地震模擬振動臺在線迭代控制方法研究

張芙蓉，周惠蒙，張 博，宋偉旭，王 濤

(1.中國地震局工程力學研究所地震工程與工程振動重點實驗室，黑龍江，哈爾濱 150080；2.地震災害防治應急管理部重點實驗室，黑龍江，哈爾濱 150080；3.廣州大學工程抗震研究中心，廣東，廣州 510006；4.北京博科測試系統股份有限公司，北京 101102)

地震模擬振動臺試驗是模擬結構地震響應的一種最直接的試驗方法[1-2]。近年來，海上風力發電塔架結構、地下空間結構、摩擦擺隔震結構等新型結構體系振動臺模型試驗研究[3-9]對振動臺時域內再現地震波形的精度提出了更高的要求。而傳統的振動臺波形再現控制主要采用基于三參量控制器[10-15]的振動臺控制方法或振動臺位移控制結合開環迭代方法以確保波形再現精度[16]。這些方法對具有較強非線性的試驗模型，控制效果有待進一步提高。而且在振動臺結構模型試驗中，試驗體往往是易損且難以修復的，比如鋼筋混凝土結構，在測試過程中產生的累積損傷導致其動力特性不斷變化，識別這種變化的動力特性需要較高能量的白噪聲信號，又進一步加重了物理損傷。因此即使多次迭代修正也不能反映真實的結構地震響應特性[17]。針對此問題，有學者采用自適應控制[18]和滑動模式控制等[19-20]方法實現對非線性系統的魯棒控制。魏巍等[21]針對電液伺服振動臺由于流量非線性導致的加速度振動信號波形失真現象，提出一種基于流量非線性逆模型的補償控制策略，提高了振動信號的跟蹤精度。PHILLIPS 等[22]提出了一種基于模型的多運動量振動臺控制策略，以改進對單軸振動臺加速度命令的跟蹤，同時保證對非線性系統的魯棒控制。NAKATA[23]提出了一種加速度軌跡跟蹤控制方法，提高了加速度的復現精度。RYU 和REINHORN[24]提出了一種基于振動臺和試驗體動力特性及其相互作用的跟蹤控制策略，對非線性振動臺系統模型進行實時估計和控制。YAO 等[25]為了減少諧波失真并提高振動臺的控制性能，開發了一種諧波消除最小均方(LMS)自適應算法。田磐和陳章位[26]針對加速度迭代更新速率低而導致振動臺在試件彈塑性階段控制精度差的缺陷，提出一種頻率分段快速迭代控制方法。

上述迭代算法的實現過程，并沒有對系統矩陣的識別精度進行定量評估，皆采用系統矩陣直接更新策略。系統矩陣識別精度無法得到保證，是制約在線迭代控制方法精度提升的瓶頸問題。

本文研究了一種基于系統矩陣修正的高精度在線迭代控制方法(HRICS)，通過選擇不同的矩陣精度評價指標對振動臺的系統矩陣進行針對性的修正，最終得到期望的輸出響應。本文首先介紹了HRICS 方法的算法原理，然后實現了HRICS 方法的軟硬件架構和振動臺模型試驗設計，最后進行試驗驗證并對結果進行分析。

1 高精度在線迭代控制方法原理

高精度在線迭代控制(HRICS)方法在線識別并修正系統矩陣，當系統特性相對于初始狀態發生變化時，HRICS 方法可對系統變化特性進行實時識別，從而提高波形再現精度。

HRICS 方法將輸入的地震動數據按照采樣頻率進行分段處理，每一段數據即為系統矩陣識別更新的基本單位：幀。一幀數據時長為T，當采樣頻率為fs時，一幀數據的長度為n=T fs。HRICS方法的控制原理如圖1 所示。

圖1 HRICS 控制原理框圖Fig.1 HRICS control block diagram

1) 第1 幀驅動信號生成。HRICS 方法首先判斷初始系統矩陣是否已知，若初始系統矩陣已知，則利用初始系統矩陣進行驅動計算，生成第1 幀驅動信號；否則，使用白噪聲組成第1 幀驅動信號。

