一類帶有非線性阻尼項的磁流體動力學方程組的解的整體存在性

李林銳 ,洪明理 ,鄭琳

(1.防災科技學院基礎部,河北 三河065201 2.華北水利水電大學數學與統計學院,河南 鄭州 450046)

1.引言

本文將考慮如下帶有非線性阻尼項的不可壓縮磁流體動力學方程組的初始值問題

其中u表示流體的速度場,b表示磁場,流體的速度場u和磁場b是二維的自由散度場,p表示壓力,ν ≥0表示流體的粘性系數,κ ≥0表示磁場的擴散系數,阻尼項系數a>0和指標函數α>1,阻尼項一般來自于流體運動對外力的抵抗,可以描述諸如多孔介質的流體的運動,摩擦力和拖拽力以及一些耗散項對流體運動的影響等[1-4].當a=0 時,系統(1.1)退化成常規意義下的磁流體動力學方程組,該系統是流體力學的基本宏觀模型之一,已經得到廣泛而深入的研究[2-6].系統(1.1)中第一個方程表示動量守恒方程；第二個方程是電磁感應方程,這個方程組描述了電場和磁場的耦合作用.磁流體動力學偏微分方程組(magnetohydrodynamics,簡稱MHD方程組)描述了導電流體在電磁場中運動的狀態,在空氣動力學、天體物理、地球物理以及宇宙等離子物理學等領域具有非常重要的應用,與其相關的漸近極限問題因其物理背景的重要性、復雜性,其數學方面的挑戰性,吸引了許多知名數學家和物理學家的研究興趣,同時也取得了很多很好的結果.基本的數學問題比如解的適定性問題、整體正則性和解的爆破性有很多深入的研究和結果,在多孔介質中帶有非線性阻尼項的磁流體動力學模型更多的物理背景可參見文[7-9,14-15].

顯然,當方程組中的磁場b=0時,系統(1.1)退化成帶有非線性阻尼項的不可壓的Navier-Stokes方程.近些年,帶有非線性阻尼項的Navier-Stokes方程吸引了很多國內外專家學者的關注[5-10,18].蔡曉靜和酒全森[5]研究了帶有阻尼項a|u|α-1u(a>0)的Navier-Stokes方程弱解和強解的整體存在性,證明了當α≥時強解的整體存在性和≤α ≤5時強解的唯一性;隨后,張族錦等[6]將α的下界降低到3,這個下界3具有重要的關鍵性作用也在文[7]中被周勇得到證實.受到這些文獻的啟發,我們將關于帶有阻尼項的Navier-Stokes的解的適定性問題推廣到帶有阻尼項的磁流體動力學方程組.在先前相關的磁流體動力學方程組的研究工作中,更多的專家學者聚焦于不帶有非線性阻尼項或者只帶有部分粘性項或者部分磁擴散項的廣義的磁流體動力學方程組解的存在性和唯一性證明,其中陳文吉、章志飛和周建豐[11]研究了在周期性區域上帶有部分粘性擴散項的三維磁流體動力學方程組在初始速度充分小和初始磁場接近于背景磁場并且滿足Diophantine條件時的解整體適定性;潘榮華、周憶和朱憶[12]在歐拉坐標系下利用帶有時間權函數的能量估計方法研究了在初始磁場接近于平衡狀態下并且初始條件具有某種對稱性條件下三維磁流體動力學方程組不帶有磁擴散項的磁流體動力學方程組的古典解的整體存在性;吳家宏和翟曉平[13]研究了帶有真空的非電阻的可壓的三維磁流體動力學方程組的柯西問題下局部強解的存在性,并首次給出了三維磁流體動力學方程組在磁場滿足Diophantine條件下磁場接近于背景磁場時的解的整體存在性和穩定性;Titi和Trabelsi[15]解決了在多媒介質通道中三維磁流體動力學方程組的解的適定性問題.綜合以上分析,在本文中我們將研究在多孔介質意義下的一類帶有非線性阻尼項的不可壓的磁流體動力學方程組的解的整體存在性問題,由于磁流體動力學方程組有磁場的耦合作用,在用能量方法的過程中計算更復雜也更富有挑戰性,在計算過程中會出現新的問題、難度更大,面對的困難也將更多.同時,在文[15]中作者證明了同時包含速度場方程和磁場方程中的帶有兩個非線性阻尼項下的磁流體動力學方程組的強解的存在性,在本文中我們并不需要額外的磁場方向的阻尼項就獲得了解的存在性,此外,也給出了弱解的存在性,這同時也推廣了文[15]中的相關結果.

2.整體存在性結果

對于帶有阻尼項的磁流體動力學方程組,首先給出方程組弱解的定義:

定義1如果(u,b,p) 滿足下列三個條件：

3) (x,t)∈R2×(0,T),都有?·u(x,t)=?·b(x,t)=0成立.

