多孔介質傳熱模型在多孔壁湍流中的適用性

趙澤灝，張金龍，董宇紅，*

(1.上海大學 力學與工程科學學院，上海市應用數學和力學研究所，上海 200072；2.上海市能源工程力學重點實驗室，上海飛行器力學與控制研究院，上海 200072)

0 引 言

多孔介質廣泛存在于自然界和工業界，除了對動量輸運的影響之外，多孔介質對傳熱的影響也是一個重要的問題。近年來，金屬泡沫材料這類高孔隙率的多孔介質因為其金屬本身出色的傳熱性能在設備熱管理、能源儲存等領域得到了廣泛的關注。作為一種多孔材料，金屬泡沫相比普通金屬的特點在于比表面積巨大，且其內部不同的孔隙結構可展現出不同的物理特性。同時，金屬泡沫材料因其高孔隙率和高導熱系數等特點在熱交換器應用方面具有特殊的優勢[1-3]。

高孔隙率金屬介質在設計優化過程中，預測其傳熱性能的關鍵在于多孔介質傳熱模型的準確性。局部熱平衡（local thermal equilibrium, LTE）模型假設多孔介質內某點固體相與當地流體相溫度相同，只用一個控制方程描述溫度場；局部非熱平衡（local thermal non-equilibrium, LTNE）模型則假設多孔介質內一點固體相與當地流體相的溫度可以不同，需要針對流固兩相采用兩個不同的控制方程來描述多孔介質溫度場。由于LTE模型簡化程度高、方便求解，且計算時間短、計算成本低，是多孔介質傳熱問題數值求解中運用最為廣泛的模型之一。事實上，只有當多孔介質內流體和固體兩相間的導熱足夠快速，以至于相間的局部溫差可以忽略不計時，LTE模型才能普遍成立。然而，工程中也存在多孔介質相間溫差過大的情況。比如擴散傳熱和對流傳熱之間存在顯著差異，或固體多孔基質中的顆粒尺寸與熱邊界層厚度相當，或基質顆粒超過熱邊界層厚度[4]，這時局部熱平衡假設的局限性就會凸顯。

關于LTE模型適用范圍的研究，Whitaker等[5-6]率先用孔隙率、密度、比熱容、流體相和固體相的導熱系數建立了LTE的適用準則，但沒有考慮流固兩相間傳熱的影響。Kim和Jang[7]考慮了相間傳熱的影響，用普朗特數、雷諾數和達西數等無量綱數建立了新的適用準則。之后，Zhang和 Liu[8]在恒定熱通量邊界條件下研究了充滿球體的多孔槽道內的強迫對流問題。他們認為在流體導熱系數不變的情況下，固體相導熱系數越小，LTE模型的有效性越高，并據此提出了一個新的適用準則。

Kuznetsov[9]使用攝動法對二維多孔介質槽道流進行了分析，發現LTE模型在低達西數時邊界處更加有效，而在高達西數時遠離邊界的流場則未必有效。Lee和Vafai[10]給出了Kuznetsov[9]所研究的模型的精確解，考查了不同Biot數下LTE模型的有效性，并給出了一個經驗準則。

Vafai和S?zen[11]使用數值方法研究了充滿多孔介質的水平槽道內的強迫對流，認為LTE模型對于雷諾數和達西數非常敏感，兩個參數中只要有一個偏大時LTE模型就不再有效，且發現LTE模型在固體相的導熱系數較低時表現更好。Amiri和Vafai[12]通過計算全域內流固兩相的最大絕對溫差，研究了瞬態過程中LTE模型的表現，發現在低達西數且流體相和固體相的導熱系數之比接近1時，LTE模型適用性較好，于是認為流體相和固體相導熱系數之比是評估LTE模型是否有效的關鍵參數。Singh等[13]研究比較了LTE模型與LTNE模型在不同雷諾數下（Re=10～10000）的表現。他們的研究表明，當流體和多孔介質分別為水和玻璃球時，由于兩相間的高導熱性，雷諾數越大，LTE模型與LTNE模型的預測結果越接近；而當流體和多孔介質分別為空氣和金屬線材時，由于金屬的高導熱性，上述兩個模型所得結果的差別顯著。Singh等[14]又以水為流體介質對振蕩的溫度邊界下填滿鋼質球型顆粒的圓管實驗結果進行比較，發現LTNE模型與實驗結果非常接近，而LTE模型失真嚴重。并且，LTNE模型對溫度變化的響應也與實驗結果很吻合，而LTE模型與實驗結果完全不吻合。

