基于全局穩定性理論的e N 方法對高超聲速有迎角錐背風流向渦轉捩分析

陳 曦，涂國華，萬兵兵，*，袁先旭，陳堅強，陳久芬

(1.空天飛行空氣動力科學與技術全國重點實驗室，綿陽 621000；2.中國空氣動力研究與發展中心 超高速空氣動力研究所，綿陽 621000)

0 引 言

高超聲速邊界層轉捩會造成表面熱流和摩阻劇烈變化，成為飛行器設計需要考慮的重要問題。針對諸如零迎角圓錐、平板外形等簡單二維邊界層的轉捩現象，目前已有較充分的研究并取得了較大進展[1-5]。相較而言，雖然三維邊界層轉捩更能體現真實飛行的流動特征，但由于其流動結構復雜而研究難度大，相關研究尚處于起步階段。典型的三維邊界層轉捩研究模型包括有攻角圓錐[6-13]、美澳HiFIRE-5的橢錐[14-20]、美國空軍AFOSR的BOLT模型[21-22]以及中國空氣動力研究與發展中心（CARDC）的升力體標模HyTRV[23-24]等。這些模型的共同點是由于周向壓力梯度的存在，驅使流體從高壓區向低壓區匯聚，進而形成3種特征流動區域，即流向渦區（流線匯聚）、橫流區和接觸線區（流線發散）。下面重點介紹流向渦轉捩研究現狀。

流向渦轉捩研究最早在風洞開展[25-26]，風洞實驗主要關注轉捩位置的參數影響規律，少量實驗開展了擾動波的定量測量。由于缺乏空間場測量數據，難以判斷流向渦的主導失穩模態。隨著算法和計算機技術的發展，近年來涌現出不少涉及流向渦轉捩的數值模擬結果。數值模擬可依賴動態模式分解（dynamic mode decomposition, DMD）技術[27]得到不同頻率的擾動信息，通過傅里葉分析可得到流向渦轉捩中擾動頻譜、幅值等物理量的定量演化過程[22]。相比風洞實驗和數值計算，穩定性分析可以更快速、更直接獲得流向渦主導失穩模態。早期的流動穩定性分析忽略了流向渦的周向流動變化，而采用局部一維線性穩定性理論（linear stability theory, LST）分析當地位置點的流動穩定性特征。最早將流向渦的展向變化納入考慮的是Choudhari等的工作[15]，他們將橢錐短軸流向渦穩定性問題歸結為二維矩陣特征值問題（BiGlobal），發現BiGlobal結果與一維分析問題結果相差較大，于是他們得出結論：流向渦問題需要考慮展向流場變化。Choudhari等求解的是時間模式BiGlobal問題，不能描繪流向渦模態在空間上的失穩特征。Paredes等[17]開展了空間模式下的BiGlobal問題研究，發現流向渦存在對稱和反對稱模態，在低雷諾數條件下兩者具有相似的性質，而在高雷諾情形下對稱模態比反對稱模態更不穩定。李曉虎等[28]根據模態形狀函數分布特征將對稱和反對稱模態進一步細分為Y模態和Z模態，其中Y模態主要分布在流向渦肩部，而Z模態主要分布在流向渦柄部（stem region），此外Z模態頻率、相速度和增長率等都較Y模態低。最近，Choudhari等[20]采用面推進拋物化穩定性方程（3D parabolized stability equations, PSE3D）研究了小迎角飛行工況下橢錐流向渦擾動演化問題，他們發現反對稱模態最不穩定，其基于PSE3D（全局穩定性理論）的eN方法得到的N值在飛行試驗轉捩位置達到15左右。針對HyTRV升力體標模，流向渦結構主要存在于標模下表面中心區和上表面肩部區域。下表面中心流向渦結構類似于橢錐短軸上的流向渦，而上表面肩部流向渦是一種非對稱的三維渦結構。Chen等[24]針對該非對稱流向渦開展了穩定性分析，發現在流向渦肩部外緣區的失穩模態（稱為外模態）占主導。

