水擊補氣式壓力罐及水力瞬變仿真

楊開林

(流域水循環模擬與調控國家重點實驗室 中國水利水電科學研究院，北京 100038)

1 研究背景

空氣閥是管道輸水工程中必不可少的防止水擊破壞的調壓設備，一般間隔500～1000 m距離就會設置。此外，長距離輸水管道一般采用地下埋設的方式，當管道直徑較大時，需要在間隔1～3 km距離設置檢修孔，其內徑一般為0.8～0.9 m，以便進人檢查輸水管是否存在嚴重泄漏。在一些埋深較大的城市輸水管線，檢修孔高度或頂蓋與輸水管頂部的距離hori可達3～5 m以上。為了節省空間，空氣閥和檢修孔常常共用一個地下室。同時，為了不停水檢修空氣閥的需要，每個空氣閥都配套相同規格的手動檢修蝶閥。由此產生了兩種主要的空氣閥安裝方式：(1)空氣閥-檢修閥-連接管垂直安裝在輸水管頂部；(2)空氣閥-檢修閥-連接彎管安裝在檢修孔側壁，如圖1(a)所示。為便于安裝和拆卸檢修孔頂蓋，連接彎管與頂蓋之間需要一定距離，這使空氣閥進氣后的部分氣體會存留在檢修孔上部，產生氣墊式壓力罐的水擊防護作用，如圖1(b)所示。

圖1 空氣閥-檢修孔裝置工作原理

為了兼顧管道充水和泵站事故斷電水擊危害防護的需要，規范要求采用計算仿真的方法確定空氣閥的位置、類型和孔徑。目前一般采用著名瞬變流專家Wylie和Streeter[1]的數學模型求解空氣閥的水力瞬變[2-9]，該數學模型成立的基本假設包括：(1)管內氣體的變化遵守等溫規律；(2)液體表面的高度基本不變，即忽略空氣閥及其配套檢修閥和連接管高度的影響。

雖然Wylie和Streeter的空氣閥水力瞬變數學模型在工程計算中廣泛采用，包括現有商用軟件，但是該模型基本假設1和2在理論和實用方面均存在問題。為此，楊開林[10]基于等熵流動的氣動力學理論，建立了管內氣溫與氣壓的函數關系，從而導出新的空氣閥進排氣基本方程，然后，考慮空氣閥安裝方式1條件下空氣閥-檢修閥-連接管結構尺寸的作用，提出了新的空氣閥水力瞬變數學模型及其求解算法。不過，對于空氣閥安裝方式2條件下的水力瞬變過程，目前尚未引起關注，缺乏基本的理論研究。

另一方面，在現有的空氣閥安裝設計中一般要求將通過空氣閥進入輸水管的氣體完全排出，原因是擔心氣體長期滯留在管道中產生不可預測的危險水擊現象，諸如液柱彌合沖擊水壓破壞管道。不過，從目前大量管道工程空氣閥安裝方式2的長期運行實踐來看，氣體存留在檢修孔上部并未給運行帶來明顯不利影響，即使這些氣體最終會完全溶解于水。這就給出一個啟示，當按照常規空氣閥安裝方式1不能滿足水擊防護要求時，可以利用空氣閥與其它調壓方法結合形成新的調壓設施，例如真空破壞閥或空氣閥與壓力罐結合形成水擊補氣式壓力罐。

本文主要目的是，首先提出兩種水擊補氣式壓力罐的設計方法，然后分析其水力瞬變的特點并建立數學模型，最后通過工程算例計算比較分別設置空氣閥、空氣閥調壓室[11]、水擊補氣式壓力罐的防護效果。

2 水擊補氣式壓力罐

壓力罐是泵站加壓輸水系統水擊危害防護的常用安全設備。與單向調壓室相比，壓力罐不僅能夠防負壓，而且能夠消減最大水擊壓力。不過，常規的壓力罐需要配套專用空壓機和自動監測監控裝置，而氣囊式壓力罐投資較高，需要定期更換氣囊。鑒于此，可參考空氣閥-檢修孔裝置，發展新型的水擊補氣式壓力罐裝置。水擊自補氣壓力罐可劃分為兩類：真空破壞閥補氣式壓力罐，空氣閥補氣式壓力罐，如圖2所示。