上述研究多是以低孔隙率、球形顆粒的傳統多孔介質為前提進行的，對于以金屬泡沫為代表的新型高孔隙率多孔介質研究較少。Pulvirenti等[15]數值研究了金屬泡沫內部傳熱的性質，依據金屬的極高導熱系數這一特點提出理想金屬泡沫（ideal metal foams,IMF）假設，結合邊界條件將兩方程的LTNE模型簡化為單方程模型，減少了計算量，但他們沒有給出IMF模型的適用準則。Freitas等[16]分析了充滿金屬泡沫的矩形槽內混合對流熱場的穩定性，采用了IMF模型，但也沒有對IMF模型的適用性進行分析。隨著以金屬泡沫為代表的高孔隙率多孔介質得到越來越多的應用，研究并評估各類傳熱模型在金屬泡沫傳熱問題中的適用性是非常必要的。

基于上述背景，本文以帶有高孔隙率多孔介質壁面的槽道流為研究對象，采用直接數值模擬方法對多孔介質層內外的剪切湍流的流場和溫度場進行模擬。在多孔介質層外流體區域通過有限差分方法求解不可壓縮 Navier-Stokes 方程和溫度對流擴散方程，在多孔介質層內使用修正的Darcy-Brinkman-Forchheimer模型描述多孔介質阻力。在驗證計算結果的基礎上，對LTE、LTNE和IMF三種多孔介質傳熱模型在不同參數下的有效性展開研究，并分析對比各多孔介質傳熱模型預測結果的差異，為高孔隙率多孔介質在湍流作用下的傳熱數值研究提供參考。需要指出的是，雖然雷諾數對模型的選擇存在一定影響，但本文把不同Biot數及水和空氣兩類流體介質下多孔介質傳熱模型的有效性作為主要研究內容。

1 數理模型與計算方法

1.1 物理模型與控制方程

槽道湍流是典型的工程湍流的規范模型，對其動力學和熱力學的研究可以推廣到其他壁面剪切湍流。本文所采用的物理模型如圖1所示，底部是多孔介質層，頂部是自由面。槽道的長、寬、高分別為Lx×Ly×Lz=2πh×1.2h×πh，其中流體層的高度為h，多孔介質層的厚度hp=0.2h。

圖1 帶有多孔介質層的槽道流和傳熱模型示意圖Fig.1 Channel flow and heat transfer with porous layer

以h為特征長度，以壁面摩擦速度uτ為特征速度，以上下壁面的溫度差為特征溫度進行無量綱化，無量綱的控制方程如下：

多孔介質外流體區域：

其中，流向x、法向y和展向z的速度用u、v、w或ui(i= 1,2,3)表示，θ表示溫度， δi1是Kronecker符號，代表了流向的驅動壓力梯度，壁面摩擦雷諾數Reτ=ρfuτh/μ ， 普朗特數Pr=μcf/kf， ρf是流體介質的密度，uτ是壁面摩擦速度， μ是流體介質的黏性系數，cf是流體介質的比熱容，kf是流體介質的導熱系數。

多孔介質區域：

式 中， 〈ui〉 是 多 孔 介 質 區 域 內 的 達 西 速 度， φ是 孔隙率，Di是多孔介質阻力，這里考慮高孔隙率故采用適用于較高流速的Darcy-Brinkman-Forchheimer模型[17]：

其中，Da=K/h2是達西數，K是多孔介質的滲透率，CF是Forchheimer數。在此我們使用Ergun[18]提出的模型其中dc是多孔介質單元的尺度。模型中的常數則采用Biasetto等[19]提出的適用于高孔隙率多孔介質的參數：A= 3.63，B=357.1。

