二維不可壓縮Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程組的全局強解

劉楠,任永華,張建文

(太原理工大學數學學院,山西 晉中 030600)

1.引言

本文考慮如下不可壓縮Navier-Stokes-Landau-Lifshitz耦合模型:

其中? ∈R2為光滑有界區域,其邊界為??,ρ=ρ(x,t),u=(u1,u2)(x,t)以及P=P(x,t)分別代表密度函數,速度函數,壓強函數,d=(d1,d2)(x,t)表示宏觀分子取向力,(1.1)中的項?d ⊙?d表示一個2×2的矩陣,其第i行j列元素可表示為?id·?jd(1≤i,j ≤2).(1.1)的初邊值條件如下所示:

其中v是??上的單位外法向量.(1.1)是不可壓縮的Navier-Stokes和Landau-Lifshitz方程耦合而成的.若u=0,則(1.1)3為Landau-Lifshitz方程;當d為一個常值向量時,(1.1)1、(1.1)2以及(1.1)4是不可壓縮的Navier-Stokes方程;若(1.1)中省略d×?d,則(1.1)是向列相液晶方程.Navier-Stokes方程反映了粘性流體流動的基本力學規律,在流體力學中有十分重要的意義,Landau-Lifshitz方程是描述磁性物質動態磁化現象的方程,對非平衡態磁學的研究起著十分重要的作用,而這兩個方程進行耦合之后的系統可以用來描述磁體磁化的色散理論.Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程目前已經被許多作者在不同角度研究過,其中DUAN和ZHAO[1]在(ε>0)足夠小的條件下,證明了三維不可壓縮的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程柯西問題解的全局適定性;FAN等人[2]利用精細的估計,得到了Besov空間以及乘子空間中Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程光滑解的正則性準則;WANG和GUO[3]通過Faedo-Galerkin近似以及弱緊性理論證明了二維空間中不可壓縮的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程弱解的存在唯一性.

貫徹于全文,采用如下簡記的空間記號:

本文主要結論如下:

定理1.1對常數q ∈(2,∞),假設初始數據(ρ0,u0,d0)滿足

此外,假設以下初值條件成立:

那么對任何0

2.預備知識

引理2.1[4]假設初值(ρ0,u0,d0)滿足條件(1.4),則存在一個正時間T,使得問題(1.1)–(1.3)在?×(0,T)中有唯一強解.

引理2.2[7](Gagliardo-Nirenberg不等式) 對于任意q ∈[2,∞),r ∈(2,∞)以及s ∈(1,∞),假設f ∈H1(R2)以及g ∈Ls(R2)∩D1,r(R2),則存在依賴于q、r以及s的正常數C,滿足如下

接下來給出Stokes方程的正則性性質:

引理2.3[8]假設F ∈Lr(?),1

引理2.4[9]設(ρ,u,d)為問題(1.1)-(1.3)在(0,T)上的強解,假設0≤ρ ≤則

3.先驗估計

引理3.1設(ρ,u,d)為系統強解,(ρ0,u0,d0)滿足初值條件(1.4)以及(1.5),則存在正常數C使以下成立:

證由最大值原理、方程(1.1)1、以及方程(1.1)4可得

本文假設m ≥1,則

1) 用u與方程(1.1)2做向量積,然后在R2上積分,利用分部積分與方程(1.1)4可得

2) 用-?d-|?d|2d與方程(1.1)3做向量積,并且在R2上積分可得

則由式(3.5)以及(3.6)可知,式(3.4)可寫為

將式(3.3)和(3.7)相加,并在[0,T]上積分,由Gronwall不等式可得

另一方面,由于

結合式(3.9)以及(3.10)可得

則(3.13)對t積分并由Gronwall不等式可得

則(3.1)成立.

推論3.1對任意t ∈[0,T],有以下成立:

證首先由式(3.1)以及(3.2)可直接得到

再對方程(1.1)3應用L2估計,并借助H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)以及式(3.16)可得

再次借用式(3.1)可得

則式(3.15)可直接得到.

