的第一個算盤，發展到1879年的收銀機以及今天的帶有掃描儀的收銀機，展示了數學帶來的科技進步．除這本教科書外，教科書，在“7.3用線性組合解線性系統”一節中也引入了此問題．

圖11 介紹線性方程組的歷史

圖12是教科書“第2章比例推理與變異”的一道復習題[7]，摘自《數書九章》第十二卷凡六問中“米谷粒分”問題，原文是：“問開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊，驗得米內夾谷．乃于樣內取米一捻，數計二百五十四粒，內有谷二十八顆．凡粒米率，每勺三百，今欲知米內雜谷多少，以折米數科責及粒，各幾何？”[17]中國2015年湖北高考數學選擇題也出過此題：糧倉開倉收糧，有人送來米1?534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為多少？

圖12 “米谷粒分”問題

《數書九章》由南宋數學家秦九韶1247年編著完成，此書綜合了前此的算學精華，并發揮了他的高度創造性，記載了秦氏的創造和發明，多譽之為算中寶典，是祖國至可寶貴的數學遺產．美國著名科學史家薩頓就曾指出：秦九韶是“他那個民族、他那個時代，并且確實也是所有時代偉大的數學家之一”[17]．

中國古代數學體現出算法化的優秀數學思想，數學歷史名題是在數學的發展，生產生活中產生的，具有相應的歷史事實背景，能夠體現數學思想方法．教科書中融入歷史名題，能夠直接反映當時的社會生活狀況，也能了解當時人們的數學思維水平[18]．解答數學歷史名題，有助于培養學生的數學文化，也能使枯燥乏味的習題教學變得豐富多彩，見識到不同國家不同民族的文化生活，激發學生的學習興趣．

3.3 數學游戲

七巧板是中國民間流傳的一種拼圖游戲，起源于宋代，后來傳到歐、美、日本等許多國家和地區，又叫做“七巧圖”“唐圖”“智慧板”“流行的中國拼板游戲”“中國解謎”“東方魔板”等[19]．搜集到的教科書中，有7本美國初中數學教科書涉及了中國七巧板的內容，具體信息見表4．

表4 美國初中數學教科書中的七巧板具體內容

由表4可知，中國七巧板多被應用于美國初中數學教科書的平面幾何部分，如多邊形對角線數目的探究、梯形概念的學習、正方形面積的推導、勾股定理的探究以及七巧板習題的變式等．美版教科書給予學生充分發揮想象力和創造力的空間，巧妙地利用了七巧板的靈活性、隨意性和可操作性，學生直接利用七巧板或在紙上裁剪出各個板塊，親手制作七巧板，將其任意排列拼成不同形狀的圖形，在享受無窮樂趣的同時又經歷新知識的探究過程，增長學習經驗，提高幾何直觀能力．

研究七巧板的專家們一致認為，七巧板源于中國古時的勾股法，1846年出版的《七巧圖集成》中有這樣的話：“以七尖方，運勾股法，不覺三才萬象，悠然而畢會千心，燦然而具列千目，非天下之至巧，其孰能與千此．”稍后于1861年出版的《七巧八分圖》更直截了當地說：“七巧圖傳世久矣，源出勾股，意蘊精深，端倪層出不窮．”[20]既然七巧板源于勾股，顯然勾股定理的探究中少不了七巧板，能讓學生在拼圖游戲中探究定理，何樂而不為？

4 教科書中運用中國數學史的方式

依據數學史與數學知識的關聯程度，華東師范大學汪曉勤教授將數學教科書運用數學史的方式分為5種類型：點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式，具體信息如表5所示[21]．

表5 數學教科書運用數學史的5種方式

由表5及美版教科書中的中國數學史內容分布的統計，發現美版教科書中的中國數學史運用方式多為直接引入，運用點綴式融入數學史料有2處，運用附加式有10處，運用復制式有4處，運用順應式有9處，如圖13．

圖13 美國初中數學教科書中的中國數學史的運用方式

（1）點綴式．

點綴式運用中國數學史料主要出現于正文中，為知識點、習題等補充背景圖片．如美版教科書中引入《數書九章》中的一道題目，在題旁插入了《數書九章》的書影以及古算盤的圖片．點綴式史料主要是反映相關主題的歷史圖片，起到裝飾的作用．

（2）附加式．

附加式運用中國數學史料主要出現于引入、閱讀材料、正文敘述內容中．如先介紹七巧板的歷史，起源于中國，由5個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形組成，后設置以七巧板為背景素材的習題，或引出三角形和四邊形面積公式的推導等探究活動．教科書在呈現帕斯卡三角形內容介紹了朱世杰《四元玉鑒》中的古法七乘方圓圖．教科書“矩陣與行列式”一節的“Math: Who, Where, When”欄目中介紹了類似與行列式的分離系數方法可以追溯到12世紀的中國數學家，中國人研究解決方程組的模式時，發現了可以將數值系數排列成一個方陣，類似于計算器（算盤）上的方陣．教科書設置數學與歷史模塊，介紹了負數的發展歷史．附加式數學史料為教科書相關知識點介紹了歷史背景，補充了歷史知識，篇幅簡潔明了，個別教科書還設置了精美的插圖，形象生動，將數學史料躍然紙上，讓學生身臨其境地經歷數學概念的發展過程．