流向和展向取周期性邊界，上下壁面的邊界條件為：

式中， θf和 θs為多孔介質區域流體相和固體相的溫度。

本文在計算時使用速度、溫度連續條件耦合多孔介質內流體和多孔介質層以上流體區域，考慮多孔介質固相基架在界面處主要與介質內流體進行直接熱傳遞，設為絕熱條件：

1.2 多孔介質傳熱模型

LTNE模型同時考慮固體相的溫度 θ?s和流體相的溫度 θf?以及兩相之間的傳熱，是最接近真實傳熱狀態的傳熱模型，具體控制方程為（本小節中上標 * 表示有量綱的量）：

式中， ρ?sc?s是多孔介質固體相的密度乘比熱容，即為固體相的單位體積熱容量，同理 ρ?fc?f是多孔介質流體相的單位體積熱容量，ks?和kf?分別為固體相和流體相的導熱系數，h?v是容積換熱系數，表征了多孔介質內部流固兩相的換熱能力。

LTE模型假設多孔介質內部某點固體相和當地流體相具有相同溫度，即 θ?s=θf?=θ?，控制方程為：

IMF模型在LTNE模型的基礎上，假設多孔介質材料是泡沫金屬，考慮金屬出色的傳熱能力，導熱系數遠大于流體相的導熱系數，即k?s?kf?，認為 ?2θ?s=0。結合本文算例，認為多孔介質內部固體相的溫度總是與底部的溫度相同，即 θs?=θ?bottom，控制方程為：

將式（10～13）無量綱化，可以得到3種模型無量綱形式的傳熱方程：

LTNE模型：

LTE模型：

IMF模型：

式中， ρsfcsf=(ρ?sc?s)/(ρ?fc?f)是固體相和流體相的單位體積熱容量之比，ksf=ks?/kf?是固體相和流體相的導熱系數之比， ρsfceff=(1-φ)(ρsfcsf)+φ是無量綱的等效單位體積熱容，keff=(1-φ)ksf+φ是無量綱的等效導熱系數，Bi=h?vh2/kf?是Biot數，表征了流固兩相間的傳熱能力。

LTNE模型所用的假設最少，是3種模型中適用范圍最廣的模型。從實驗研究中[13-14]也可以看到LTNE模型準確預測了與金屬相關的多孔介質傳熱問題；另外，從方程上看，可以認為LTE模型和IMF模型分別是在LTNE模型的基礎上增加了不同的假設簡化得到的。然而，LTNE模型的不足在于方程求解復雜，計算量大。綜上所述，可以使用LTNE模型的結果作為比較基準，驗證LTE模型和IMF模型的有效性。

1.3 計算方法和程序驗證

在對帶有高孔隙率多孔介質壁面槽道湍流及其傳熱進行的直接數值模擬中，所有控制方程均是在交錯網格上進行空間離散，為保證分辨率，在上部自由面和多孔介質界面附近均采用了法向加密網格處理?？臻g上均采用二階中心差分進行離散化，時間上使用混合三步Runge-Kutta 格式結合Crank-Nicholson格式進行離散[20]。壓力泊松方程的求解被用來保證散度為零的質量守恒條件。計算域流向、法向和展向網格為Nx×Ny×Nz=128×192×128，其中多孔介質層內的法向網格數為32。

關于計算方法和程序的驗證，本研究組已經從帶有多孔介質的剪切壁湍流模型和多參數算例進行了可靠的驗證考查工作，具體詳見前期的工作[21-25]。這些相關數值結果以及與其他實驗和典型算例的比較提供了我們數值方法的細節，能夠保證本文計算方法、程序和數值結果的可靠性。

高通濾波器的設計步驟很簡單，如圖1所示[4]。對于歸一低通濾波器的設計采用插入損耗法(insertion loss method)，該方法采用網絡綜合技術設計出有完整的特定頻率響應的濾波器。

2 結果與討論

由于鋁的低密度、廉價等特點，泡沫鋁是金屬泡沫領域最具潛力的材料，本文的多孔介質參數參考了泡沫鋁的各項數據。在流體方面，則選擇了空氣和水這兩個最常見的流體作為工作介質。固體相和流體相的材料參數如表1所示。

表1 流體和固體介質的熱力學參數Table 1 Thermodynamic parameters of fluid and solid media

本文算例：Reτ= 180， φ = 0.9，Da=1×10-5。由于Bi與介質的熱力學參數、多孔介質結構、流速等因素相關，綜合本文所考慮多孔金屬介質的特性參數范圍以及前人的工作[26-27]，選取Bi= 300～30000。各算例參數選擇如表2所示。