2) 響應信號生成。得到第m幀驅動信號后，取第m幀驅動信號的第i個數據，輸入振動臺控制系統，測量出系統響應信號的第i個數據，重復輸入驅動數據，直到輸出第n個響應數據，生成第m幀響應信號。

3) 系統矩陣在線識別及修正。由第m幀驅動信號和第m幀響應信號在線辨識，獲得第m幀識別矩陣，并根據邏輯信號值，判斷是否進行矩陣修正，若不修正，則第m幀識別矩陣可直接作為第m幀系統矩陣；否則，選擇矩陣修正策略和矩陣精度評價指標對第m幀識別矩陣修正更新，第m幀系統矩陣即為更新后的第m幀修正矩陣。其中矩陣修正策略有2 種：一種為幀修正策略，采用相干函數加權和作為矩陣精度評價指標，衡量每一幀識別矩陣的精度，對識別矩陣進行更新；另一種為頻率點修正策略，頻率點修正策略需要判斷識別矩陣每一個頻率點的精度，精度的判斷可采相干函數指標和功率譜密度指標。

4) 驅動信號迭代更新。第m幀系統矩陣求逆得到系統逆矩陣，利用系統逆矩陣和目標信號驅動計算生成下一幀驅動信號。

5) 重復以上步驟，不斷更新驅動信號，直到試驗結束。

以下介紹HRICS 方法的2 個關鍵環節：系統矩陣在線識別及其修正算法。

1.1 系統矩陣在線識別

系統矩陣在線識別算法不保留任何過去識別的矩陣信息，將第m幀在線識別的矩陣直接作為系統矩陣。系統矩陣在線識別過程如圖2 所示，依次將第m幀驅動信號um(t)的n個驅動數據輸入振動臺系統得到n個響應數據從而獲得第m幀響應信號ym(t)。對驅動信號和響應信號進行傅里葉(FFT)變換，得到頻域響應Um(f)和Ym(f) 。 求出um(t) 的 自相關功率譜密度Sumum(f)：

圖2 系統矩陣在線識別算法原理Fig.2 Online recognition algorithm for system matrix

以及um(t)和ym(t) 的互相關功率譜密度Sumym(f)：

式中：Umj(f)和Ymj(f) 分 別為um(t)和ym(t)的第j個數據段的FFT 變換，(f)為Umj(f)的共軛復數，(f)為Ymj(f)的共軛復數；M為平均次數；N為FFT 變換的點數。

識別矩陣Hm(f)的計算采用H1法：

對識別矩陣Hm(f)求逆，可得到系統逆矩陣Gm(f)：

目標信號y?m(t)進行FFT 變換得到頻域響應Y?m(f) ，Y?m(f)和Gm(f)進行驅動計算，求出第m+1幀新的頻域驅動信號Um+1(f)：

將Um+1(f)進行傅里葉逆變換(IFFT)得到um+1(t)，將m+1 賦值給m，重復以上步驟，不斷進行驅動信號迭代更新。

1.2 系統矩陣在線修正

HRICS 方法可以采用幀修正或頻率點修正策略對系統矩陣在線修正，修正算法引入矩陣精度評價指標，在系統矩陣在線識別的基礎上進行改進。HRICS 方法獲得識別矩陣后，根據矩陣精度評價指標和上一幀獲得的修正矩陣，更新修正識別矩陣，提高振動臺系統的波形再現精度。系統矩陣在線修正算法示意如圖3 所示。

圖3 系統矩陣在線修正算法示意圖Fig.3 Schematic diagram of online correction algorithm for system matrix

圖4 為第m幀系統矩陣在線修正過程，根據驅動信號um(t) 和 響應輸出ym(t)的功率譜密度Sumum(f)、Sumym(f)、Symym(f) ， 求 出 相 干 函 數Cm(f)：