（3）復制式．

復制式運用中國數學史料主要出現于習題中，多為直接呈現中國數學歷史名題．如直接引入《九章算術》勾股章的繩子問題、“河上蕩杯”問題、《數書九章》中的“計造軍衣”與“米谷粒分”等問題．美版教科書展現了中國古代優秀的數學文化和思想方法，豐富了歷史名題的現實意義，讓學生感受不同文化背景下的優秀文化．

（4）順應式．

順應式運用中國數學史料主要出現于引入、探究活動、拓展題等部分．如教科書在“對角線和多邊形的角”一節中利用中國古代的七巧板，引導學生將任何數量的板塊排列組合成不同的圖形，進而確定不同多邊形對角線的數目．教科書在“勾股定理”一節中引入了中國古代數學著作《周髀算經》中的插圖，通過4個直角三角形和正方形的組合來探究勾股定理．教科書在“勾股定理”一節中利用七巧板探究勾股定理（如圖14）．首先，讓學生在坐標紙上畫出七巧板的簡圖，并用給定的字母標記每一塊，將這7塊剪下來；其次，在另一張紙上畫出七巧板中的一個大三角形，并用所有的七巧板在大三角形的直角邊處，以兩直角邊為邊長組成兩個正方形；最后，將所有的七巧板沿著大三角形的斜邊組成一個正方形．通過此過程引導學生觀察拼成的正方形和三角形，探求它們之間的邊長和面積關系，得到勾股定理．教科書，在“比例與測量系統”的章后拓展題中以七巧板為背景，設置了一道習題，求每個七巧板的面積與整個正方形的面積之比．順應式運用中國數學史料以中國數學歷史為背景，再現古人思想，設置題目與探究活動，起到古為今用，推陳出新，激發學生學習興趣的作用．

圖14 七巧板

5 結論與啟示

5.1 結論

通過對11本美國初中數學教科書中的中國數學史內容的設置分析，得出以下結論．

（1）美國初中數學教科書中的中國數學史主要設置于非正文、引入和習題部分，多以圖文并茂的形式呈現，不僅敘述了中國數學史料，而且設置了精美的插圖，將史料以圖畫的形式展示出來，形象生動地與教科書所融合．

（2）美國初中數學教科書中的中國數學史內容展示了中國優秀的傳統文化．書中以多樣的形式呈現了勾股定理內容涉及的中國數學史料，包括文字敘述勾股定理在中國的歷史、趙爽弦圖的變式應用、《九章算術》中的歷史名題、《周髀算經》中的證明方法等；精美的閱讀材料版塊，從古至今展示了負數以及線性方程組的歷史；古著作中的原圖跨越國界，呈現了朱世杰著作中的“帕斯卡三角形”．中國古代數學著作中的歷史名題被應用到習題部分，展示了中國優秀的古代數學思想，如面積“出入相補”原理，將中國古代數學代數化、算法化等與西方公理化相結合．中國發明的七巧板在美版教科書中的平面幾何部分靈活應用，盡顯奧秘．遺憾的是，部分數學史料的引入出現了錯誤，如誤認為“帕斯卡三角形”最早是由朱世杰發現的，河上蕩杯問題的出處出現了錯誤．

（3）美國初中數學教科書以點綴式、附加式、復制式和順應式為主，將中國歷史名題、七巧板、古著作等優秀文化融入教科書中，為知識補充歷史材料，為題目增添歷史氣息，為活動創設人文樂趣，重構式間接引入數學史略顯不足．

5.2 啟示

美國初中數學教科書的中國數學史內容的融入對中國數學教科書的編寫有如下啟示．

（1）堅持“立德樹人”，堅定對中華優秀傳統文化的自信．美國教科書中展示了勾股定理、負數、線性方程組等內容在中國的歷史淵源，融入中國古代數學著作中的歷史名題，以多種形式學習中國優秀的傳統文化．文化是一個國家、一個民族的靈魂．中華優秀傳統文化是中華民族的獨特標識和突出優勢，中國數學教科書中在融入外國數學史的同時，理應大力弘揚中國優秀的數學史內容，不忘初心，讓優秀傳統文化進課本、入課堂，在潛移默化中滲透數學文化，拓寬學生的視野，使中華文明得以傳承．