表2 不同算例的熱力學參數Table 2 Thermodynamic parameters of different cases

本文的統計數據取自流場以及溫度場充分發展之后足夠長的時間段。為了比較不同傳熱模型所預測熱場的差異，對該段時間內的流場以及溫度場取法向平面平均和時間平均，得到了流場的平均溫度分布以及溫度脈動均方根 θ′rms分布[28]。另外，為了表達方便，將多孔介質區域流體相的平均溫度和溫度脈動均方根也記為 θˉ 和 θr′ms。

2.1 “空氣-泡沫鋁”多孔介質壁湍流的傳熱問題

圖2比較了“空氣-泡沫鋁”傳熱問題在3種傳熱模型下的平均溫度。不同的Bi下，IMF模型與LTNE模型得到的結果基本一致，而LTE模型與LTNE模型的結果有很大偏差，并且隨著Bi的增加，偏差不斷增加。另外，從LTNE模型所計算出來的固體相的溫度分布可以看到，在“空氣-泡沫鋁”中固體相的溫度分布呈一直線，與IMF假設中的?2θs=0相符，并且數值上固體相的溫度也與底面溫度基本一致，與我們所預估的 θs=1相符合。

圖2 “空氣-泡沫鋁”由3種傳熱模型所得平均溫度沿法向的剖面圖Fig.2 Average temperature profiles from three heat transfer models in "Air-Al foam"

圖3比較了“空氣-泡沫鋁” 傳熱問題在3種傳熱模型下的溫度脈動均方根。不同的Bi下，IMF模型得到的結果與LTNE模型得到的結果仍然基本一致。Bi=300時，多孔介質層內除交界面附近區域（y＜-0.05），LTE模型的結果與LTNE模型吻合較好，但LTE模型在交界面附近區域以及多孔介質外流體區域低估了溫度脈動均方根。LTNE模型所預測的溫度脈動均方根隨著Bi的增加不斷增加，而LTE模型的等效單位體積熱容和等效導熱系數都沒有考慮Bi的影響，因此與LTNE模型的結果比較，LTE模型對于溫度脈動均方根的低估隨著Bi不斷增加。

圖3 “空氣-泡沫鋁”由3種傳熱模型所得溫度脈動均方根沿法向的剖面圖Fig.3 Temperature fluctuation intensities from three heat transfer models in "Air-Al foam"

結合圖2和圖3可以看出，在“空氣-泡沫鋁”的傳熱問題中IMF模型在不同的Bi下都能和LTNE模型的結果吻合得很好，因此在計算“空氣-泡沫鋁”的多孔介質傳熱問題時，相比兩個控制方程的LTNE模型，只需要一個控制方程、計算量更小的IMF模型是一個很好的替代。

圖4比較了LTE模型和不同Bi下LTNE模型計算所得流體相的平均溫度和溫度脈動均方根。圖4（a）中，槽道總體平均溫度隨著Bi的增大而增大，這是因為隨著Bi的增大，固體相和流體相之間的傳熱能力增強，更多的熱量由固體相傳至流體相。在多孔介質外流體區域和交界面附近區域，溫度脈動均方根隨著Bi的增大而增大；多孔介質層內除交界面附近區域外的溫度脈動均方根則隨著Bi的增加而減小，這是因為在大Bi時，多孔介質內流體溫度的法向梯度較小，且由對流導致的溫度變化可以通過固體相與流體相之間的傳熱快速補償。

圖4 “空氣-泡沫鋁”在不同Bi下流體相的平均溫度和溫度脈動均方根Fig.4 Average temperature profiles and temperature fluctuation intensities in "Air-Al foam" at different Bi

2.2 “水-泡沫鋁” 多孔介質壁湍流的傳熱問題

圖5比較了“水-泡沫鋁”傳熱問題在三種傳熱模型下的平均溫度。Bi=300時，與其他Bi的結果比較，三個模型的平均溫度相對接近，但是LTNE模型中的固體相溫度與流體溫度存在明顯差異。隨著Bi的增加，LTE模型和IMF模型與LTNE模型結果的偏差越來越大，其中，IMF模型與LTNE模型的偏差相對較小。LTE模型的平均溫度低于LTNE模型的平均溫度；而IMF模型的平均溫度高于LTNE模型的平均溫度。這是因為在IMF算例中固體相的溫度恒定為底壁的溫度，與用LTNE計算出來的固體相溫度相比，高估了固體相的溫度。