有迎角圓錐是工程常見的典型標模，但其背風流向渦轉捩研究還相對較少。陳曦等[29]針對高超聲速常規風洞工況下有迎角圓錐背風流向渦失穩開展了穩定性分析和直接數值模擬工作，基本流采用轉捩場的平均流，研究發現反對稱模態最不穩定，其N值在DNS轉捩位置可達10左右。Li等[30]針對相同工況，以層流場開展了穩定性分析，進一步明確在上游反對稱的Z模態占據主導地位，可能導致轉捩提前發生。由于該模態分布主要集中在流向渦柄部的內剪切層區域，因此也被稱為內模態。他們還發現流場中存在被流向渦修正的Mack（第二）模態不穩定性。隨后他們還考察了背風中心線小突起粗糙元對流向渦穩定性的影響，發現外模態被抑制，流向渦轉捩可能被延遲[31]。Paredes等[32]研究了迎角對鈍錐背風面流向渦的影響，發現隨著迎角從0°增大到5°，背風面中心線失穩位置逐漸前移，但由于與風洞實驗轉捩位置對應的N值都低于2，他們推測模態失穩前的非模態增長可能參與了轉捩過程。最近，Zhang等[33]利用BiGlobal和PSE3D分析了飛行工況下有迎角鈍錐流向渦失穩特性，發現內卷渦是其主導渦結構，導致內模態具有與外模態相當的失穩頻率，與前人研究中外卷渦主導的結果不同；他們還發現由于冷壁效應，該內模態具有聲輻射性質，而Mack模態最不穩定。Wang等[34]利用直接數值模擬和BiGlobal分析考察了壁溫比對鈍錐背風面流向渦轉捩的影響，發現增加壁溫比雖然可以抑制流向渦不穩定性，但卻導致流向渦轉捩提前，他們認為轉捩提前的原因在于高壁溫比促進了側面橫流不穩定性，后者影響了流向渦轉捩進程。

綜上所述，有迎角圓錐背風面流向渦失穩研究還不充分，特別是缺乏理論與實驗的細致對比研究。本文將針對不同工況下的有迎角圓錐背風流向渦開展全局穩定性分析，分析流向渦不同模態的失穩機制，并結合風洞實驗分析轉捩N值。

1 風洞實驗條件和結果

風洞實驗是在CARDC口徑1 m暫沖吹吸式高超聲速風洞中進行，可通過選定噴管和控制總溫總壓參數獲得所需來流馬赫數和單位雷諾數，并配備快速送機機構，便于瞬時測熱實驗，詳細介紹可參考文獻[35]。實驗模型為半錐角7°的圓錐模型，總長約800 mm，其中錐頂端采用可更換結構，頭部半徑rn=0.05、5 mm，見圖1。圖1還展示了迎角α0、直角坐標系（x為軸向，y指向背風中心線，z指向垂直于x-y平面方向）及相應的速度分量（U, V, W）、隨體坐標系（ ξ,η,ζ）及相應的速度分量（Uξ,Vη,Wζ）和半錐角（ θ0）。模型共加工兩套，一套是金屬模型，用于脈動壓力測量，采用8個高頻脈動壓力傳感器（PCB，采樣頻率3 MHz，安裝在同一條母線上，具體位置x=125、205、285、365、445、525、605、685 mm）；一套是非金屬模型，由金屬頭部和聚四氟乙烯尾部組成，金屬頭部理論長度為165 mm，非金屬段長度為635 mm，非金屬段可用于紅外熱圖測量，采用紅外熱像儀系統。紅外測溫技術可以在不破壞模型表面的情況下獲得模型表面溫度分布，然后根據層流到湍流的明顯溫升特點判斷轉捩位置或陣面。本文考察的風洞工況見表1。

表1 風洞實驗工況Table 1 Wind tunnel experimental conditions

圖1 研究模型、來流條件、直角坐標系和隨體坐標系等示意圖Fig.1 Sketch of the model, freestream conditions, the Cartesian coordinate system ( x, y, z )and the body-oriented coordinate system ( ξ, η, ζ )