圖2 水擊補氣式壓力罐

真空破壞閥宜布置在壓力罐頂部，其特點是只容許空氣進入壓力罐，不容許氣體排出壓力罐?？諝忾y連接管需布置在壓力罐側壁且向上傾斜，其特點是，當罐內水位Hs低于連接管高程Zct時，容許氣體流入和排出壓力罐，而當Hs>Zct時，壓力罐內的氣體不會被空氣閥排出，優點是可以兼顧輸水管充水、排水和事故斷電水擊防護要求。顯然，空氣閥-檢修孔裝置可視為空氣閥補氣式壓力罐的一個特例。

空氣閥補氣式壓力罐的水力瞬變可劃分為四個階段：階段1，壓力罐頂部沒有氣體且壓力罐水位Hc≡Zmt保持不變，空氣閥進氣和排氣，空氣閥-檢修閥-連接管水位Hs在高程Zct和Zat之間變化；階段2，水位Hc≡Zct不變，空氣閥進氣，并上浮到壓力罐水面以上，使得水位Hc從高程Zmt逐漸下降到Zct；階段3，空氣閥進氣和排氣，水位Hc=HsZct的現象，此時，氣體把水體分隔為兩部分，一小部分在空氣閥-檢修閥-連接管中，其余在壓力罐中。需要說明的是，在一些情況下，水力瞬變過程不會遵循階段1、2、3、4的順序進行，例如，在階段2，空氣閥因輸水管水壓重新上升開始排氣時，水力瞬變過程就會跳過階段3，直接進入階段4。

當初始工況壓力罐頂部存在氣體時，空氣閥補氣式壓力罐的水力瞬變將從階段4開始，然后在階段2—4之間變化。對于圖2(a)所示真空破壞閥補氣式壓力罐，其水力過渡過程只有階段1和3。由于水力瞬變持續的時間一般很短，在計算分析時可以不考慮氣體的釋放和溶解。

3 數學模型

為使問題簡化，首先假定：(1)氣體為理想(完全)氣體且等熵的流進流出空氣閥；(2)進入輸水管的空氣留在它可以排出的檢修孔附近，以便用常規水擊特征線方法求解輸水管道水力瞬變；(3)進入壓力罐(或檢修孔)的空氣不會被水流帶走，而是上浮到壓力罐水面以上。

由于真空破壞閥補氣式壓力罐的水力瞬變過程只是空氣閥補氣式壓力罐的一部分，下面以后者為主要研究對象。

3.1 空氣閥的進排氣數學模型參考文獻[10]，空氣閥的進排氣數學模型如下：

(1)空氣以亞聲速進氣

(1)

(2)空氣以臨界聲速進氣

(2)

(3)空氣以亞聲速排氣

(3)

式中：Cout為排氣流量系數；Aout為排氣孔流通面積，m2；prc，out=1/prc，in為排氣臨界壓比。

(4)空氣以臨界聲速排氣

美國水行業協會標準AWWA M51指出，當排氣壓比等于或大于臨界聲速排氣的壓比(pr≥prc，out)時，空氣將以聲速流動，即便壓強差持續增大。令式(3)中pr=prc，out，可得空氣以臨界聲速排氣的質量流量

(4)

5)等熵條件下的氣體狀態方程

(5)

式中：-V為氣體體積，m3；Ma為氣體質量，kg。

3.2 空氣閥補氣式壓力罐水力瞬變數學模型參考圖2(b)，空氣閥連接管進口連續性方程是

Qa=Qs-Qc

(6)

式中：Qa為空氣閥或連接管的流量，m3/s；Qs為壓力罐底部阻抗孔的流量，m3/s；Qc為壓力罐高程Zct上部的流量，m3/s。

壓力罐底部節點的連續性方程為

Qs=QT-Q

(7)

式中：QT為流入節點的輸水管流量，m3/s；Q為流出節點的輸水管流量，m3/s。

根據水擊特征線相容性[1-2]可得

C+：QT=CP/BP-HP/BP

(8)

