一類基于等級結構的n維食物鏈系統最優收獲

賀亞權,雒志學

(蘭州交通大學數理學院,甘肅 蘭州 730070)

1.引言

近些年來,有關生物種群的最優收獲控制問題一直被人們廣泛研究[1-12,14],其中所具有的實際意義無疑是重大的.因為研究生物種群的合理開發與科學管理,可以促進我們人類文明的發展進步.

如今,人們也已把生物種群作為可再生資源進行開發,這樣一來,種群內部的個體年齡分布就會對實際的經濟收益造成直接影響.就以養殖業為例,一般年幼的和太老的都不太值錢;而對于處在適當年齡間段的生物,通常情況下,其食用和營養價值都很高,但這些成熟個體也都是由未成熟的個體花費較長時間長成的.而這種情形在控制理論的領域當中,就已經是一類有關初始分布的最優控制問題,其中的控制變量就是這一種群的初始年齡分布.因此,我們可以通過適當地調整種群的初始狀態,并且在培養一段時間后,就能成功獲得最大收益.

為此,我們就需要精細刻畫生物種群的演化行為.而為了精細刻畫生物種群的發展與演化,常常在建模的時候就要考慮個體間所存在的各種結構性差異抑或是種群間的一些復雜關系,比如在個體間,就會討論研究年齡、尺度、空間位置等特征差異,再比如在生態環境中的某一生物群落系統里,就會考慮研究各種群間競爭、互惠、捕食等的復雜關系.此外,還有在每一個種群的內部存在以個體的年齡為基礎的社會等級地位差異,這也不難理解,例如在獅群中就有類似的現象.

現今在不斷發展的情況下,種群內部的等級地位差異也已經被納入到個體的生命參數里,就產生了具有等級結構的生物種群模型.相關方面已經有的工作可參見文[1-2,4-5].這些成果大多比較關注種群的動態演化與控制,比如文[2]中的等級結構模型就為兩種群捕食系統模型建立了最優控制;又比如文[10]里的生物模型研究的是非線性種群年齡等級結構的最優收獲問題;再比如文[14]研究了連續的單種群的年齡等級結構,并且討論了系統的最優收獲問題,確立了最優控制問題解的存在性,還得出了最優問題的一階必要條件.

本文將考慮如下最優控制問題:

在上述系統中,xi(a,t)表示t時刻年齡為a的第i個種群的種群密度,函數mi,μi和βi分別表示種群i中個體的密度制約,平均死亡率和繁殖率;ri(E(xi-1)(a,t),fi((E(xi+1)(a,t))分別表示在食物鏈當中食餌對捕食者的增長貢獻率,捕食者對食餌造成的額外死亡率.

其中需要說明內部環境E(xi),它的定義如下:

常數αi表示對第i個種群中年齡大于a的個體的折扣系數,表達了比年輕個體較弱的競爭力.

2.解的適定性

定義2.1系統(1.1)的解為:

它在幾乎每條特征線a-t=c(c為常數)上絕對連續且滿足

下面,我們將利用壓縮映射原理證明系統(1.1)解的適定性.

將系統(1.1)中函數參數μi,mi,βi,fi里xi固定為非負函數qi,i=1,2,···,n.由此可得以下的線性系統:

由文[12]的線性理論可知,上述系統(2.1)有解.并利用特征線方法可得

其中i=1,2,···,n;s ∈(0,min{a,t})以及

利用(2.2)和系統(2.1)中的方程,再經過適當的變量替換可得

而在(2.4)中函數Fi與Ki定義如下:

其中c=min{a+,T}.

以下只處理T>a+情形,相反的情況可用類似的方法證明.

從假設(A1)-(A4)可推得

其中∥(v1,v2,v3)∥=∥v1∥+∥v2∥+∥v3∥.

接下來我們引入兩個引理.

在區間(0,T)上幾乎處處成立.

證對任意qk,k=1,2,由(2.5) 可知: 若t ∈(a+,T),則Fi(t;qk)≡0,此刻(2.7)自然成立.