利用紅外熱像儀測得模型表面溫度隨時間的變化，采用階躍熱流法[36]求得表面熱流分布。在階躍熱流法中，假設模型表面熱流變化為階躍形式，據此可推得熱流值Q如下：

其中， ?Tw為壁溫在 ?t時間內的變化值， ρ1、c1和k1分別為模型材料的密度、比熱和熱傳導系數。本文采用流動穩定段 ?t=1 s的溫升數據計算熱流值。圖2給出表1中3個工況下背風面熱流分布。熱流數值根據以往實驗模型的物性參數標定，存在一定誤差，但熱流變化對物性參數并不敏感。若參考背風中心線熱流分布，以熱流開始快速抬升位置作為轉捩起始位置，以熱流峰值位置作為轉捩終止位置，則3個工況下的轉捩發生區（圖2綠色帶狀區）分別為x∈(165mm,250mm) （ 工況1）、x∈(200mm,280mm)（工況2）和x∈(200mm,310mm)（工況3）。我們注意到轉捩區長度大致在100 mm左右，遠大于相近工況下的數值模擬結果[34]。這說明我們的轉捩區劃定偏保守，擾動的非線性效應在轉捩區前期可能并不顯著。圖中還可看到，工況1和工況2的轉捩陣面與工況3的轉捩陣面明顯不同，可能是由于流場結構的差異導致。從第3節中可見，工況1和工況2的背風面中心線附近流場在轉捩位置附近還未發生明顯卷曲，而工況3的流場已出現明顯的流向渦結構。此外，還注意到工況2和工況3的轉捩陣面并不對稱，推測可能的因素有兩個：一是模型安裝存在微小的偏航角；二是表面因加工誤差存在不均勻粗糙度?？紤]到中心線附近轉捩結果的局部對稱性較好，而本文關注的流動正好集中在背風面中心線附近，因此該實驗結果對本文的理論分析研究仍具有參考意義。

圖2 紅外試驗測得的圓錐背風面轉捩陣面（左列，虛線表示中心線）和對應的背風中心線熱流值Q分布（右列）（a）工況1，（b）工況2，（c）工況3Fig.2 Infrared measurement of transition fronts (left) and axial variations of the wall heat flux in the leeward center lines (right), (a) Case 1，(b) Case 2，(c) Case 3

圖3給出工況1不同流向站位處壓力傳感器測得的擾動功率譜。在x= 125 mm出現200 kHz左右高頻擾動峰值，在x= 205 mm出現150 kHz左右的高頻峰值，之后下游功率譜變為寬譜，沒有明顯的擾動峰值，表明轉捩已經發生。

圖3 工況1的功率譜Fig.3 PSD of Case 1

2 計算方法與分析理論

2.1 數值模擬方法

本文采用高精度數值模擬方法求解笛卡爾直角坐標系(x,y,z)下的Navier-Stokes方程，方程中空間黏性項采用四階中心差分格式，對流項在經過Lax-Friedrichs通量分裂后采用三階WENO差分格式；時間項采用三階Runge-Kutta離散格式進行推進，推進的時間步長采用當地化CFL參數，這里設定為0.8。邊界條件為：壁面采用無滑移、無滲透的等溫條件，上邊界采用來流條件，出口采用一階外推法。

計算網格在流向、周向和法向分別布置501、301和301個點，并在近壁和頭部附近加密。為了準確捕捉流向渦的周向流場變化，網格在背風流向渦附近也做了加密處理。網格分布特征如圖4所示。為了驗證網格無關性，針對工況2，補充計算一套不同網格，即法向和展向網格均增加到351個點。圖5給出基于這兩套網格的基本流流向渦結構，不同顏色曲線代表不同網格下的流向速度等值線，對比了x= 550 mm和x= 950 mm的流向渦結構?？梢钥闯龆呋緹o差異，說明現有網格分辨率足夠計算流向渦結構。

圖4 網格分布特征（流向間隔5個點繪制，法向和展向網格均間隔2個點繪制）Fig.4 Computational mesh(For clarity, every fifth points in the axial direction and every second points in other two directions are plotted)

