考慮齒面閃溫的風電齒輪箱裂紋故障特征分析

張旭，鐘家欣，李偉

（1.天津工業大學 天津市現代機電裝備技術重點實驗室 天津 300387；2.天津城建大學 能源與安全工程學院 天津 300384）

齒輪箱作為風力發電機組中變速的關鍵部件，通常承受隨機風沖擊與電網波動雙重載荷的作用，容易發生局部故障和分布式故障[1]。其中，齒輪表面出現裂紋是齒輪箱最常見的局部故障之一。當裂紋擴展到一定程度時，輪齒將會發生斷裂，引起更大的嚙合沖擊，甚至造成整個齒輪的完全失效，最終影響風力發電機組的安全、可靠運行[2]。此外，齒輪嚙合過程中齒面摩擦會在嚙合處產生大量的熱，造成嚙合表面溫度升高，以至嚙合點周圍出現局部變形，從而影響齒輪的剛度[3]。因此，進行計及齒面閃溫影響的齒輪裂紋故障特征研究對風電齒輪箱的故障狀態與程度監測具有重要的理論意義和工程應用價值。

齒根裂紋會影響齒輪的時變嚙合剛度，利用勢能法、有限元法、實驗法等可以對其進行準確計算。其中，勢能法的計算效率最高，故國內外學者多采用其開展齒輪裂紋嚙合剛度計算的研究[4-6]。Wan等[7]提出一種改進的時變嚙合剛度算法，考慮橫向和扭轉振動方向建立含有輪齒裂紋齒輪轉子系統耦合動力學模型，分析裂紋故障對振動響應的影響。Wang 等[8]應用勢能法計算包含彎曲剛度、剪切剛度、軸向壓縮剛度、赫茲剛度和圓角基礎剛度的直齒輪副裂紋時嚙合剛度，研究不同裂紋水平對齒輪動力學特性的影響。Yang 等[9]利用勢能法得到含有齒根裂紋的直齒圓柱齒輪嚙合剛度，通過峰值、均方根值、峰值因子等統計指標評估齒輪系統的振動行為和故障條件。肖正明等[10]采用改進能量法計算正常與含裂紋齒輪時變嚙合剛度，建立行星齒輪傳動系統動力學模型，研究故障對系統動力學特性的影響，并通過臺架實驗，對比分析正常與故障齒輪的頻域特性。孟宗等[11]通過勢能法計算齒根裂紋時的嚙合剛度并建立6 自由度齒輪系統動力學模型，研究不同裂紋長度下的時域特性，并比較分析多種統計指標隨裂紋擴展程度的變化趨勢。

許多學者也在溫度對齒輪動力學特性的影響方面取得了一些研究進展。Gou 等[12]考慮齒面閃溫、時變嚙合剛度、齒面摩擦、齒側間隙和綜合嚙合誤差建立齒輪-轉子-軸承系統動力學模型，并進行非線性動力學行為分析。張笑等[13]建立計入熱變形的齒輪系統動力學模型，研究不同轉矩波動頻率下溫度對系統動力學響應的影響。田亞平等[14]建立含齒面閃溫的直齒輪副非線性動力學模型，分析系統分岔、齒面沖擊、齒面脫嚙和動載系數的變化規律。Pan 等[15]考慮齒面接觸溫度、摩擦、載荷波動等非線性特征，建立齒輪-軸-軸承傳動系統耦合動力學模型，研究溫度對齒輪系統動力學特性的影響。

以上關于裂紋和溫度對齒輪動力學特性影響的研究多是單獨展開的，并未進一步分析計及齒面閃溫時齒根裂紋對齒輪系統動態特性的影響?；贐lok 閃溫理論和熱變形公式，利用Hertz 接觸理論獲得考慮齒面閃溫因素的輪齒剛度；建立含有高速級齒輪裂紋故障的風電齒輪箱動力學模型，推導系統振動微分方程并求解動力學響應；分析齒根裂紋故障的仿真與實驗的時頻域特性，研究齒面閃溫對不同裂紋程度下齒輪振動特性的影響。

