核心素養下提升中學生數學閱讀能力的活動設計

吳從兵 歐陽尚昭

基金項目：北京市教育科學“十三五”規劃2020年度一般課題——核心素養下提升中學生數學閱讀能力的方法與策略研究（CDDB2020347）.

作者簡介：吳從兵（1971— ），男，正高級教師，主要從事數學教育教學研究；

歐陽尚昭（1964— ），男，正高級教師，北京市特級教師，主要從事數學教育教學研究.

摘? 要：閱讀是學生獲得知識與方法的主要途徑，數學閱讀有不同于一般閱讀的特殊性. 教師應該創設不同的閱讀情境，提升中學生的數學閱讀能力，讓學生主動參與數學閱讀，親身經歷數學化活動，真正形成數學核心素養.

關鍵詞：核心素養；數學閱讀；活動設計

中圖分類號：G633.6????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1673-8284（2024）01-0033-06

引用格式：吳從兵，歐陽尚昭. 核心素養下提升中學生數學閱讀能力的活動設計［J］. 中國數學教育

（高中版），2024（1）：33-38.

雖然很多學生有較強的語言文字閱讀領悟能力，但是在數學閱讀理解上卻有一定的困難. 其實，數學閱讀的過程與其他閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，包含語言符號（文字、數學符號、術語、公式、圖表等）的感知和認讀、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素. 同時，它也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程. 同時，由于數學語言具有符號化、邏輯性、嚴謹性和抽象性等特點，所以數學閱讀又有不同于其他閱讀的特殊性. 首先，由于數學語言的高度抽象性，數學閱讀需要較強的邏輯思維能力；其次，數學閱讀要求精確、細致，要求閱讀者對每個句子、名詞術語、圖表等都細致地閱讀分析，領會其內容和含義；再次，數學閱讀過程往往是讀寫結合的過程；最后，數學閱讀過程中語義轉換頻繁，要求閱讀者思維靈活，如需要把用符號語言或圖形（圖表）語言表述的關系轉化為用文字語言的形式進行表述，或把用文字語言表述的關系轉化為用符號或圖形（圖表）語言進行表述.

蘇霍姆林斯基認為，學會學習首先要學會閱讀. 閱讀是自學的主要形式，自學能力的核心是閱讀能力，閱讀能力能且只能在閱讀活動中提升. 因此，中學數學教育者應該在教學中創設數學閱讀活動，提升中學生的數學閱讀能力.

一、數學教材的閱讀設計

數學教材由數學課程教材編寫專家在充分考慮學生身心發展特征、教育教學原理和數學學科特點等諸多因素的基礎上精心編寫而成，它不僅是教師的教學內容，更是學生學習知識、培養數學核心素養的載體，具有極高的閱讀價值.

但是，很多教師往往不重視對數學教材的閱讀與分析，對教材的編寫意圖也不甚了解，整日糾纏于各種教輔資料，忙于找題、解題、講題，課堂上很少用教材，布置的作業往往只是做題，很少要求學生課后閱讀，由此導致學生不讀數學教材，沒有把數學教材作為最基本而重要的學習資源. 章建躍博士認為，教師、學生不讀教材是導致當前數學教學中存在各種問題的重要原因. 在注重發展學生綜合實踐能力的課改要求下，回歸教材，重視引導學生閱讀和理解教材是一件刻不容緩的事情.

案例1：人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）必修第一冊“3.2.2 奇偶性”自主學習閱讀設計.

活動1：閱讀偶函數圖形語言的特征.

問題1：畫出函數[fx=x2]和函數[gx=2-x]的圖象，如圖1所示. 觀察這兩個函數的圖象，你能發現有什么共同特征嗎？

【設計意圖】通過繪制和展示優美的函數圖象，滲透直觀想象素養，加強學生對數學美的體驗. 但是，直觀并不一定真實，激發學生從“數”的角度來刻畫偶函數應該滿足的條件.

活動2：探究偶函數的文字語言表達.

問題2：觀察表1，取自變量的一些特殊值，相應的函數值有什么關系？

不難發現，當自變量取互為相反數的兩個值[x]和[-x]時，對應的兩個函數值相等. 即對于[?x∈R，] 都有[f-x=][-x2=x2=fx，] 稱函數[fx=x2]為偶函數. 同理，對于[?x∈R，都有g-x=2--x=2-x=gx，] 稱[gx=2-][x為偶函數.]