圖4 系統矩陣在線修正算法原理Fig.4 Online updating algorithm for system matrix

式中，ym(t) 的自相關功率譜密度Symym(f)：

通過系統矩陣在線識別，獲得識別矩陣Hm(f)后，選擇相應的修正策略，若選擇幀修正策略，先計算相干函數加權和指標。

將第m幀目標信號y?m(t) 的功率譜密度Sy?my?m(f)作為權重：

式中：Y?mj(f) 為y?m(t)的第j個數據段的FFT 變換，Y?m*j(f) 為Y?mj(f)的共軛復數。

Sy?my?m(f) 與相干函數Cm(f)加權，得到相干函數加權和指標 Φm：

式 中：Sy?m,iy?m,i為Sy?my?m(f)的第i個頻率點；n為參與加權的數據點數。

將 Φm和第上一幀的 Φm-1相比較，判斷 Φm的值是否大于 Φm-1，若大于，則更新系統矩陣，第m幀識別矩陣Hm(f)直接作為第m幀修正矩陣Hm(f)。否則，不更新系統矩陣，第m幀的修正矩陣Hm(f)保持為第m-1 幀的修正矩陣Hm-1(f)。

若選擇頻率點修正策略，則可采用相干函數指標和功率譜密度指標兩種矩陣精度評價指標來判斷是否進行矩陣的修正更新。頻率點修正策略循環判斷第m幀相干函數Cm(f)的第i個頻率點Cm,i是否大于0.95，或者判斷第m幀響應信號的功率譜密度Symym(f) 的 第i個頻率點Sy?m,iy?m,i是否大于第m-1 幀 功率譜 密度的 第i個頻 率 點Sy?m-1,iy?m-1,i，若 滿足條件，第m幀識別矩陣Hm(f)的第i個頻率點Hm,i作為第m幀修正矩陣Hm(f)的第i個頻率點Hm,i；否則，Hm(f)的第i個頻率點Hm,i仍為第m-1 幀修正矩陣Hm-1(f)的第i個頻率點Hm-1,i。當判斷到第n個點時可以獲得第m幀修正矩陣Hm(f)。完成系統矩陣在線修正階段，對第m幀修正矩陣求逆，繼續進行驅動信號迭代更新，重復以上步驟，直到試驗結束。

2 試驗系統設計

為了進一步證明HRICS 方法的有效性，在中國地震局工程力學研究所恢先地震工程實驗室振動臺上進行試驗驗證。如圖5 所示，試驗體為調諧質量阻尼器(TMD)裝置[27]，該裝置使用的是摩擦阻尼，帶有一定的非線性特征。試驗體的質量、基本頻率、剛度、阻尼分別為500 kg、1.948 Hz、1896.93 N/m、220 N·s/m。振動臺性能參數見表1。

表1 振動臺性能參數Table 1 Performance parameters of shaking table

圖5 TMD 試驗體Fig.5 TMD test specimen

振動臺試驗框架如圖6 所示。振動臺試驗以振動臺控制器作為基礎控制單元，使用基于共享內存卡(SCRAMNet)的實時通信方式，實現外部控制邏輯的擴展。使用運行在主機PC 上的Matlab/Simulink 軟件搭建和編譯HRICS 算法。

圖6 振動臺試驗HRICS 框架Fig.6 HRICS framework for shaking table test

在振動臺試驗開始前，先將算法編譯至xPC目標主機中，通過SCRAMNet 卡進行數據收發。試驗中數據的采樣頻率fs為256 Hz，FFT 點數N為1024 點，一幀數據時間T為4 s。通過Simulink模型實現HRICS 控制算法，加速度計測量響應加速度，將響應信號反饋至xPC 目標主機中，用于下一步的迭代控制。

3 試驗驗證

人工地震動頻率一般在2 Hz～30 Hz 的范圍內，而天然地震動頻率一般在2 Hz～25 Hz 的范圍內。人工地震動的能量在頻域上分布均勻，能覆蓋大量的實測地震動頻率，故采用y向人工地震動作為試驗的目標加速度信號。由于振動臺的位移限制，將目標信號幅值縮放到4 m/s2以下，波形如圖7 所示。