圖5 “水-泡沫鋁”由三種傳熱模型所得平均溫度沿法向的剖面圖Fig.5 Average temperature profiles from three heat transfer models in "Water-Al foam"

圖6給出了不同Bi下“水-泡沫鋁”傳熱問題在不同傳熱模型中溫度脈動均方根的對比。Bi=300時，IMF模型的結果與LTNE模型的結果基本一致；在交界面附近，相比LTNE模型，LTE模型明顯低估了溫度脈動均方根，而在自由面附近，LTE模型的結果與LTNE模型的結果接近。隨著Bi的增加，在多孔介質外流體區域，將IMF模型與LTNE模型的溫度脈動均方根對比，顯示出高估的變化趨勢；而LTE模型則明顯低估了多孔介質外流體區域的溫度脈動均方根。

圖6 “水-泡沫鋁”由三種傳熱模型所得溫度脈動均方根沿法向的剖面圖Fig.6 Temperature fluctuation intensities from three heat transfer models in "Water-Al foam"

值得注意的一點是，在多孔介質層內除交界面附近區域，LTE模型與LTNE模型的溫度脈動均方根的偏差隨Bi的增加不斷減小，而IMF模型與LTNE模型的溫度脈動均方根的偏差不斷增大。這是因為IMF模型中所預估的固體相溫度恒等于底壁溫度。在“水-泡沫鋁”中IMF模型高估了固體相的溫度，并且隨著Bi的增加，固體相向流體相的傳熱增加，固體相溫度降低，IMF模型對固體相溫度的高估也相應變大。同時，因為Bi的增加，在IMF模型中流體相溫度的法向梯度變小，且由對流導致的溫度變化可以通過固體相與流體相之間的傳熱快速補償，因此低估了對流帶來的溫度脈動。

圖7比較了LTE模型和不同Bi下LTNE模型得到的流體相的平均溫度和溫度脈動均方根。圖7（a）中，隨著Bi的增加，流體相從固體相得到了更多的熱量，平均溫度增加。在交界面處溫度脈動均方根的峰值接近；而在多孔介質外流體區域，Bi越大，溫度脈動越大，在多孔介質層則有相反的趨勢。

圖7 “水-泡沫鋁”在不同Bi下流體相的平均溫度和溫度脈動均方根Fig.7 Average temperature profiles and temperature fluctuation intensities in "Water-Al foam" at different Bi

綜合考慮“空氣-泡沫鋁”和“水-泡沫鋁”傳熱問題的結果：在“空氣-泡沫鋁”中，Bi改變對IMF模型和LTNE模型結果一致性的影響很??；而在“水-泡沫鋁”中，IMF模型和LTNE模型結果的差異性隨著Bi的增大而增大。這是因為空氣的比熱容很小，導致只需要很小的熱量就能改變空氣的溫度，且由于多孔介質內部流速低，對流傳熱對熱量傳遞的貢獻小，此外空氣的Pr小，傳熱能力弱，不能及時將熱量傳遞出去，最終導致固體相的溫度與底壁溫度的差距很??；而水的比熱容很大，相應改變水的溫度需要極多的熱量，且由于水的Pr大，相比空氣能更快地將熱量傳遞到低溫區域，Bi增大時，固體相向流體傳遞了大量的熱卻無法及時通過固體相內部的熱傳導得到補充，因此在“水-泡沫鋁”算例中，離底壁越遠，固體相的溫度越低。

圖8給出了LTNE模型計算得到的多孔介質層內固體相和流體相平均溫度之差?？梢钥吹?，在“空氣-泡沫鋁”和“水-泡沫鋁”中存在相同趨勢：Bi越大，兩相的溫度差越小。在Bi= 30000的算例中，除了交界面附近，流固兩相的溫差幾乎可以忽略不計。這說明LTE所假定的 θs=θf在遠離交界面的多孔介質區域是適用的，且兩相之間的傳熱能力越強，Bi越大，LTE的適用性越強，這與前人的研究[8,10]一致。但是從圖2和圖5所顯示的結果來看，LTE與LTNE之間的偏差卻隨著Bi的增大而增大，這是因為LTE模型所預估的等效單位體積熱容量 ρeffceff以及等效導熱系數keff只考慮了孔隙率的影響[29-32]，沒有考慮流固兩相之間的傳熱，即Bi的影響，低估了多孔介質層內的傳熱能力。