C-：Q=-CM/BM+HP/BM

(9)

在時刻t參數BP、BM、CP、CM是已知量，由輸水管道系統水力瞬變計算確定。

把式(8)(9)代入式(7)得

Qs=C1-C2HP

(10)

式中：

(11)

3.2.1 空氣閥-檢修閥-連接管-壓力罐水位、氣體體積、流量、氣壓的函數關系

(12)

(13)

式中：t為時間，s；Hs為空氣閥-檢修閥-連接管-壓力罐水位，m；As為對應Hs的過流截面積，m2；-Va為Hs上部氣體體積，m3；Z為輸水管頂高程，m；Zat為空氣閥進口高程，m。

對式(12)(13)積分并取二階近似得

Hs=C31+C41Qa，Z≤Hs≤Zat

(14)

-Va=-Va0-0.5Δt(Qa+Qa0)

(15)

式中：下標“0”表示時刻t0；Δt=t-t0；

(16)

式中：Aa為空氣閥-檢修閥-連接管截面積，m2；Ac為壓力罐截面積，m2。C31=Z和C41=0相當于取Hs=Z，即假設進入輸水管的空氣留在它可以排出的壓力罐附近。

當不考慮水體慣性力和沿程水頭損失的影響，則氣體絕對壓強p與輸水管頂測壓管水頭HP的關系是

Hapr=HP+Ha-Hs-C5|Qs|Qs-C5a|Qa|Qa

(17)

式中：pr=p/pa為空氣閥壓比；pa為絕對大氣壓強，Pa；Ha=pa/γ為大氣壓頭，m；γ為水的重度，一般取9800 N/m2；C5為壓力罐阻抗孔的阻抗系數；C5a為連接管出口的阻抗系數；

把式(10)(14)代入式(17)，消去HP和Hs可近似得

Hapr=C1/C2-Qs/C2+Ha-C31-C41Qa-2C5|Qs0|Qs+C5|Qs0|Qs0-2C5a|Qa0|Qa+C5a|Qa0|Qa0

(18)

3.2.2 壓力罐水位、氣體體積、氣壓與流量的函數關系

(19)

(20)

式中：Hc為壓力罐水位，m；-Vc為壓力罐氣體體積，m3。

對式(19)(20)積分并取二階近似得

Hc=C32+C42Qc，Z≤Hc≤Zmt

(21)

-Vc=-Vc0-0.5Δt(Qc+Qc0)

(22)

式中：

(23)

式中C32=Z和C42=0相當于取Hc=Z，即假設進入輸水管的空氣留在它可以排出的壓力罐附近。

當不考慮壓力罐水體慣性力、沿程水頭損失的影響，則壓力罐氣體絕對壓強pc與輸水管頂測壓管水頭HP的關系是

Hapcr=HP+Ha-Hc-C5|Qs|Qs

(24)

式中pcr=pc/pa為壓力罐內氣體壓比。

把式(10)(21)代入式(24)，消去HP和Hc可得

Hapcr=C1/C2-Qs/C2+Ha-C32-C42Qc-2C5|Qs0|Qs+C5|Qs0|Qs0

(25)

3.3 空氣閥補氣式壓力罐的水力瞬變的數值求解假設初始時刻壓力罐內沒有氣體，下面將根據第2節所述空氣閥補氣式壓力罐水力瞬變的四個階段，研究各階段的數值求解方法。

階段1：壓力罐頂部沒有氣體且壓力罐水位Hc≡Zmt保持不變，空氣閥進氣和排氣，空氣閥-檢修閥-連接管水位Zct≤Hs≤Zat。這時，Qc≡0而Qa≡Qs。當HP=C1/C20時，空氣閥排氣。

把Qa≡Qs代入式(18)可得

Qs=C6-C7pr

(26)

其中：

(27)

式中：ω為壓力罐阻抗孔截面積，m2；ζ和ζa分別為阻抗孔和連接管出口的局部阻力系數，為突擴或突縮和90°轉彎的組合。C5a右邊第二項為水位Hs變化在空氣閥-檢修閥-連接管中產生的附加阻抗系數。

把式(26)代入式(15)得

-Va=C8+C9pr

(28)