（2）數學教科書的編寫應追根溯源，求真求實，注意數學史運用的正確性．在呈現某一數學知識的歷史背景時，要尊重歷史，“刨根問底”，展現歷史的本來面目，將歷史背景了解得十分透徹全面，再融入教科書中，尤其對“首次”要核實清楚，以免發生錯誤．中國北師大版七年級下冊“完全平方公式”一節的“讀一讀”中介紹了楊輝三角，并給出賈憲的“開方作法本源圖”以及歐洲的帕斯卡三角形；華師大版八年級上冊“乘法公式”一節最后的閱讀材料中介紹了賈憲三角；人教版八年級上冊“完全平方公式”一節的閱讀與思考中也介紹了楊輝三角，但文中僅提到賈憲也用過此方法，并沒有提到賈憲才是發明人，這一點可能會讓學生對此三角形的真正發明人產生誤解．

（3）數學教科書的編寫應名題變式，以題說法．將古代經典數學著作中的名題適當融入中小學數學教科書中，將現代數學和古代經典數學連接起來，有助于學生了解歷史文化、多元文化背景下進行數學思考，學習邏輯分析方法．中國北師大版八年級上冊將《孫子算經》中的雞兔同籠問題單獨設一節，將古算題帶進學生的學習生活．名題的引入也要注意方式，既可采取復制式直接引入，或者將其變式成符合當今時代背景的習題，拉近學生與名題之間的距離，利用名題講解一些古代具有影響力的數學思想方法，開拓學生的視野．也可將數學史料以問題的形式融入教學過程中，寓史料于問題鏈中，潛移默化地向學生滲透數學史．

（4）數學教科書的編寫可以適當游戲數學，玩中傳知．美版教科書多次應用中國古代玩具七巧板，僅憑7個規則的板塊，就給游戲者以充分發揮想象力和創造力的空間，在組合板塊的同時，鍛煉學生的空間想象能力和邏輯思維能力，在享受無窮樂趣的同時鍛煉了智力．中國古典智力游戲3絕：七巧板、九連環和華容道．它們的背后有著許多有趣的數學問題，不管是在教科書的編寫還是教學過程中，可以適當融入數學游戲，玩中學，做中學，體驗過程，獲取新知．

（5）數學教科書的編寫應圖文并茂，設計精美．中國數學教科書中一般設置單獨的版塊引入數學史料．例如：人教版“有理數的加減法”一節中設置“閱讀與思考”，介紹了中國人最先使用負數，還插入古代紅色與黑色的算籌表示數的圖片；北師大版“有理數”一節的讀一讀設置了“負數小史”，以文字形式敘述了負數的歷史；華師大版“有理數的加減混合運算”一節中的閱讀材料介紹了中國人最早使用負數以及《九章算術》的歷史和中國古代的“正負術”，也是以文字形式進行敘述的．中國數學教科書以文字形式對史料進行介紹，與美版教科書利用圖文并茂的形式相比少了點趣味和吸引力，缺乏藝術性與美感．為增強學生的閱讀興趣，將拓展史料與正文相區別，應適當在版面設計時加以修飾，將某一知識點背后的數學史設計成精美圖片或卡通圖等樣式，盡量減少純文字的羅列，將數學史融入教學情境或教科書情境中．

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History of Chinese Mathematics in American Middle School Mathematics Textbook

WANG Bin1, 2, LI Chun-lan1, ZHANG Tao3

(1. School of Mathematical Science, Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Hohhot 010022, China;2. Xinhui Middle School, Inner Mongolia Chifeng 024399, China;3. Institute of History of Science and Technology, Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Hohhot 010022, China)

On the basis of studying and analyzing 11 American junior middle school mathematics textbooks in the early 21st century, this paper sorts out the contents of Chinese mathematics history integrated into these textbooks from three aspects: column distribution, content distribution and application mode. It is found that many American junior middle schools’ math textbooks introduce Chinese math history content in exquisite and unique layouts, such as the Pythagorean theorem, negative numbers, linear equations, famous questions in ancient Chinese math works and tangram and so on. Regarding the integration of Chinese mathematics history into American junior middle school mathematics textbooks, we get five enlightenments: strengthen confidence in the excellent traditional Chinese culture; trace back to the source and seek truth and reality; change of title and use questions to teach the method; learn math in games; illustrated and beautifully designed, and, it’s fun and artistic.

history of Chinese mathematics; America; middle school mathematics textbook; famous question of mathematics history; tangram; a sense of national pride; cultural self-confidence

G423.3

A

1004–9894（2024）01–0077–08

王彬，李春蘭，張濤．美國初中數學教科書中的中國數學史[J]．數學教育學報，2024，33（1）：77-84．

2023–09–12

內蒙古自治區哲學社會科學規劃項目——落實中小學數學教科書立德樹人任務研究（2021NDB197）；內蒙古自治區高等學?？茖W研究項目（教育廳人文社科重點項目）——中國數學科普讀物整理與研究（1912—1952 年）（NJSZ21004）；內蒙古自治區研究生教育創新計劃資助項目，內蒙古師范大學研究生科研創新基金資助項目——國外數學教科書中的中國數學史設置之研究——以美國初中數學教科書為例（CXJJS20087）

王彬（1997—），女，內蒙古赤峰人，碩士生，主要從事數學史與數學教育研究．李春蘭為本文通訊作者．

[責任編校：陳漢君、陳雋]