圖5 工況2下兩套網格的流向渦結構對比（流向速度等值線，間隔為0.1）Fig.5 Grid independent test of the laminar solution (axial velocity) for Case 2

2.2 全局穩定性理論及eN方法

全局穩定性理論有兩種分析方法，分別是BiGlobal和PSE3D。BiGlobal是求解當地二維特征值問題的理論方法，相比LST方法，增加考慮了展向流動變化，可預示更復雜的渦流動失穩機制。PSE3D是面推進的三維拋物化穩定性方程方法，解決的是擾動空間演化問題，比直接數值模擬方法效率高且不失精度?；谌址€定性的eN方法的基本理論框架是通過BiGlobal獲得當地擾動模態；然后將其作為入口條件，利用PSE3D沿流向推進獲得不同流向站位的擾動增長率；最后通過eN方法積分增長率，獲得N值分布。下面具體介紹理論方法。

BiGlobal和PSE3D均要求基本流在流向是緩變的，這點在隨體坐標系下是成立的，即基本流沿ξ方向（母線方向）變化緩慢。于是，下面均基于隨體坐標系構建BiGlobal和PSE3D的方法體系。

對于BiGlobal方程，將流場分解成層流場加擾動場，其中擾動場基于平行流假設，其三維擾動形式為：

其中，q≡(ρ,u,v,w,T)T，代表時均場，為以溫度脈動峰值歸一化的擾動形狀函數；ε表征擾動幅值大小，一般假設ε?1；ω為擾動頻率；待求的α實部為擾動波數，虛部負值為增長率；c.c.代表共軛。本文中，增長率和位置信息一般用有量綱來表示，而其他物理量均采用對應的來流值無量綱化。將上式代入(ξ,η,ζ)坐標系下的Navier-Stokes方程，通過線性處理（只保留一階小量）可得空間BiGlobal方程如下：

其中，A0、A1和A2是包含層流場信息的算子，具體形式見文獻[24]。

針對該方程，采用四階有限差分離散。展向計算域根據流場特征選取為 0≤?≤23 ，其中 0代表背風中心線，而另一個展向邊界（ ?=23）遠離流向渦結構；法向外邊界距離壁面17 mm左右，同樣遠離流向渦結構。經過計算表明，進一步擴大計算域并不影響分析結果。在背風中心線處采用對稱或反對稱邊界條件，在其他邊界處均為在計算過程中，分別采用對稱和反對稱條件來得到對稱模態和反對稱模態。對于工況1和工況2，我們發現反對稱模態和對稱模態性質相近（主頻、增長率、相速度和形狀函數等性質），但對稱模態更不穩定，因此本文展示的結果均為采用對稱條件得到的對稱模態結果；對于工況3，外模態對中心線處邊界條件并不敏感，而內模態則在反對稱條件下更不穩定，因此展示了對稱外模態和反對稱內模態的結果。根據流場結構和不穩定性性質的不同分別采用從100到201和從100到300不等的網格點。方程采用隱式Arnoldi方法[37]進行迭代求解，當找到一個物理不穩定模態時，可進一步采用牛頓迭代法計算該模態在頻率或流向位置連續變化時的特征值。牛頓迭代方法[33, 38]可寫作如下形式：

其中下標j代表迭代步數，Ξ、F和JF可表示為：

f1是離散的全局穩定性方程（與式（3）一致），可寫作如下矩陣形式：

f2是歸一化條件：

當F的模（離散形式下有）小于1×10-7時，迭代停止，即可得到特征值。

對于PSE3D方程，考慮非平行效應影響，將流場作如下分解：

同樣，代入Navier-Stokes方程后，基于層流場和擾動形狀函數均沿流向ξ緩變，僅保留其一階流向導數項，并忽略非線性項O(ε2)，可得PSE3D方程，形式如下：

式中L和M為包含層流場信息的微分算子，具體形式見文獻[24]。

該方程的離散方式與BiGlobal方程一致，求解方法采用一階隱式歐拉格式的流向推進方式，用來推進的入口條件由BiGlobal給出。為保證形狀函數沿流向ξ緩變，需在每步迭代α使得：