【設計意圖】通過數學運算，啟發學生根據數量關系判斷函數圖象關于y軸對稱的本質特征，在此基礎上建構偶函數的定義.

活動3：類比函數單調性的符號定義，用抽象符號語言刻畫偶函數的定義.

一般地，設函數[fx]的定義域為[I]，如果[?x∈I]，都有[-x∈I]，且都有[f-x=fx]，那么函數[fx]就叫做偶函數．

【設計意圖】運用數形結合思想，通過閱讀函數的圖形語言和符號語言，經歷從特殊到一般、從具體到抽象的研究過程，進一步體驗研究函數性質的一般方法.

案例2：人教A版教材選擇性必修第一冊中的“閱讀與思考：圓錐曲線的光學性質及其應用”的閱讀設計.

該閱讀材料介紹了橢圓、雙曲線和拋物線的光學性質. 為了激發學生的閱讀興趣，助力學生了解數學的價值，教師可以設計“拋物線的光學性質”一課，通過舉一反三，鼓勵學生查閱文獻，類比探索橢圓和雙曲線的光學性質.

活動1：提出問題. 太陽灶、衛星天線等為何設計成拋物面的形狀？

【設計意圖】引導學生用數學的眼光觀察現實世界，也讓學生體會數學源于對現實問題的抽象，數學與人類生活和社會發展緊密關聯.

活動2：直觀猜想. 如圖2，從焦點F發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.

活動3：操作驗證. 學生通過畫圖或借助信息技術軟件可以驗證猜想.

【設計意圖】學生借助畫圖幾何直觀驗證猜想，滲透從特殊到一般、從具體到抽象的研究方法，也是后面探索和形成論證思路及進行數學推理的思維基礎.

活動4：嚴謹證明.

證明：如圖3，建立平面直角坐標系.

設拋物線的方程為[y2=2px p>0]，F為拋物線的焦點，M為拋物線上一點，MT是拋物線的切線，[MN⊥MT]，法線MN與x軸相交于點N，光線FM在點M處反射后的光線是MA（即[∠FMN=∠NMA]）.

設點M的坐標為[x0，y0 y0≠0]，

則過點M的切線方程為[y-y0=kx-x0].

將[x=y22p]代入上式，可得[ky2-2py+2py0-kx0=0.]

由[Δ=0，且y02=2px0]，化簡，得[k=py0].

則法線MN的方程是[y-y0=-y0px-x0].

令[y=0]，得到法線MN與x軸的交點[Nx0+p，0].

所以[FN=ON-OF=x0+p-p2=x0+p2].

由拋物線的定義，可知[FM]等于點M到準線的距離.

因此[FM=x0+p2].

所以[FM=FN].

由此得到[∠1=∠2=∠3].

所以MA與 x 軸平行，即反射光線平行于拋物線的軸.

【設計意圖】引導學生對猜想的正確性進行反思，培養學生敢于質疑、善于思考的科學精神和邏輯推理能力.

活動5：形成結論. 反射光線平行于拋物線的軸.

活動6：實際應用.

人教A版教材選擇性必修第一冊復習參考題3的第15題：綜合應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡. 這種望遠鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚. 例如，某天文儀器廠設計制造的一種鏡筒長為2 m的反射式望遠鏡，其光學系統的原理（中心截口示意圖）如圖4所示. 其中，一個反射鏡PO1Q弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡 MO2N弧所在的曲線為雙曲線的一個分支. 已知F1，F2是雙曲線的兩個焦點，其中F2同時又是拋物線的焦點，試根據圖示尺寸（單位：mm），分別求拋物線和雙曲線的方程.

【設計意圖】將教材上的練習設計成學生活動，激發思考，開放思維，提高學生的數學應用能力，培養學生勇于探索的科學精神.

活動7：推廣創新. 類比拋物線的光學性質，探索橢圓和雙曲線的光學性質并證明.

【設計意圖】讓學生從更高的視野來觀察問題，用更深的思維來分析問題，用更廣的思路來解決問題，從而激發學生探索橢圓和雙曲線的光學性質，查閱文獻，培養數學閱讀的習慣，提升直觀想象和數學運算素養.

華羅庚主張讀書的第一步是“由薄到厚”. 也就是說，讀書要扎扎實實，每個概念、定理都要追根溯源，徹底清楚. 這樣一來，本來一本較薄的書，由于增加了不少內容，就變“厚”了，這是“由薄到厚”. 這一步之后還有更為重要的一步，即在第一步的基礎上能夠分析歸納，抓住本質，把握整體，做到融會貫通. 經過這樣認真分析，提煉內容要點和關鍵，得出精神實質，就會感到真正應該記住的東西并不多，這就是“由厚到薄”的過程，才能真正提高閱讀效率.