圖8 LTNE模型所得的多孔介質層內固體相與流體相的溫度差Fig.8 Temperature difference between solid and fluid phases in the porous layer calculated by the LTNE model

圖2中固體相溫度的分布以及IMF模型與LTNE模型結果的一致性表明IMF在“空氣-泡沫鋁”傳熱問題中是非常有效的。但是圖5中IMF模型與LTNE模型結果的差異性表明IMF模型在“水-泡沫鋁”這類大比熱容、大Pr的流體介質中表現不佳。然而，進一步觀察圖5中不同Bi下的固體相溫度可以發現，雖然離底壁越遠，固體相與底壁的溫差越大，但固體相的溫度分布依然滿足IMF模型中所作的假設 ?2θs=0，表明IMF模型在一定程度上依然可以適用于大比熱容、大Pr的流體介質，條件是在預估固體相溫度分布的時候需要將比熱容、流固兩相間的傳熱能力納入考量。

2.3 Nusselt數和Biot數的進一步討論

為了進一步分析比較不同模型對槽道傳熱能力的預估，本文計算了不同算例中三種模型所得熱場的Nusselt數（Nu）：

圖9給出了LTE和IMF模型計算所得的Nu與LTNE模型計算所得的Nu之比和Bi的關系?？梢钥吹?，IMF模型會高估槽道的傳熱能力，而傳統的LTE模型則會低估槽道的傳熱能力，并且隨著Bi的增加，LTE模型和IMF模型結果與LTNE模型結果的偏差越來越大。在本文所考慮的參數范圍內，相較于LTE模型，IMF模型與LTNE模型結果的偏差更小。

圖9 LTE和IMF模型計算的Nu與LTNE模型計算的Nu之比和Bi的關系Fig.9 Ratios of Nu calculated from LTE and IMF models to Nu calculated from LTNE model as a function of Bi

圖10給出了LTNE模型計算所得的Nu和Bi的關系?？梢钥吹?，不論是“空氣-泡沫鋁”算例還是“水-泡沫鋁”算例，槽道的Nu隨著Bi增加不斷提高。在本文所選取的參數范圍內，Nu與Bi存在標度律關系Nu～Bi0.05。

圖10 LTNE模型計算所得的Nu與Bi的關系Fig.10 Nu calculated by the LTNE model as a function of Bi

3 結 論

本文以“空氣-泡沫鋁”和“水-泡沫鋁”為例，運用直接數值模擬研究了高孔隙率多孔介質不同傳熱模型在不同Bi下的適用性。由于LTNE模型考慮多孔介質的傳熱時，無相關的簡化和假設，在本文所考慮的參數范圍內該模型可準確描述不同介質的傳熱問題，因此本文著重研究了不同Bi下LTE模型和IMF模型的適用性，得到以下主要結論：

1）對于空氣這類小比熱容、小Pr的流體介質，IMF模型在不同Bi下都有很強的適用性，可以代替LTNE計算金屬泡沫的多孔介質傳熱問題。

2）對于水這類大比熱容、大Pr的流體介質，IMF模型的適用性隨Bi的增大而降低，需要進一步結合流體介質的比熱容、Pr和流固兩相之間的傳熱能力等因素對固體相的溫度分布進行預估。

3）LTE模型對于高孔隙率金屬泡沫傳熱問題的適用性很差，會低估平均溫度和溫度脈動均方根。原因是LTE模型中估計的等效單位體積熱容量ρeffceff以及等效導熱系數keff只考慮了兩相單位體積熱容量、導熱系數和孔隙率的影響，沒有考慮流固兩相間傳熱能力的影響，低估了多孔介質內部的傳熱能力。

在實際的換熱器中，有時會使用熱力學性質更好的流體介質來增加傳熱效率，因此對于這些流體介質在各種簡化模型下的表現需要進一步研究。