其中：

C8=-Va0-0.5Δt(C6+Qs0)，C9=0.5ΔtC7

(29)

氣體等熵流動的氣體狀態方程式可描述為

(30)

把式(28)氣體體積-Va代入式(30)可得

(31)

在時刻t0參數已知的情況下，式(31)只有壓比pr是未知量函數，可用參考文獻[10]方法求解，然后由式(26)(28)(14)(10)(8)(9)計算得時刻t的Qs、-Va、Hs、HP、QT、Q。但是，當Hs≥Zat，即空氣閥完全關閉，則令Hs=Zat、Qs=0、a=0、Ma=0，然后由式(10)(8)(9)確定HP、QT、Q。

階段2：空氣閥進氣，Hs≡Zct和Zct≤Hc≤Zmt。

進入壓力罐的氣體，一部分可能被水流挾帶進入輸水管，另一部分將上浮到壓力罐頂部使水位Hc下降到Zct。挾帶進入輸水管氣體與上浮到壓力罐水面以上氣體的比例與壓力罐流速V=Qs/Ac和壓力罐高度h=Zct-Z有關。V越大、h越小，進入輸水管的氣體越多，但是具體多少，目前知之甚少。為了使問題簡化，下面假設進入壓力罐的空氣不會被水流帶走，而是上浮到壓力罐水面以上。

當

(32)

則可采用階段1數學模型計算確定pr、Qs、-Va、HP、QT、Q，直到下式

-Va≥-Va1+-Vc1

(33)

成立為止，即壓力罐高程Zct以上空間全部被氣體占據為止。式(33)右邊-Va1和-Vc1分別為空氣閥-檢修閥-連接管和壓力罐上部的氣體容積。

在階段2，壓力罐頂部絕對氣體壓強。

pc/γ=p/γ-(Hc-Zct)

(34)

上式表明在階段2期間，壓力罐氣壓pc小于空氣閥氣壓p，這意味著壓力罐頂部相對氣壓小于大氣壓。

不過，如果在計算的過程中pr≥1，即空氣閥開始排氣，則水力瞬變跳過階段3，直接進入階段4。

階段3：空氣閥進排氣，Hs=Hc≤Zct。

在階段3，在氣體等熵流動條件下，壓力罐氣壓與空氣閥-檢修閥-連接管氣壓相同，即pc=p，當令

(35)

階段4：壓力罐上部存在氣體，Hs>Zct。

(1)氣體壓比與體積的關系。壓力罐氣體壓比與氣體體積的關系是

(36)

空氣閥-檢修閥-連接管氣體壓比與氣體體積的關系是

(37)

設階段3末了時刻氣體質量為Ma30，而壓力罐上部和空氣閥-檢修閥-連接管氣體質量分別為Mac0和Ma0，則存在下述關系

Ma30=Mac0+Ma0，Mac0/Ma0=-Vc1/-Va1

求解可得

Ma0=Ma30/(1+-Vc1/-Va1) ，Mac0=Ma30(-Vc1/-Va1)/(1+-Vc1/-Va1)

(38)

式中Mac0和Ma0也分別為階段4初始時刻t0壓力罐和空氣閥-檢修閥-連接管內的氣體質量，kg。

(2)壓力罐和空氣閥流量與氣體壓比的關系。對于空氣閥-檢修閥-連接管，把式(6)代入式(18)可得Qs、Qc與pr的線性代數方程

a11Qs+a12Qc=d1-pr，Hc≥Zct，Hs≥Zct

(39)

其中：

a11=(1/C2+C41+2C5|Qs0|+2C5a|Qs0-Qc0|)/Ha，a12=-(C41+2C5a|Qs0-Qc0|)/Ha，d1=(C1/C2+Ha-C31+C5|Qs0|Qs0+C5a|Qs0-Qc0|(Qs0-Qc0))/Ha

(40)

對于壓力罐，由式(25)可得Qs、Qc與pcr的線性代數方程

a21Qs+a22Qc=d2-pcr

(41)

其中：

a21=(1/C2+2C5|Qs0|)/Ha，a22=C42/Ha，d2=(C1/C2+Ha-C32+C5|Qs0|Qs0)/Ha

(42)