若t∈(0,a+),則由(2.5)可推出

由內部環境E(xi)的定義,可有

再利用上式以及Gronwall不等式可有

上述引理處理了i=2,3,···,n-1的情形,但對于i=1,n的情況依然可用類似的方法證明出來,并且更簡單.

并在此基礎上,定義如下映射:

其中

這表明,t ∈(0,a+),有(2.10)成立;t ∈(a+,T)時,類似可證.

定理2.1如果(A1)-(A4)成立,則系統(1.1)存在唯一解,且該解非負有界.

證令λ>M4T,在q=(q1,q2,···,qn)∈[L1((0,a+)×(0,T))]n空間內定義如下范數:

故G為空間([L1((0,a+)×(0,T))]n,∥?∥?)上的壓縮映射.因此,根據Banach不動點定理,該映射存在唯一的不動點,即為系統(1.1)存在唯一解.

另一方面,易得該解不僅非負,而且有界.證畢.

有以下幾點注意:

注1現在我們已經確立了系統(1.1)解的適定性.即對于任意給定的u=(u1,u2,···,un)∈U,若假設(A1)-(A4)成立,則系統(1.1) 在QT上存在唯一的非負有界解

注2(A1)-(A3) 中函數mi,βi,μi的單調性體現的是種群內部的密度制約,而函數ri,fi的單調性表現的是多種群之間捕食與被捕食的關系.

注3(A2) 表達了種群的自然死亡率μi(a)局部有界,但在最大年齡值處無界,這點與最大年齡有限相匹配.

注4xi(a+,t)=0,t>0,i=1,2,···,n.

之后為避免混淆,使用下列記號:

3.最優解的存在性

在證明最優解的存在性之前,還需要引入以下引理.

由注1,2和假設(A1)-(A3)可知

下面引用Fr′e chet-Kolmogorov定理[13]來證明引理3.1.

下證明控制問題最優解的存在性.

定理3.1問題(OH)至少有一個最優控制.

并且根據引理3.1,當m →∞時,還有

對任意固定的(a,t)∈QT,取函數(i=1,2,···,n),

根據弱解的唯一性[3],有x?=成立.即有E(x?)=

因此,不等式(3.1)可變為

4.最大值原理

證明最優解的一階必要條件之前,需要引入以下引理.

引理4.1系統(1.1)-(1.2)的解xu ∈(L∞(QT))n關于控制變量u在(L∞(QT))n中連續.

對于該引理的具體證明,可采用類似文[14]的方法.

下證控制問題最優解的一階必要條件.

定理4.1如果(u?,x?)是(OH)的最優對,則有

這里q=(q1,q2,···,qn)為下列共軛系統的解.

其中,i=1,2,···,n,

證系統(4.2)解的適定性,可由標準證明[3]證得.并且用NU(u?)表示[L∞(QT)]n中U在u?處的法錐.

對任意v=(v1,v2,···,vn)∈ΓU(u?)(集合U在u?處的切錐),都有任意足夠小的ε>0,使得uε:=u?+εv ∈U,故

故當ε →0+時,并運用引理4.1,有

的解.

上述系統解的適定性可用類似于文[14]的方法證明.

在(4.4)1兩邊同乘以qi并在[0,T]×[0,a+]上進行積分,我們得到:

現在再利用(4.3)和(4.13)又有下式成立:

考慮到NU(u?)的結構可得:

且對任意v ∈ΓU(u?)均成立.即等價于(4.1),即證.

5.結論

本文研究了一類具有年齡等級結構的n維食物鏈種群系統的最優收獲問題,首先研究了該系統解的存在唯一性以及非負性;其后又運用了緊性定理和Mazur定理證得了控制問題最優解的存在性;最后還通過構造共軛系統和利用法錐的概念,得出了最優控制問題解的一階必要條件.因而,本文的結論更具有普遍性,并且是對于文[2]的總結.