二、數學概念的閱讀設計

概念的生成都有豐富的現實意義和歷史背景. 數學教材注重通過文字語言、圖形語言和符號語言來表述有關概念. 用多元聯系表示的方式呈現內容，可以促進對概念本質的理解.

案例3：人教A版教材必修第一冊“3.1.1 函數的概念”的閱讀設計.

活動1：整體閱讀，初識概念.

問題1：自主閱讀教材中的四個現實的問題“復興號高速列車路程和時間的關系”“電氣維修公司工人工資與工作天數的關系”“北京空氣質量指數和時間的關系”“恩格爾系數和年份的關系”，這四個問題中的函數有哪些共同特征？

【設計意圖】指導學生開展數學的整體閱讀，通過“劃重點”“找關鍵詞”培養學生自覺、有效地獲取信息.

活動2：深度閱讀，辨析概念.

問題2：問題“復興號高速列車路程和時間的關系”“電氣維修公司工人工資與工作天數的關系”中的函數有相同的關系式，你認為它們是同一個函數嗎？能寫出問題“北京空氣質量指數和時間的關系”“恩格爾系數和年份的關系”中的函數解析式嗎？能概括這四個問題中的函數的本質特征嗎？

【設計意圖】通過深度閱讀，讓學生從實際問題中理解用集合與對應關系的語言定義函數的必要性，學會數學表達和交流，發展數學應用意識.

活動3：精細閱讀，理解概念.

問題3：函數概念的關鍵詞有哪些？

函數概念涉及兩個實數集，而且這兩個實數集都不是空集，這是函數概念的前提. 兩個實數集之間要有一種確定的對應關系 f，這里“確定”的意思是實數集A中的每一個實數 x，在對應關系 f 的作用下，在實數集B中都有唯一確定的實數 y 與 x 對應；“每一個”“唯一確定”是函數概念中的兩個關鍵詞. 一方面，對于實數集A中的任何一個實數 x，在實數集B中都要有實數與之對應；另一方面，在實數集B中有且只有一個實數 y 與 x 對應，實數集B中不能有兩個或者兩個以上的實數與同一個 x 對應.

【設計意圖】數學概念都具有高度的抽象性，敘述精練但含義深刻，所以要精讀概念的語句、推敲關鍵字眼和深挖符號含義，從而準確理解概念的內涵.

活動4：課后閱讀，拓寬視野.

教師讓學生課后閱讀人教A版教材必修第一冊第75頁的“閱讀與思考：函數概念的發展歷程”，進一步了解函數概念的發展歷程.

【設計意圖】“閱讀與思考”中簡單介紹了函數定義的演變過程，以言簡意賅的語言介紹了幾位偉大的數學家給出的函數定義，介紹了函數概念的重要性與函數概念發展的長期性. 指導學生課后閱讀能使學生了解函數概念的發展歷程，深刻理解函數概念的發展與生產、生活及科學技術的實際需要緊密相關. 隨著研究的深入，函數概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達，進而讓學生體會數學家的研究過程.

三、數學習題的閱讀設計

在數學解題中，學生不是對數學試題或命題的已知條件熟視無睹，就是對試題或命題的結論丟三落四.學生對數學中的文字語言、符號語言和圖形語言的閱讀存在比較大的困難，尤其表現在對符號語言的閱讀和理解上.

數學習題的閱讀設計關鍵是培養學生的數學抽象能力，以及如何從題目的文字語言、符號語言和圖形（表格）語言中抽象出所需要的數據和變量的關系.

案例4：（2020年高考數學北京卷第15題）為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改. 設企業的污水排放量[W]與時間[t]的關系為[W=ft]，用[-fb-fab-a]的大小評價在[a，b]這段時間內企業污水治理能力的強弱. 已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖5所示．

給出下列四個結論：

① 在[t1，t2] 這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

② 在[t2]時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

③ 在[t3]時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都已達標；

④ 甲企業在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強．

其中所有正確結論的序號是________．

【設計意圖】對該題進行閱讀設計的關鍵是培養學生的數學抽象能力，即如何從題目中的文字語言、符號語言和圖形（表格）語言中抽象出所需要的數據和變量的關系. 突破口是理解符號[-fb-fab-a]是圖象上任意兩點連線斜率的相反數. 因此，在[t1，t2]這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；甲企業在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[t1，t2]的污水治理能力最強．而在某一時刻，企業的污水治理能力是該點切線斜率的相反數，所以在[t2]時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；在[t3]時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都已達標. 綜上所述，該題的正確答案是①②③.