圖7 目標加速度信號Fig.7 Target acceleration signal

在初始矩陣未知和初始矩陣已知兩種不同條件下，分別比較HRICS 方法采用無修正的矩陣在線識別策略和有修正的矩陣修正策略的控制效果。在初始矩陣已知且相同的情況下，比較ICS 方法與HRICS 方法對目標波形的再現精度，驗證HRICS 控制算法的有效性。試驗通過比較目標信號和響應信號的絕對誤差和功率譜密度，采用絕對誤差的均值MAE (式(10))和均方根RMES(式(11))作為衡量標準，評估HRICS 的控制效果。通過Simulink 建立非線性仿真模型，利用數值模擬試驗驗證HRICS 在試驗體具有非線性特性情況下的控制效果。

3.1 HRICS 方法控制效果驗證

在初始矩陣未知時，由輸入白噪聲信號作為首幀驅動信號，進行振動臺試驗。圖8 與圖9 分別為采用矩陣在線識別、幀修正策略、頻率點修正策略獲得的響應信號與目標信號的絕對誤差以及功率譜密度曲線。

圖8 初始矩陣未知時HRICS 方法的響應絕對誤差Fig.8 Absolute error of HRICS method with unknown initial matrix

圖9 初始矩陣未知時HRICS 方法的功率譜密度對比Fig.9 Power spectral density comparison of HRICS method with unknown initial matrix

絕對誤差越小，HRICS 方法對目標信號的再現能力越強。圖8(a)、圖8(c)、圖8(d)可以看出，在0 s～12 s 時，矩陣在線識別、頻率點修正策略的絕對誤差較大，但是在獲取一定數據量后，絕對誤差逐漸收斂，輸出的響應信號逐漸趨于目標信號。圖8(b)表明，幀修正策略與矩陣在線識別和頻率點修正策略相比，絕對誤差較大，目標信號的再現精度不佳。

圖9(a)～圖9(d)可以看出，幀修正策略相比于矩陣在線識別和頻率點修正策略，其控制效果最差。將頻率5 Hz～6 Hz 的功率譜密度進行放大對比，從圖9(a)、圖9(c)、圖9(d)能夠看出，頻率點修正策略的控制效果優于矩陣在線識別，而頻率點修正策略中采用相干函數指標與采用功率譜密度指標相比，前者更能獲得較好的地震模擬試驗精度。

時域和頻域的試驗結果表明，初始矩陣未知時，頻率點修正策略優于矩陣在線識別和幀修正策略；而對于頻率點修正策略，采用相干函數指標作為矩陣精度評價指標時，HRICS 方法對目標信號的復現精度最高。

在初始矩陣已知時，由初始矩陣驅動計算獲得驅動信號，輸入驅動信號，繼續進行振動臺試驗。圖10 與圖11 分別展示了初始矩陣已知時，矩陣在線識別和采用不同矩陣修正策略時，響應信號與目標信號的絕對誤差和功率譜密度對比曲線圖。

圖10 初始矩陣已知時HRICS 方法的響應絕對誤差Fig.10 Absolute error of the response of HRICS method with known initial matrix

圖11 初始矩陣已知時HRICS 方法的功率譜密度對比Fig.11 Power spectral density comparsion of HRICS method with known initial matrix

由圖10(a)～圖10(d)可見，矩陣在線識別與矩陣在線修正獲得的控制效果差異很小，誤差均在12 s 以后，隨時間逐漸收斂。從圖11(a)～圖11(d)和5 Hz～6 Hz 的功率譜密度局部放大圖可以看出，矩陣在線識別與矩陣在線修正獲得的響應信號的功率譜密度與命令信號的功率譜密度吻合度相當。時域與頻域結果表明，當初始矩陣已知時，HRICS 方法采用矩陣在線識別或矩陣在線修正，都能獲得近似的控制效果。

目標信號和響應信號的絕對誤差的均值和均方根值在表2 中列出。圖12 為HRICS 方法采用矩陣在線識別、幀修正策略、頻率點修正策略的不同情況下，第1 幀～第6 幀的響應信號和目標信號的絕對誤差的均方根值對比圖。