其中：

當前后兩步的波數差別的絕對值小于1×10-5時迭代收斂。得到α后，即可積分其虛部（負值為增長率）得到N值：

其中，ξ0代表擾動中性失穩（即BiGlobal預測的擾動增長率為零）位置。

3 結果與分析

圖6給出3個工況下圓錐背風區流向速度剖面云圖，可以看出圓錐背風中心線附近都存在流向渦結構，且其強度隨雷諾數或迎角的增大而增強。下面分別針對這3個工況的流向渦開展全局穩定性分析。

圖6 3個工況的背風面流向渦結構沿流向的演化（云圖代表流向速度，虛線為背風中心線位置）Fig.6 Axial evolutions of leeward vortices in Case 1, Case 2 and Case 3（Dashed lines represent the leeward centerlines）

3.1 工況1

工況1為小迎角尖錐流動，其背風流向渦結構并不顯著，如圖7所示。背風對稱面附近的基本流在約401 mm之前只能看到微微隆起，推測上游主要由修正的二維邊界層不穩定性主導。為了驗證這一推測，對x= 401 mm之前的流向渦進行全局穩定性分析。

圖7 工況1在x = 101、401 mm流向站位處的流向速度分布Fig.7 Axial velocity profiles in y-z planes at x = 101 mm and x = 401 mm for Case 1

之前的工作以及研究[17]表明反對稱模態與對稱模態性質相似，但后者更不穩定。圖8為x= 101 mm、f= 190 kHz的對稱模態特征譜，可見特征譜上只有一個不穩定模態。計算表明上游流場只存在這一個不穩定模態，該模態隨流向站位和頻率的變化關系如圖9所示。圖9（a）顯示，模態的溫度脈動形狀函數上下雙層結構，且其主頻隨流向位置向下游發展而逐漸減小，屬于典型的Mack模態特征，因此可判斷該模態屬于Mack模態。圖9（a）的理論預示結果與圖3風洞實驗頻譜在轉捩之前隨流向站位的變化規律一致。此外，從圖9（b）可以看出，Mack模態的無量綱相速度集中在0.85～0.95，且隨頻率增加先減小后緩慢增加。這些結果與二維情形一致。在401 mm處，除了主Mack模態外（綠色五角星），還出現高頻不穩定模態（藍色和淺藍色五角星）。從圖9給出的形狀函數分布看，高頻不穩定模態同樣也屬于Mack模態。

圖8 工況1在x = 101 mm流向站位處頻率為190 kHz的特征譜Fig.8 Eigenvalue spectrum for frequency 190 kHz at x = 101 mm in Case 1

圖9 工況1在6個流向站位處的不穩定模態分布，云圖表示x = 401 mm處的前兩階模態（最不穩定頻率）的溫度形狀函數（實部）分布Fig.9 Variations of (a) growth rates and (b) phase velocities with frequency at six axial stations.Insets are the temperature disturbance(real part) distributions of the two most unstable modes in y-z planes

利用PSE3D方法對上述主導模態的增長率進行積分獲得N值分布，如圖10所示，圖中不同顏色曲線代表不同頻率的N值?？梢钥闯?，頻率越低，N值越大，在x= 500 mm處，最大N值為5左右。與圖2（a）的實驗轉捩位置相比可知，轉捩區對應的N值約在2～2.5之間。此外，高頻擾動在x= 400 mm后開始重新增長，表明流向渦不穩定性開始出現。

圖10 工況1不同頻率流向渦失穩模態的N值（綠色區域表示實驗測量的轉捩位置范圍）Fig.10 Axial variations of N-factors of unstable modes for the leeward vortex with several frequencies in Case 1（The green zone represents the experimental measured transition zone）