1 風電齒輪箱動力學模型建立

1.1 齒輪箱動力學模型建立

不考慮齒輪的橫向振動位移，采用集中質量法對兩級定軸齒輪和一級行星輪組成的風電齒輪箱（圖1）建立多級齒輪傳動系統純扭轉動力學模型，如圖2 所示。

圖1 齒輪傳動系統實驗臺Fig.1 Test platform of the gear transmission system

圖2 齒輪傳動系統純扭轉動力學模型Fig.2 Pure torsional dynamic model of the gear transmission system

圖2 中，Tin為輸入轉矩，Tout為輸出轉矩，r為內齒圈；1、2 為高速級主、從動齒輪，3、4 為中速級主、從動齒輪，s為太陽輪，pn（n=1,···,4）為4 個行星輪，c為行星架，對應的轉角為θ1、θ2、θ3、θ4、θs、θp1、θp2、θp3、θp4、θc；kj、cj、bj、ej(j=1,2,spn,rpn)分別為高速級齒輪間、中速級齒輪間、太陽輪和第n個行星輪間、內齒圈與第n個行星輪間的時變嚙合剛度、阻尼、齒側間隙、綜合嚙合誤差。

定義嚙合線上齒輪的相對位移為：

式中：rb1、rb2、rb3、rb4、rbs、rbpn、rbc分別為高速級主、從動輪，中速級主、從動輪，太陽輪，行星輪和行星架的基圓半徑。

1.2 系統動力學方程建立

根據拉格朗日方程建立如圖2 所示系統的振動微分方程組[16]為：

式中：I1、I2、I3、I4、Is、Ipn、Ic為高速級主、從動輪，中速級主、從動輪，太陽輪，行星輪，行星架的轉動慣量。

將式（1）代入式（2）可得：

阻尼系數cj表達式為

式中：ξ為嚙合阻尼比，取0.03 ～ 0.17；km為嚙合剛度平均值；m1、m2為主、從動輪的質量。

齒輪副的綜合嚙合誤差ej(t)可用嚙合函數的一次諧波形式表示，即

式中：eaj、 φj分別為第j級齒輪副綜合嚙合誤差的幅值及其初始相位。

齒側間隙非線性函數為：

定義無量綱時間 τ=ωnt，其中固有頻率km1為高速級齒輪副嚙合剛度的平均值，u=lx（l為 特征長度，l=b1）。

歸一化方程（3），得到振動微分方程組為：

量綱一齒側間隙非線性函數為：

將輪齒簡化為齒根圓上的懸臂梁如圖3 所示。

圖3 齒輪輪齒懸臂梁模型Fig.3 Cantilever beam model of the gear tooth

采用文獻[17] 的勢能法計算齒輪嚙合剛度。嚙合齒輪副的剛度被假定包括剪切剛度ks、彎曲剛度kb、軸向壓縮剛度ka、赫茲接觸剛度kh，表達式分別為：

單對齒輪副總嚙合剛度為每個齒輪的剪切剛度、彎曲剛度、軸向壓縮剛度以及赫茲剛度的總和，即

式中：kt1為第一對輪齒嚙合剛度。

當兩對輪齒嚙合時，第二對輪齒嚙合剛度為kt2，雙齒嚙合的總有效嚙合剛度kt為

2 計及齒面閃溫的輪齒剛度計算

2.1 齒面閃溫計算

齒面接觸溫度TB由本體溫度TM和齒面瞬時閃溫Tf組成，即

根據Blok 閃溫理論，齒面瞬時閃溫[18]為

式中：u為溫升系數，對齒輪副取0.83；fμ為摩擦因數；fn為齒面法向載荷；gi為齒輪系統熱傳導系數；ρi為齒面密度；ci為比熱容；b為 齒寬；B(t)為齒面接觸帶半寬；Vi(t)(i=1,2)為主、從動輪齒面切向速度。