當HcZct和不考慮壓力罐水流慣性和沿程水頭損失時，可得

Hapcr+Zct=Hapr+Hs+C5a|Qa|Qa，HcZct

(43)

把式(6)(14)(41)代入式(43)可得

Ha(d2-a21Qs-a22Qc)+Zct=Hapr+C31+(C41+2C5a|Qs0-Qc0|)(Qs-Qc)-C5a|Qs0-Qc0|(Qs0-Qc0)

整理得

a11Qs+a12Qc=d1-pr，HcZct

(44)

其中：

a11=a21+(C41+2C5a|Qs0-Qc0|)/Ha，a12=a22-(C41+2C5a|Qs0-Qc0|)/Ha，d1=d2+(Zct-C31+C5a|Qs0-Qc0|(Qs0-Qc0))/Ha

(45)

采用克萊姆法則聯立求解線性方程組(39)(41)或者(41)(44)得

(46)

(47)

其中：

Δ=a11a22-a12a21，ΔQs=(d1-pr)a22-(d2-pcr)a12，ΔQc=(d2-pcr)a11-(d1-pr)a21

(48)

(3)-Va、-Vc與壓比pr、pcr的關系。把式(46)(47)代入式(15)消去Qs和Qc可得

-Va=d3+a31pr+a32prc

(49)

其中：

(50)

把式(47)代入式(22)消去Qc可得

-Vc=d4+a41pr+a42prc

(51)

(52)

(4)壓比pr、pcr數值求解。把式(49)(51)分別代入式(37)(36)得

(53a)

(53b)

在時刻t，除壓比pr和prc是未知量外，其他參數均是已知量。

采用牛頓-雷伏生法(Newton-Raphson method)，式(53)非線性方程組可線性化，

a51Δpr+a52Δpcr=d5

(54a)

a61Δpr+a62Δpcr=d6

(54b)

其中：

(54c)

式中δ>0為pr的微小增量，可取δ=10-7。

當由式(54)計算得到Δpr和Δpcr時，令

(55a)

pcr=pcr+Δpcr

(55b)

3.4 特例

特例1：初始工況壓力罐存在氣體。在此情況下，空氣閥補氣式壓力罐的水力瞬變將從階段4開始，然后在階段2—4之間變化。

特例2：不考慮空氣閥-檢修閥-連接管高度的影響，即取高程Zat=Zct。在此情況下，水力瞬變過程只存在階段2—4，且階段4的水力瞬變可采用階段3的計算模型，這時壓力罐水位Hs=Hc>Zct、Ma=Mac0為常數(空氣閥處于關閉狀態)。

特例3：空氣閥為真空破壞閥且壓力罐高程Zmt=Zct，即圖2(a)中的空氣閥補氣式壓力罐轉化為圖2(b)真空破壞閥補氣式壓力罐。在此情況下，水力瞬變過程只存在階段1和3。

特例4：圖2(a)真空破壞閥被空氣閥代替，即空氣閥調壓室，容許進氣和排氣。在此情況下，水力瞬變過程也可采用階段1和3程序計算。

4 工程算例

下面以文獻[12]泵站加壓輸水工程為例，計算比較分別設置空氣閥、空氣閥調壓室及真空破壞閥補氣式壓力罐時的水擊防護效果。需要說明的是，空氣閥調壓室就是在輸水管上安裝一垂直豎管，然后在其封閉頂蓋上設置復合式空氣閥的水力控制裝置。

計算條件：空氣閥進排氣孔徑為0.1 m，真空破壞閥進氣孔徑0.1 m，空氣閥位置列于表1。初始條件：6臺泵運行，額定轉速，蝶閥全開。液控蝶閥兩段關閉規律：0～2 s，y=1.0～0.1；2～20 s，y=0.1～0.0。