3.2 工況2

相比工況1，工況2的迎角仍為2°，但模型鈍度和來流雷諾數均有增加。圖11展示了4個流向站位處的背風中心線附近的流向速度云圖，可見在300 mm前流場都保持較好的二維特征，300 mm處流場在背風中心線附近有近似均勻的隆起（即低速區），該低速區在350 mm處出現明顯的周向扭曲，并在400 mm處出現流向渦形態的卷曲。工況2的基本流在300 mm之前與工況1的基本流定性一致，之后則呈現更復雜的流動特征，這是因為頭部鈍度和來流雷諾數較工況1有顯著增加的緣故。

圖11 工況2在x = 100、300、350、400 mm流向站位處的流向速度層流場Fig.11 Axial velocity profiles in y-z planes in Case 2 at x = 100, 300, 350, 400 mm

基本流在x= 300 mm前后的差異直接導致流動不穩定性在300 mm前后呈現迥異的特征，如圖12所示。從圖12（a）可以看出，在x= 300 mm之前，Mack模態為唯一不穩定性；隨著流向站位向下游變化，其主頻從350 kHz遞減至100 kHz，其最大增長率則先增后減。這與工況1中的最大增長率沿流向逐漸遞減不同。此外在上游工況2中Mack模態明顯比工況1中的穩定，這些差異主要源自鈍度影響：更大的鈍度抑制了Mack模態的增長。

圖12 不同流向站位的不穩定模態增長率隨頻率的變化：（a） x = 100 ~300 mm； （b）x = 350 mm；（c） x = 400 mm.五角形代表Mack模態，圓圈代表流向渦外模態和內模態；（d） x = 400 mm處最不穩外模態形狀函數（溫度脈動實部）分布； (e) x=400 mm處最不穩內模態的形狀函數（溫度脈動實部）分布Fig.12 Variations of the growth rate with frequency at (a) x = 100 ~300 mm; (b) x = 350 mm; (c) x = 400 mm.(d) and (e) are, respectively,the temperature disturbance (real part) distributions of the most unstable inner and outer modes in y-z planes at x = 400 mm(Pentagon: Mack modes; Circle: inner and outer modes of leeward vortex)

在x= 350 mm處，Mack模態仍占據主導地位，但還出現了多個流向渦模態，如圖12（b）所示。其中，在Mack模態頻帶附近出現兩支外模態（擾動集中在外剪切層），而在低頻區出現兩支內模態（擾動集中在內剪切層）。外模態的失穩頻帶非常寬，其中一支外模態（紅色符號）在100 kHz附近還呈現三維Mack模態特征。隨著基本流在下游進一步卷曲，流向渦模態在x= 400 mm成為主導失穩模態，見圖12（c）。圖12（d、e）展示了x= 400 mm處最不穩定流向渦外模態和內模態的形狀函數分布，可見外模態分布在流向渦肩部處的外剪切層，而內模態位于流向渦柄部內剪切層，與之前研究結果[30]一致。

由于流向渦內外模態遠在實驗觀察到的轉捩位置之后才逐漸成為主導失穩模態，因此它們不大可能是轉捩的主導因素。在轉捩位置之前只有Mack模態，于是在圖13只給出了Mack模態的N值變化曲線。與工況1結果相似，擾動頻率越低，失穩區越靠后而N最大值越大。與實驗轉捩位置（見圖2（b））對應的最不穩定頻率約為120～160 kHz，轉捩區對應的N值約在0.4～2.5之間。

3.3 工況3

工況3比工況2的迎角增加2°，迎角的增加導致周向壓力梯度增大，進而在圓錐背風面產生更顯著的流向渦結構，如圖14所示。流向渦結構早在x= 180 mm處就已顯現，在x= 250 mm處已發展成熟。

圖14 工況3在x = 120、180、250、350 mm流向站位處的流向速度層流場Fig.14 Axial velocity profiles in y-z planes in Case 3 at x = 120, 180, 250, 350 mm

圖15展示了6個流向站位處的不穩定模態擾動增長率分布?？梢钥闯?，上游Mack模態依然為主導不穩定性（圖15（a）），其主頻是工況2中相同位置處Mack主頻的一半左右，這是因為工況3迎角增加導致背風面邊界層厚度增大的緣故。隨著邊界層的快速卷曲，低頻流向渦內模態（藍色和綠色圓圈）率先出現（圖15（b））。然后在180 mm處成為主導不穩定性（圖15（c）），而Mack模態的最大增長率和主頻皆沿下游單調下降，直到在200 mm之后完全消失（圖15（d））。在200 mm處，失穩頻率范圍達20～350 kHz的外模態（紅色圓圈）出現，并最終在下游成為主導模態（圖15（e、f））。