式中： ωi為角速度；齒面嚙合壓力角Rci(t)(i=1,2)為嚙合點到主、從動輪圓心的距離。Rci(t)的表達式為：

式中：rbi(i=1,2) 為主、從動輪基圓半徑；ra2為從動輪齒頂圓半徑； α為分度圓壓力角。

嚙合點的接觸半寬B(t)為

式中： ψ為計算系數， ψ=1.128； ν 為泊松比；E為彈性模量；ri(t)(i=1,2)為主、從動輪嚙合點處齒廓曲率半徑。

2.2 齒面閃溫引起的輪齒齒廓變形計算

齒面溫度變化使齒輪實際齒廓與理論齒廓不重合，得到主、從動輪齒廓形變 δi(t)[12]為

式中：負號表示齒廓向外膨脹； ?T為齒面接觸溫度和本體溫度之間的差值； λ為材料的線膨脹系數；齒面熱變形后的壓力角ubi為系統穩定工作時齒輪的基圓熱變形量。

式中：r0i為齒輪軸半徑；t(r0i)、t(rbi)分別為齒輪穩定工作時齒輪軸和基圓面溫度；li(t)(i=1,2)為主、從動輪嚙合處的齒厚。

2.3 輪齒剛度計算

根據Hertz 接觸理論，齒面閃溫引起的主、從動齒輪剛度kwi(t)(i=1,2)為

齒輪嚙合時兩個齒面產生的形變在同一條直線上，則閃溫引起的嚙合剛度kw(t)為

考慮齒面閃溫后的總嚙合剛度kwt[14]為

2.4 齒面閃溫特性分析

載荷分別為fn=6 kN 和30 kN 時，齒輪嚙合過程中齒面閃溫的變化如圖4 所示。

圖4 齒面閃溫隨嚙合點變化的趨勢Fig.4 Change trend of tooth flash temperature with the meshing point

可以看出，隨著載荷的增加，齒面閃溫有較大的增幅；同一載荷下，齒面閃溫在主動輪齒根進入嚙合時達到峰值，嚙合過程中逐漸降低，嚙合節點處變為最低，并隨著輪齒繼續嚙合，在齒頂位置又出現較高值。齒面閃溫在嚙合節點處為零是由于兩齒面間的相對滑移速度為零，在齒頂和齒根處最大則是因為相對滑移速度更大，表明齒面閃溫的變化與齒輪嚙合中滑移速度相關。本文關于齒面閃溫計算的結果變化趨勢與文獻[12]、文獻[19]均一致。

3 含裂紋時齒輪嚙合剛度計算

假設裂紋從高速級齒輪主動輪輪齒危險區域A點開始沿直線傳播，達到齒輪中心線上B點后改變傳播方向向C點擴展，直到輪齒斷裂，如圖5 所示。裂紋會引起齒長和齒高的變化，進而影響彎曲剛度和剪切剛度。裂紋狀態下輪齒的彎曲剛度和剪切剛度為：

圖5 裂紋輪齒模型Fig.5 Model of the tooth with crack

將表1 中4 種裂紋情況下的參數代入式（23），得到圖6 所示嚙合剛度?？梢钥闯?，嚙合剛度隨著裂紋長度的增大而逐漸減小。

表1 高速級主動輪裂紋故障參數Tab.1 Parameters of crack faults of the high-speed driving gear

圖6 高速級齒輪在不同裂紋狀態下的嚙合剛度Fig.6 Meshing stiffness of high-speed gears under different crack states

裂紋故障狀態下時變嚙合剛度可展開[20]為

式中：kai、kaj、 φi、 φj為正常、裂紋時剛度幅值系數及相位角；fm為嚙合頻率；fp為裂紋故障特征頻率。

4 齒輪裂紋故障特征分析

基于高速級齒輪副中主動輪產生裂紋的齒輪箱動力學模型，計算有無齒面閃溫時不同裂紋程度下齒輪系統動力學響應。齒輪箱各齒輪參數如表2 所示，Tin=6.5 Nm，Tout=8.5 Nm，eaj=2 μm，bj=5 μm。

