幾類二次三項式偏微分方程的整函數解

魏慧珍 ,涂金 ,徐洪焱

(1.江西師范大學數學與統計學院,江西 南昌 330022;2.上饒師范學院數學與計算機科學學院,江西 上饒 334001)

1.引言

Gross在文[1]中討論了Fermat型函數方程

并證明:方程(1.1)的整函數解形如f=cosa(z),g=sina(z),其中a(z)為整函數.由文[2-3]可知,Fermat型函數方程的研究可追溯到60年以前甚至更早.近年來,隨著Nevanlinna理論的快速發展,許多復分析學者應用該理論于(偏)微分方程以及差分方程中,取得了大量重要且有趣的成果.尤其在研究復域內的Fermat型函數方程方面,如: 劉凱,曹廷彬等討論了方程

得到

定理A[4]若f是(1.2)的整函數解,則f必須滿足f(z)=sin(z±iB),其中B ∈C,且c=2kπ,或c=(2k+1)π,k ∈Z.

2013年,Saleeby研究了

的整函數解與亞純函數解,得到

定理B[5]若f,g是(1.3)的整函數解與亞純函數解,則

2016年,劉凱,楊連忠等在文[6]中研究了方程(1.3)中g與f具有一些特殊關系時解的存在性以及形式,得到

定理C[6]若α0,±1,則方程f(z)2+2αf(z)f′(z)+f′(z)2=1,不存在超越亞純函數解.

定理D[6]若α0,±1,則方程f(z)2+2αf(z)f(z+c)+f(z+c)2=1的有限級超越整函數解的級數必須等于1.

而對于多變量的Fermat型函數方程,為敘述方便,以下均記z=(z1,z2).1995年,Khavinson在文[7]中證明了偏微分方程

定理F[14]令c=(c1,c2)∈C2,則

的任一超越整函數解具有形式f(z1,z2)=sin(Az1+B),其中A,B ∈C且為常數,=1;特別地,當c1=0時,有f(z1,z2)=sin(z1+B).

受以上定理及結果啟發,本文主要研究了二次三項式偏微分方程,即將方程(1.3)推廣到多變量的形式,如:方程

的有限級超越整函數解的存在性及其形式,其中α2∈C-{0,1}.

因此,本文只考慮α0,±1的情況.

2.主要定理與舉例

從上述問題出發,文章得到

定理2.1若f(z1,z2)為方程(1.6)的有限級超越整函數解,則f(z1,z2)具有以下形式之一

以下兩個例子說明定理2.1中的有限級超越整函數解的形式是精確的.

推論2.1若方程(1.7)中α,則該方程不存在有限級超越整函數解.

定理2.3若f(z1,z2)為方程(1.8)的有限級超越整函數解,則f(z1,z2)具有以下形式之一

以下兩個例子說明定理2.3中的有限級超越整函數解的形式是精確的.

3.重要引理

為了定理的證明,我們引入以下引理:

引理3.1[17-18]設F為Cn上的整函數F(0) =0,且ρ(nF)=ρ<∞,則存在一典型的函數fF與函數gF ∈Cn,滿足F(z)=fF(z)egF(z).特別地,若n=1,則fF為Weieratrass典型乘積.

注3.1記ρ(nF)=ρ<∞為函數F零點計數的函數的級.

引理3.2[3]若g與h為復平面C上的整函數,且g(h)為有限級整函數,那么下面兩種情形之一發生:

1)h為多項式,g為有限級整函數;

2)h為非多項式的有限級整函數,g為零級超越整函數.

4.定理2.1的證明

證假設f(z1,z2)為方程(1.6)的有限級超越整函數解.令

其中u,v為整函數.則方程(1.6)可寫成以下形式

現對以下兩種情況進行討論.

結合(4.3),(4.4)得

由(4.5)可知

利用初始條件:z1=0,z2=s,f(0,s)=?(s),其中?(s)是含s的參數表達式.根據(4.5)特征方程的參數表達式z1=t,z2=-t+s得到

其中?(s)是有限級超越整函數.再結合z1=t,z2=-t+s得

根據(4.3),(4.4)得到k2=0,k1=±1.由(4.7)式得

將(4.8)代入(4.3)或(4.4)得

由(4.8),(4.9)式得

其中b0∈C.

其中

由(4.11),(4.12)得

由于u,v是超越的,故p(z)不是常數,且

其中b0∈C.由(4.13)可知

利用初始條件:z1=0,z2=s,f(0,s)=φ0(s),其中φ0(s)是含s的參數表達式.根據(4.13)特征方程的參數表達式z1=t,z2=-t+s得

其中φ(s)是有限級超越整函數,且

再結合z1=t,z2=-t+s得

將(4.18)代入(4.11)或(4.12)中得到

由(4.18),(4.19)式得到

其中b0,η ∈C.

綜合情形1和情形2,定理2.1證畢.

5.定理2.2的證明

證假設f(z1,z2)為方程(1.7)的有限級超越整函數解.類似定理2.1的證明,令

其中u,v為整函數,則方程(1.7)可寫成以下形式

現對以下兩種情況進行討論.

結合(5.3),(5.4)得到

另一方面,由(5.3),(5.4)得

根據(5.3)與(5.6)得

由(5.7)式可知f√(z)為常數,因此在該情形下方程無超越整函數解.

由(5.8),(5.9)得

另一方面,根據(5.8),(5.9)得

由(5.10),(5.11)得

同理可知u,v是超越的,由上述式子可得

設degPz1=m,若m ≥2,則(5.13)式左邊階數不為0,右邊為常數,矛盾.因此m ≤1.若m=0,則(5.13)式左邊為0,右邊為常數不等于0,矛盾.因此得到m=1,則=0.于是(5.13)可寫成

根據(5.14)得到

綜合情形1和情形2,定理2.2證畢.

6.定理2.3的證明

證假設f(z1,z2)為方程(1.8)的有限級超越整函數解.類似定理2.1的證明,令

其中u,v為整函數.則方程(1.8)可寫成以下形式

現對以下兩種情況進行討論.

結合(6.3),(6.4)得到

根據(6.3)與(6.6)得

由(6.7)可知

利用初始條件:z1=0,z2=s,f(0,s)=ψ(s),其中ψ(s)是含s的參數表達式.根據(6.7)特征方程的參數表達式z1=t,z2=t+s得

其中ψ(s)是有限級超越整函數.再結合z1=t,z2=t+s得

再根據(6.3)得k2=0,k1=±1.由(6.9)式得

將(6.10)代入(6.3)或(6.4)得

由(6.12),(6.13)得

由(6.12),(6.15)得

另外由(6.15)對z1求偏導,再結合(6.14)得

同理可知u,v是超越的,由上述式子可得

同理得到p(z)具有以下形式

其中b0∈C.由(6.16)得

利用初始條件:z1=0,z2=s,f(0,s)=φ1(s),其中φ1(s)是含s的參數表達式.根據(6.16)特征方程的參數表達式z1=t,z2=t+s得

其中φ2(s)是有限級超越整函數,且φ2(s)滿足

根據(6.20)得到

將(6.21)代入(6.12)或(6.13)中得到

由(6.21),(6.22)得到

其中b0,η ∈C.

綜合情形1和情形2,定理2.3證畢.