引理3.2設(ρ,u,d)為系統(1.1)強解,且初始數據(ρ0,u0,d0)滿足條件(1.4)以及(1.5),則存在正常數C使以下成立:

證

1) 用ut與方程(1.1)2做向量積并在R2上積分可得

由式(3.2)、Holder不等式以及Gagliardo-Nirenberg不等式,可得

將(3.22)代入(3.21)中,且根據young不等式以及式(3.1)可得

由引理2.4以及式(3.23)可得

2)對方程(1.1)3作用?,再乘-??d,并在R2上積分可得

則由Gagliardo-Nirenberg不等式以及式(3.1)可得

式(3.26)與(3.24)相加,取ε足夠小可得

則由式(3.27)可得

滿足m(t)′≤Cm(t)n(t)+Cm(t)n(t)logm(t),則

則由式(3.28)、(3.1)以及Gronwall不等式可得

接著式(3.27)對t積分,并由式(3.29)以及(3.1)可得

最后由式(3.17)以及(3.29)可得

則(3.18)可由式(3.29)、(3.30)以及(3.31)得到.

引理3.3由式(2.2)、(3.1)以及(3.18)有下式成立:

一般來說，體育小鎮的空間布局由點、軸、網和域等4個基本要素構成，這4個要素不是簡單意義的空間形態，而是有著特定內涵和功能的區域[5]，每一要素的內涵及布局要求如表1所示。

引理3.4設(ρ,u,d)為(1.1)強解,且(ρ0,u0,d0)滿足初始條件,則存在依賴T的正常數C使以下成立:

證1) 對方程(1.1)2關于t求導,可得

用ut與(3.34)做向量積,并在R2上積分,由方程(1.1)1以及式(1.1)4可得

現對Ii進行估計,由H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)、(3.15)以及式(3.18)可得

將以上估計式代入式(3.35)中可得

2) 對方程(1.1)3關于t求導,可得

用-?dt與方程(3.37)做向量積,并且在R2上積分可得

現對Mi進行估計,通過H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)以及式(3.18)可得

將以上估計式代入式(3.38)并與式(3.36)相加,取ε足夠小可得

由式(3.1)、(3.18)、(3.22)以及式(3.32)可得

式(3.39)乘以t并對T積分,再由Gronwall不等式、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.40)可得

3) 對方程(1.1)3關于t求導可得

用dtt與上面的方程做向量積,并R2在上積分可得

現對Ji進行估計,利用H¨older不等式、Cauchy不等式、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.41)可得

將Ji的估計式代入(3.42)再乘以t,并由式(3.15)、(3.18)以及(3.41)可得

4) 對方程(1.1)3作用?,再乘以??d,由(a×b)·b=0、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.41)可得

則由式(3.18)以及式(3.41)可得

最后由式(3.22)、(3.18)、(3.32)、(3.44)以及式(3.41)可得

則式(3.33)可由式(3.41)、(3.43)、(3.44)以及式(3.45)得到.

引理3.5對定理1.1中q ∈(2,∞),存在一個正常數C,使得對任意r ∈[2,q),有以下成立

證1) 由引理2.3、Sobolev不等式、式(3.1)、(3.18)、(3.44)以及式(3.45)可得

因此,由式(3.33)可得

2) 根據Stokes方程的正則性理論、H¨older不等式以及Gagliardo-Nirenberg不等式可得

式(3.48)對t積分,并由式(3.18)、(3.33)、(3.40)以及式(3.1)可得

顯然?ρ滿足如下方程

用q(?ρ)q-1與其做向量積,并在R2上積分且由方程(1.1)4可得

則結合Gronwall不等式以及式(3.49)可得

再次利用方程(1.1)1可得

由式(3.50)以及式(3.18)可得

則(3.46)可直接由式(3.47)、式(3.50)、以及式(3.51)可得.

4.定理1.1的證明

證由引理2.1知,存在T?>0使(1.1)-(1.3)在[0,T?]有局部唯一強解(ρ,u,d),因此為了證明定理1.1,只需要證明局部解可以擴展到全局解即可.

否則,若T?<∞,由引理3.1-3.5可知,在t=T?時,(ρ,u,d)滿足初始條件,因此,引理2.1意味著可以存在T??>T?使(ρ,u,d)作為(1.1)-(1.3)的強解可以擴展到T?外,與(4.1)矛盾,故(4.2)成立.