四、數學史（數學文化）的閱讀設計

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出高中數學課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動四條主線，數學文化融入課程內容，要使學生初步了解數學產生與發展的過程，體會數學對人類文明發展的作用. 目前，大多數教材中以“閱讀與思考”“探究與發現”等設計豐富的數學史閱讀材料，這些都是很好的數學閱讀材料.

案例5：人教B版《普通高中教科書·數學》必修第四冊“拓展閱讀：我國古代數學中球的體積公式”的閱讀設計.

活動1：教師補充相關數學史材料，激發學生的閱讀興趣.

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學. 數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律. 數學與人類生活和社會發展緊密關聯. 其中，公元前19世紀至公元前6世紀的古巴比倫的數學以計算為主. 公元前6世紀的古希臘數學以研究空間形式為主，形成了嚴密的公理化體系. 公元前2世紀前后，以探討數量關系為主的中國數學后來居上. 從公元前3世紀至14世紀初，中國傳統數學一直走在世界的前列. 其中，東漢數學名著《九章算術》在許多方面（如解聯立方程，分數四則運算，正、負數運算，幾何圖形的體積和面積計算等）都屬于世界先進之列. 南北朝時期，祖沖之與他的兒子祖暅利用劉徽創造的“牟合方蓋”圓滿地解決了球體積的計算問題，得到了正確的球體積公式. 他們當時采用的一條原理是“冪勢既同，則積不容異”. 這就是說，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等. 大家稱這個原理為祖暅原理，也稱祖氏原理，又名等冪等積定理. 這一原理，國外一般稱之為卡瓦列里原理，但是卡瓦列里的發現要比我國的祖暅晚1 100多年.

【設計意圖】通過補充閱讀材料，向學生滲透愛國主義教育，激發學生奮發拼搏的精神，趕超世界數學先進水平.

活動2：閱讀“拓展閱讀：我國古代數學中球的體積公式”.

【設計意圖】通過閱讀并推導球的體積公式，感受中國古代在數學方面的偉大成就.

案例6：人教A版教材必修第一冊“文獻閱讀與數學寫作：對數概念的形成與發展”的閱讀設計.

活動1：通過互聯網、書店、圖書館等多種途徑搜集素材，了解對數是如何產生和發展的，對數在數學和人類社會的發展歷史中起了什么作用.

【設計意圖】通過對“對數概念的形成與發展”的研究，滲透數學文化，使學生了解對數概念在數學和人類文明進步中的地位和作用，了解數學知識的發展變化，提高學生學習數學的興趣．

活動2：查閱與對數有關的文獻，圍繞對數產生的背景、對數發明的過程、對數對簡化運算的作用等寫一篇數學小論文.

【設計意圖】通過寫作數學小論文讓學生了解數學這門科學產生與發展的歷史過程，培養學生正確的數學思維方式，讓其切實感受到生活中處處皆數學，人人都能參與數學學習研究，體會數學對人類文明發展的作用，感受數學家嚴謹的治學態度和鍥而不舍的探索精神.

總之，數學閱讀有獨特的魅力. 通過數學閱讀，學生熟悉有關數學語言，掌握數學知識，并且運用數學知識解決生活中的問題. 而提升中學生的數學閱讀能力是一項長期而艱巨的任務，需要我們在教學中不斷加強數學閱讀研究，深入指導，具體到個人、明確到課堂. 只有在學生的主觀意識中播下數學閱讀的種子，才能使數學閱讀成為學生的自覺行為，并在此基礎上培養他們敏銳的觀察力，在閱讀中提高學生的數學表達能力、分析能力和推理能力，滲透數學核心素養，真正讓不同的學生在數學上獲得不同的發展.

參考文獻：

［1］邵光華. 數學閱讀——現代數學教育不容忽視的課題［J］. 數學通報，1999（10）：16-18.

［2］章建躍. 學會閱讀數學教材［J］. 中小學數學（高中版），2020（11）：64，66.

［3］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］克萊因. 古今數學思想：第一冊［M］. 張理京，張錦炎，江澤涵，等譯. 上海：上?？茖W技術出版社，2014.

［5］鄧宗琦. 數學家辭典［M］. 武漢：湖北教育出版社，1990.