表2 齒輪箱各齒輪參數Tab.2 Parameters of gears in the gearbox

4.1 不考慮齒面閃溫的裂紋故障特征分析

利用Runge-Kutta 法求解式（7），得到不考慮齒面閃溫時高速級齒輪正常和10%、20%、50%、70%裂紋狀態下的時域圖、頻譜圖、相圖和Poincaré截面，如圖7 所示。

由圖7a）～圖7e）的時域圖、頻譜圖、相圖、Poincaré截面可以看出，齒輪產生裂紋后，加速度時域響應在原始的持續振蕩信號上疊加諧波信號，出現周期性沖擊且隨著裂紋程度的增大而愈發明顯；頻域上出現故障頻率fd及其倍頻，中速級嚙合頻率f2的幅值增大，高速級嚙合頻率f1附近出現帶寬為fd的邊頻帶，且隨著裂紋程度的增加，fd的幅值增大且邊頻增多；相圖形狀由環帶變為不規則曲線，且曲線范圍隨著裂紋程度的增加而逐漸擴大；Poincaré截面形狀由點團變成點環，系統運動由周期變為混沌且穩定性隨裂紋程度的增加而逐漸降低。造成時頻域具有上述變化規律的原因是高速級齒輪裂紋引起的嚙合齒面載荷波動致使振動的幅值和頻率發生變化，進而產生信號調制現象。

4.2 裂紋故障特征實驗驗證

基于風電機組故障診斷綜合試驗臺，在高速級齒輪主動輪齒根上設置裂紋故障，采集正常、裂紋狀態下定軸齒輪箱箱體表面的加速度振動信號，并利用傅里葉變換作頻譜圖（圖8）。其中，裂紋長度q1=1 mm，裂紋角度為70°，電機轉頻為40 Hz。

圖8 時頻域實驗結果Fig.8 Experimental results in the time-frequency domain

由圖8 可以看出，裂紋產生的沖擊使加速度幅值明顯增大；裂紋狀態下，高速級嚙合頻率（f1=1）周圍有間隔大小為fd的邊頻，軸頻fz與其大小相等的fd疊加導致幅值有所增大。綜上所述，齒根裂紋故障的實驗與仿真時頻域分析結果具有相同的變化規律。

4.3 考慮齒面閃溫的裂紋故障特征分析

基于考慮齒面閃溫且含齒根裂紋的齒輪系統動力學模型，計算得到正常及10%、20%、50%、70%裂紋狀態下的齒輪動力學響應曲線，如圖9 所示。

圖9 考慮齒面閃溫時的動力學響應Fig.9 Dynamic responses with the tooth flash temperature considered

對比圖7、圖9 可以看出，考慮齒面閃溫后，系統運動狀態并未發生變化；正常工況下時域和頻域的響應幅值有所增大，相圖位置右移；裂紋狀態下加速度時域圖中產生的沖擊幅值增大，頻譜圖中故障頻率及其倍頻的幅值明顯增大且高速級嚙合頻率周圍的邊頻帶結構更加復雜，相圖曲線范圍逐漸向外擴展，Poincaré截面中點環周圍離散點增多，混沌運動更為復雜。相較于10%、20%裂紋，50%、70%裂紋時的動力學響應受閃溫影響更為明顯。

5 結論

本文針對含高速級齒輪齒根裂紋的風電齒輪箱，建立考慮齒面閃溫因素的齒輪系統純扭轉動力學模型，并進行不同裂紋程度下的系統動力學特性分析。

1） 隨著齒根裂紋長度的增加，齒輪嚙合剛度降低，時域上產生的周期性沖擊幅值增大，頻域上高速級嚙合頻率周圍出現的故障邊頻增多，相圖曲線范圍擴大，系統狀態由周期變為混沌且穩定性下降；裂紋故障的仿真與實驗的時頻域變化規律一致。

2） 齒面閃溫使裂紋狀態下時域響應產生更大沖擊、故障邊頻結構更加復雜以及系統穩定性降低，且對動力學響應的影響隨裂紋長度的增加越為明顯。