表1 空氣閥布置位置及對應高程

表2列出了6臺泵同時事故斷電、液控蝶閥兩段線性關閉條件下水力瞬變計算的特征參數，其中：h、Ds、dw分別為空氣閥-檢修閥-連接管、空氣閥調壓室、真空破壞閥補氣式壓力罐的高度、內徑、阻抗孔直徑；nmax為機組反向最大轉速相對值，負號“-”表示反轉；Hmax為輸水管最大水壓；Hmin為輸水管最小水壓，負號“-”表示負壓；序號1和2是只設空氣閥的結果；序號3、4是將空氣閥更換為空氣閥調壓室的計算結果；序號5是將空氣閥更換為真空破壞閥補氣式壓力罐的計算結果。

表2 水力過渡過程特征參數一覽表

需要說明的是，在計算空氣閥調壓室和真空破壞閥補氣式壓力罐水力瞬變的過程中，沒有考慮對應空氣閥-檢修閥-連接管高度的影響，表2中h和Ds分別為調壓室或壓力罐的高度和直徑。

根據表2，可得下述結論：

(1)當出水管只設空氣閥時，則空氣閥-檢修閥-連接管高度h=1.0 m時計算的Hmin比h=0.0 m時的小得多，在一些位置Hmin達到水體汽化壓力(-9.0 m)，這意味著減小連接管高度有利于降低液體汽化的風險；

(2)當用空氣閥調壓室更換出水管空氣閥時，隨著調壓室直徑Ds和阻抗孔孔徑dw增加到一定程度，不僅Hmax減小，而且Hmin也增加，例如，當使Ds和dw分別從0.1 m增加到0.4 m和0.2 m時，則Hmax從486.7 m減小到476.0 m，而Hmin從-9.0 m增加到-3.5 m；

(3)當把空氣閥調壓室更換為真空破壞閥補氣式壓力罐時，在調壓室與壓力罐高度、直徑、阻抗孔孔徑相同的條件下，真空破壞閥補氣式壓力罐比空氣閥調壓室的最大水壓顯著減小，相差達27 m；而兩者最小水壓相差微小，約為0.1 m；

(4)空氣閥、空氣閥調壓室、真空破壞閥補氣式壓力罐對機組反向最大轉速的影響微小。

壓力罐大小及阻抗孔直徑對水錘防護效果有很大影響，可通過水力過渡過程計算確定，以確保壓力罐體內氣體不流入輸水管。

圖3和圖4示出了水泵出水管分別設置空氣閥調壓室和真空破壞閥補氣式壓力罐典型工況的水力瞬變曲線，包括調壓室和壓力罐的水位隨時間的瞬變曲線。當Ds=0.4 m、dw=0.2 m時，樁號2071 m處空氣閥調壓室和壓力罐水位Hs與空氣閥頂部高程差(Hs-Zat)min>-0.8 m，表示調壓室最低水位Hsmin在輸水管頂高程以上，氣體不會進入輸水管，這對于輸水安全性是非常有利的，因為在這種情況下，機組可以重新啟動，無需經歷排氣過程。

圖3 空氣閥調壓室水位Hs與底部水壓H隨時間t的變化(樁號2071 m處)

圖4 真空破壞閥補氣式壓力罐水位Hs與底部水壓H隨時間t的變化(樁號2071 m處)

5 結論

本文提出了水擊補氣式壓力罐裝置的設計方法及水力瞬變數值仿真數學模型，并以一個實際泵站加壓輸水工程為例，計算比較了分別設置空氣閥、空氣閥調壓室及真空破壞閥補氣式壓力罐時的水擊防護效果，結果表明：(1)減小空氣閥連接管高度有利于降低液體汽化的風險；(2)當用空氣閥調壓室更換空氣閥時，不僅可以使最大水壓減小，而且使最小水壓增加；(3)當把空氣閥調壓室更換為真空破壞閥補氣式壓力罐時，在空氣閥和真空破壞閥孔徑、流量系數相同及調壓室和壓力罐結構參數也相同條件下，真空破壞閥補氣式壓力罐具有更好的水擊防護作用；(4)合理地選擇水擊補氣式壓力罐的直徑和高度，可以防止氣體進入輸水管，這對于輸水安全性是非常有利的。

需要說明的是，水擊補氣式壓力罐裝置的研究處于初級階段，其設置位置、數量、體型參數與工程的負壓防護標準之間的關系需要進一步研究，特別是壓力罐內氣體的溶解規律。