表2 絕對誤差的均值與均方根Table 2 Mean and root mean square of absolute errors

圖12 第1 幀～第6 幀的響應絕對誤差的均方根Fig.12 Root mean square of absolute error of response in frames 1 to 6

由表2 可知：1) 在初始矩陣未知時，系統矩陣在線識別的情況下，絕對誤差的均值與均方根為0.2057 m/s2和0.2951 m/s2，采用基于相干函數指標的頻率點修正策略后，絕對誤差的均值與均方根下降到0.1885 m/s2和0.2645 m/s2；采用功率譜密度指標的頻率點修正策略后，絕對誤差的均值和均方根下降到0.1943 m/s2和0.2804 m/s2；但是采用幀修正策略后，響應絕對誤差的均值與均方根分別上升為0.2954 m/s2和0.3973 m/s2。2) 在初始矩陣已知時，無修正的矩陣在線識別和采用相應策略的矩陣在線修正方法所獲得的響應絕對誤差的均值與均方根誤差相差很小，絕對誤差的均值在0.2535 m/s2～0.2692 m/s2，均方根在0.3777 m/s2～0.3911 m/s2。效果相對較好的為采用功率譜密度指標的頻率點修正策略，其獲得的響應絕對誤差的均值與均方根最小，分別為0.2535 m/s2和0.3777 m/s2。

由圖12 可見：1) 在初始矩陣已知或未知兩種情況下，基于頻率點的修正策略和幀修正策略以及無修正的矩陣在線識別相比，其絕對誤差收斂的最快；2) 初始矩陣已知或未知，對幀修正策略的結果有明顯影響，初始矩陣未知時，幀修正策略的響應誤差發散，初始矩陣已知時，響應誤差收斂。

除人工地震動以外，同時也采用EI-Centro 天然地震動進行了相同的試驗驗證HRICS 的控制效果，試驗結果均表明：無論初始矩陣已知還是未知，HRICS 方法采用頻率點修正策略對識別矩陣進行修正更新，最終獲得的效果優于矩陣在線識別和幀修正策略。

3.2 ICS 與HRICS 方法控制效果對比

ICS 方法以白噪聲識別后的第一次迭代控制效果參與對比試驗，HRICS 選擇采用相干函數指標的頻率點修正策略作為系統矩陣修正方法。ICS 方法與HRICS 方法使用的初始矩陣均由ICS 識別獲得。輸入和上述試驗相同的人工地震動作為目標波形，比較HRICS 與ICS 方法的控制效果。圖13和圖14 分別為目標信號與響應信號的絕對誤差和功率譜密度的對比圖。

圖13 目標和響應信號的響應絕對誤差Fig.13 Absolute error of response for target and response signals

圖14 目標與響應信號的功率譜密度對比Fig.14 Comparison of the power spectral density of the target and response signals

圖13(a)、圖13(b)可以看出，HRICS 的目標信號和響應信號的誤差隨時間逐漸收斂。HRICS方法的絕對誤差均值和均方根分別為0.2368 m/s2和 0.2716 m/s2，遠低于ICS 方法的0.3445 m/s2和0.3629 m/s2，這表明HRICS 方法的控制精度優于ICS 方法第一次迭代后的控制效果。

圖14 表明HRICS 響應信號的功率譜密度與目標信號的功率譜密度吻合度較高，說明HRICS方法相對于ICS 方法的第一次迭代，表現出更好的控制效果。時域和頻域結果表明，HRICS 方法能夠在振動臺試驗中取得更優的控制精度，對目標信號也表現出更強的再現能力。

3.3 非線性情況下，HRICS 控制仿真

在Simulink 中建立振動臺仿真模型，以非線性單自由度結構作為數值模擬試驗的試驗體，如圖15 所示。通過HRICS 控制器將驅動命令輸入到作動器中，控制振動臺移動，并輸出內環位移信號和外環加速度響應信號，使HRICS 完成在線迭代，復現目標信號。

圖15 振動臺非線性仿真模型Fig.15 Nonlinear simulation model of shaking table

試驗體的質量為450 kg，阻尼為2500 (N·s)/m，初始剛度為17 765 N/m。由圖15(b)可以看出，試驗體為非線性體系，剛度的變化如式(12)所示：