本文主要結果如下:

定理1假設初始條件(u0,b0)∈L2(R2)×L2(R2)且滿足divu0=divb0=0,令a,ν,κ>0且α ≥1,則帶有非線性阻尼項的磁流體動力學方程組(I)有整體弱解(u(x,t),b(x,t))滿足

進一步地,也可以得到帶有非線性阻尼項的磁流體動力學方程組的強解,結論如下:

3.預備知識

首先我們給出一些在證明過程中用到的引理:

引理1[8]若f,g ∈Hk ∩L∞,則

當|α|≤k時,有

如果F是光滑函數并且F(0)=0,則對于任意的f∈Hk ∩L∞,有

引理2[16](Agmon’s不等式) 若u ∈H2(?)∩H01(?),? ∈R2,則存在常數C使得

引理3[17](Gagliardo-Nirenberg不等式) 若f(x)是定義在R2上的光滑函數,如果1≤q,r ≤∞,m是自然數,假設實數α和自然數j滿足

其中s>0是任意數,并且常數C1和C2僅僅依賴于?,m,j和s.

4.定理的證明

為了證明帶有非線性阻尼項的磁流體動力學方程組弱解的整體存在性,首先用Faedo-Galerkin近似方法去獲得近似解的局部存在性,這一部分方法很經典,可以參考文[8]中關于Navier-Stokes方程近似解的相關步驟,在此我們不在贅述.我們僅需要獲得關于解的一致先驗估計去延拓局部解到整體解,并最終應用Aubin緊性原理由近似解的先驗估計獲得原始系統整體解的存在性.下面將通過以下幾個步驟分別獲得解的先驗估計從而給出定理的證明.

定理1的證明步1 (u,b)的L2估計

對(1.1)的第一個方程兩邊同時乘以u(x,t),然后在R2上積分可得

對(1.1)的第二個方程兩邊同時乘以b(x,t),然后在R2上積分可得

將上式(4.1)和(4.2)式相加可得,

將上式(4.3)式從0到t上積分可得

在上面最后的兩個式子中分別令(4.5)、(4.6)式子中t →+∞,則有

由上面的能量估計可得

進一步地,應用H¨older不等式和Young不等式,可得

利用Poincar′e不等式,(4.2)式可變形為

通過Gronwall’s引理可得,對于任意的t ≥0,

下面令η ∈(0,1),則有

將(4.16)代入(4.1)式并加上(4.2)式可得

利用Poincar′e不等式,在(4.17)式中扔掉2ν∥?u,則有

由于η ∈(0,1),從而可得

由Gronwall不等式,可得

從而可得

對式子(4.2)兩邊同時從(m,t)上積分可得

在(4.22)中不等式左邊是有界的并且是關于時間t是單調的,首先令t →∞,然后令m →∞,則可以得到:

步2 (u,b)的H1估計

在(1.1)的第一個方程兩邊同時乘以-?u,并在R2上分部積分可得

另一方面,由于α>3,利用H¨older不等式和Young不等式可得

對于(4.24)式右邊最后一項利用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式可得

在上面式子中最后兩步的估計式中用到引理3中的Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式.

接下來,在(1.1)中第二個方程兩邊同時乘以-?b并在R2上積分可得

下面估計(4.28)式子右邊的第一項,通過分部積分可得

綜合上式可得

下面類似于在(4.28)式右邊第二項的估計可得

聯合(4.24)-(4.31)可得

應用Gronwall不等式,通過上面式子(4.31)可得

綜合上面的能量估計式(4.9)、(4.10)、(4.14)、(4.21)、(4.23)和(4.34)式可知,定理1得到證明.

定理2的證明首先對(1.1)的第一個方程兩邊同時乘以?tu并在區域R2上積分可得

對于(4.35)式左端第二項和第三項分別有估計式

將(4.36)、(4.37)式分別代入(4.35)式可得

兩邊同時關于時間t積分可得

利用Young不等式可以估計

同理可估計

在上面最后一步應用到引理2中的Agmon不等式.

由于上面的估計式(4.32)可得

將上式(4.42)代入(4.38)式可得

下面用同樣的方法證明?tb ∈([0,+∞),L2(R2)).

對(1.1)式的第二個方程兩邊同時乘以?tb并在區域R2上積分可得

對(4.44)式兩邊從0到t上積分可得

再次應用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式可得

對于上式中左邊第二項,利用Stroock-Varopoulos不等式可得

另一方面,對于上式中右邊的項,估計式如下:

聯合(4.49)、(4.50)和(4.51)式,并代入(4.48)式可得

由于先驗估計式(4.6)可知u ∈Lα+1([0,+∞);Lα+1(R2)),從而有

注由于系統(1.1)為同時具有粘性項、磁耗散項和非線性阻尼項的磁流體動力學方程組,因此現有文獻如文[18–21]中定理都不適用于系統(1.1),從而說明本文的定理推廣、改進且豐富了現有文獻中關于磁流體動力學方程組的結果,尤其是完善了之前相關文獻中的一些數值分析結果,為磁流體動力學的發展和持續研究提供了理論依據.