圖15 工況3不同流向站位處的不穩定模態擾動增長率分布（五角形代表Mack模態，圓圈代表流向渦外模態和內模態）Fig.15 Variations of growth rate with frequency for unstable modes in Case 3 at x= 120, 140, 180, 200, 220, 250 mm(Pentagon: Mack modes; Circle: inner and outer modes of leeward vortex)

圖16給出了x= 250 mm處流向渦失穩主導模態的形狀函數分布，圖16（a、b）表示圖15中前兩階最不穩定的外模態（紅色圓圈和黑色圓圈），圖16（c、d）表示圖15中前兩階最不穩定的內模態（藍色圓圈和綠色圓圈）?？梢娡饽B分布在流向渦肩部外緣，而內模態分布在流向渦柄部。

圖16 工況3下x = 250 mm處前四階不穩定模態的溫度（實部）形狀函數分布（云圖）：（a、b）前兩階外模態；（c、d）前兩階內模態.頻率為圖14（f）中各模態最不穩定頻率，線圖為流向速度等值線圖，間隔為0.1Fig.16 Temperature disturbance (real part) distributions of the two most unstable (a, b) outer and (c, d) inner modes in y-z planes at x=250 mm overlaid by the axial velocity contour lines

圖17給出了不同頻率模態擾動的N值演化曲線，可見Mack模態在上游率先失穩，這與前兩個工況相似，但最大N值均難以超過2；而反對稱內模態在200 mm后迅速失穩并很快成為主導不穩定性，與風洞實驗觀察到轉捩位置附近（圖2（c））對應的最不穩定頻率約為30 kHz，轉捩區對應的N值約在1.8～6之間。

圖17 工況3不同頻率流向渦失穩模態的N值（實線：反對稱內模態；虛線：對稱外模態；點劃線：對稱Mack模態.綠色區域表示實驗測量的轉捩位置范圍）Fig.17 Axial variations of N-factors of unstable modes for leeward vortex with several frequencies in Case 3 (Solid lines:inner modes; dashed lines: outer modes; solid dotted lines: Mack modes.The green zone represents the experimental measured transition zone)

4 結 論

本文針對高超聲速有迎角圓錐的背風流向渦，利用BiGlobal和PSE3D方法開展了全局穩定性與轉捩分析，并結合風洞實驗研究了流向渦轉捩N值，進一步認識了流向渦轉捩機制，主要結論如下：

1） 在流向渦較弱的階段，Mack模態為主導不穩定性；當流場出現明顯周向卷曲時，流向渦失穩模態開始出現，并隨著卷曲的加強而逐漸成為主導模態，同時Mack模態逐漸消失。流向渦模態可按擾動分布分為外模態和內模態，其中外模態具有較高主頻和相速度，內模態主頻和相速度相對較低。

2） 結合風洞實驗測量的轉捩位置，對于2°小迎角圓錐，流向渦較弱，基于全局穩定性得到的轉捩N值不到3；而對于4°迎角圓錐，流向渦相對較強，轉捩完成時的N值能達到6左右。

對于本文選擇的工況與研究模型，實驗中轉捩發生位置對應的模態失穩的N值都比較小，說明轉捩不全由模態失穩貢獻完成的。模態失穩擾動需要通過風洞中來流擾動的激勵和演化而來，期間擾動以非模態形式存在，可能經歷非模態增長。前人研究[39]表明非模態增長是引起轉捩的重要機制之一，因此下一步將開展非模態分析，以確定非模態增長機制是否可能在上述工況的背風區轉捩中扮演重要角色。

致謝：本文用到的風洞實驗數據得到了中國空氣動力研究與發展中心徐洋工程師等的幫助，在此表示感謝！