式中：k0為試驗體的初始剛度；x為輸出位移響應。

仿真試驗中以白噪聲為目標波形，采集臺面加速度為輸出信號，驗證HRICS 在非線性體系下，采用以相干函數為矩陣精度評價指標的頻率點修正策略的控制效果；以EI-Centro 波為目標信號，采集臺面加速度為輸出信號，對比ICS 和HRICS 的在非線性體系下的控制效果，驗證HRICS 的優越性。

圖16 為白噪聲激勵下的HRICS 控制效果圖，從圖16(a)、圖16(b)中時域和頻域的加速度響應曲線可以看出，HRICS 方法采用以相干函數為矩陣精度評價指標的頻率點修正策略時，獲得的加速度響應信號與目標波形吻合度較好。表明HRICS 控制方法能改善系統的非線性特性對加速度響應信號波形失真的影響。

圖16 目標與響應信號的加速度響應和功率譜密度對比Fig.16 Comparison of acceleration response and power spectral density of target and response signals

圖17(a)、圖17(b)分別為ICS 迭代和HRICS迭代的時域和頻域效果對比。從圖17 可見，在系統具有明顯的非線性特征情況下，HRICS 方法最終響應與期望曲線更加接近。這表明，HRICS 控制方法能夠很好地滿足對目標波形的復現要求。

圖17 ICS 與HRICS 的加速度響應和功率譜密度對比Fig.17 Comparison of acceleration response and power spectral density of ICS and the HRICS

通過數值模擬分析可以得到如下結論：在試件具有非線性特性的情況下，HRICS 迭代方法采用以相干函數為矩陣精度評價指標的頻率點修正策略時，可以提高振動臺加速度再現精度；HRICS方法對目標波形的復現精度高于ICS 方法。對于振動臺試驗而言，更期望精確再現加速度，所以采用HRICS 方法更合適。振動臺仿真模型仍與真實的振動臺有很大差別，還需通過真實試驗進一步驗證HRICS 迭代算法在非線性系統下的可靠性。

4 結論

本文提出了一種基于系統矩陣修正的高精度在線迭代控制方法，該方法結合3 種矩陣精度評價指標來評估系統矩陣識別精度，采用基于數據幀或數據頻率點的系統矩陣在線修正策略，有效地提高了振動臺模型試驗目標波形的再現精度?；谡駝优_搭建了HRICS 方法的軟硬件平臺，以調諧質量阻尼作為試驗體進行了地震模擬振 動臺模型試驗，在初始矩陣已知或未知的情況下，以人工地震動為控制目標，進行HRICS 方法矩陣在線識別以及不同矩陣修正策略的對比試驗，并將HRICS 方法與ICS 方法比較，驗證HRICS 方法的優越性。最后通過數值模擬，驗證了HRICS 在非線性體系下的控制效果。得到主要結論如下：

(1) 在初始矩陣未知和初始矩陣已知2 種不同的情況下，HRICS 方法采用頻率點修正策略獲得的控制效果要優于幀修正策略和矩陣在線識別策略。

(2) 在初始矩陣已知時，且初始矩陣相同的情況下，HRICS 方法對目標波形的復現精度明顯高于ICS 方法第一次迭代后對目標信號復現精度。

(3) 系統具有非線性特性的情況下，HRICS 方法采用以相干函數為矩陣精度評價指標的頻率點修正策略時，可以提高振動臺加速度再現精度；且對目標波形的復現精度高于ICS 方法。

在初始矩陣未知的試驗中，建議采用以相干函數指標為矩陣精度頻率指標的頻率點修正策略；在初始矩陣已知的試驗中，宜根據實際情況，選擇相應的修正策略。

本文在驗證算法的不同控制策略的效果時，所采用的試驗體主要為含有部分非線性特征的線性試驗體，數值模擬分析的結果表明采用以相干函數為矩陣精度頻率指標的頻率點修正策略能避免試件突變對HRICS 算法的影響，但對于試件進入非線性之后的響應修正還需要進一步的試驗驗證。