含奇異勢和記憶項的四階拋物方程解的整體存在性與爆破

杜欣蕾,楊晗

(西南交通大學數學學院,四川 成都 611756)

1.引言

本文考慮如下具有奇異勢項和記憶項的四階拋物方程的初邊值問題

其中? ∈RN(N>2)是一個具有光滑邊界的有界域,ν是??上的單位外法向向量.參數p,q,s滿足

g為R+上的非負函數滿足以下約束條件

近年來,許多學者致力于對拋物方程初邊值問題的研究[1-5].文[1-3]研究了如下具有任意初始能量的四階拋物方程的初邊值問題

當p,q滿足以下條件時

文[1]在亞臨界和臨界初始能量下,由Faedo-Galerkin方法結合修正的勢阱法得到了問題(1.4)的整體解u并建立了∥u∥2的衰減估計,用凸方法證明了問題(1.4)的解在有限時刻爆破.在超臨界初始能量下,利用微積分不等式分別得到問題(1.4)的解的整體存在性和有限時刻爆破的充分條件.文[2]利用微分不等式研究了問題(1.4)在亞臨界初始能量下∥u∥2,∥?u∥2,∥u∥q+1以及能量泛函的指數衰減.文[3]通過構造輔助泛函得到問題(1.4)在亞臨界和臨界初始能量下解在有限時刻爆破的閾值結果.

對于含有記憶項的四階拋物方程,文[4]研究了如下方程的初邊值問題

在ρ ≥1,β=γ=1,p>1,f(u)=|u|p-1u且g(t)滿足約束條件(1.3)時,討論問題(1.5)的解的整體存在性及爆破.當初始能量有正上界時,采用Faedo-Galerkin方法得到問題的整體解,利用不等式放縮得到能量泛函指數衰減.當初始能量為負或初始能量非負有上界時,通過構造輔助泛函得到問題(1.5)的解在有限時刻爆破并估計了爆破時間上界.

文[5]研究了如下含奇異勢的二階擬拋物方程的初邊值問題

其中0≤s ≤2,2

據作者所知,關于含奇異勢且具有記憶項的四階拋物方程相關問題鮮有研究.因此,本文考慮初邊值問題(1.1)在不同初始能量下解的整體存在性及爆破.利用Sobolev嵌入定理結合Hardy-Sobolev不等式克服奇異勢項|x|-sut帶來的困難.根據Aubin-Lions緊性定理得到非線性項的收斂性,于是,由Faedo-Galerkin方法得到問題(1.1)的整體解,利用微分不等式得到能量泛函的衰減估計.隨后,根據凸方法及構造輔助泛函得到問題(1.1)的解在不同條件下的爆破結論.

本文結構安排如下:第二節引入相關符號以及證明文章主要結論所需公式引理;第三節給出問題(1.1)的整體解及能量泛函的衰減估計;第四節證明解的爆破.

2.預備知識

對于上述定義,成立如下引理.

引理2.1若g(t)滿足約束條件(1.3),則E′(t)<0.

證對問題(1.1)第一式兩邊同時關于ut做內積,利用分部積分法并結合g(t)的性質易證.

引理2.2(穩定集引理) 令參數p,q,s滿足約束條件(1.2),則當u0∈W且0

證此引理的證明與文[10]引理2.8類似,此處略去.

引理2.3(不穩定集引理) 令參數p,q,s滿足約束條件(1.2),則當u0∈V且E(0)<θd(0<θ<1)時,有

(i)對t ∈[0,T],有u(x,t)∈V;

(ii)關于d成立如下估計式

證(i)的證明方法參見文[10]引理5.1.下證(ii).

根據E(u(t))的定義(2.1)可知

為說明本文主要結論,還需借助如下引理.

引理2.5[7-8]假設ψ(t)∈C2[0,T) 是一個非負函數滿足ψ′(0)>0,ψ(0)>0以及

其中0

且當t →T-時有ψ(t)→∞.

3.解的整體存在性

本節采用Faedo-Galerkin方法證明問題(1.1)解的整體存在性,利用引理2.6建立能量泛函的衰減估計.在給出主要定理之前,首先介紹弱解的定義.

下面給出本節主要結論.

定理3.1假設參數p,q,s滿足約束條件(1.2),函數g(t)滿足(1.3),u0∈W,0

此外,若存在正的可微函數ζ(t)使得

則能量泛函E(t)滿足如下衰減估計

證首先證明弱解的整體存在性.令{ωi(x)}表示(?)空間中的一組標準正交基,于是在(?)中構造問題(1.1)的近似解為

其中ξim是一組給定常數.當m →∞時,有

根據Peano定理可知問題(3.5)局部解的存在性.下面進行先驗估計.

回顧性質(1.3)顯然有

由此易知能量不等式(3.2)成立.將(2.3)代入(3.6),即

由引理2.2,對足夠大的m以及0≤t

利用(3.11)可得如下估計

其中dim(?)表示?的直徑.

根據一致性估計(3.8)-(3.12)易知該局部解可延拓為整體解,并且對任意T>0有

于是由(3.13)第二、第五式結合Aubin-Lions緊性定理有

于是χ=|?u|p-2?u,?=|u|q-2u.

為說明對任意T>0,上述u是問題(1.1)的一個弱解,令函數? ∈C1([0,T];(?))具有如下形式

在(3.18)中令m →∞,由收斂關系(3.13)有

接下來估計能量泛函的衰減速率.

對問題(1.1)第一式兩邊同乘ζu并在?×(T0,T?)(?T?>T0)上進行積分

代入(3.20)整理得

對等式(2.1)兩邊同乘2ζ并在(T0,T?)上積分之

將(3.21)代入(3.22)整理得

下面分別對(3.23)右端項進行估計.

回顧(2.8)并利用Young不等式可知

對(3.2)兩邊關于時間求導可得

根據(2.3),顯然成立

將(3.25)-(3.26)代入(3.24)有

利用g(t)的性質并結合(3.3)易證如下估計

由Young不等式結合(3.26),(3.28)可得

將(3.27)-(3.28)及(3.30)-(3.32)代入(3.23)計算得

于是對足夠小的σ,存在c>0使得

根據引理2.6,由T?的任意性易知(3.4)成立.

4.解的爆破

本節研究問題(1.1)的解在E(0)<0及E(0)<θd,I(0)<0時的爆破.為說明主要結論,需引入有限時刻爆破定義.

定義4.1(有限時刻爆破) 令u是問題(1.1)的一個弱解,若存在T<∞使得則稱u在有限時刻T爆破.

下面給出本節主要定理.

定理4.1令u是問題(1.1)的一個弱解,參數p,q,s滿足約束條件(1.2),函數g(t)滿足條件(1.3)且0

其中L(t)見定義式(4.1).

證定義泛函

其中λ1>0,λ2>0.

對(4.2)式求一階導

由Schwartz不等式和H¨older不等式易知

對(4.2)求二階導,

定理4.2令u是問題(1.1)的一個弱解,參數p,q,s滿足限制條件(1.2),函數g(t)滿足約束(1.3)且滿足

則當u0∈V,E(0)<θd(0<θ<1)時,u在有限時刻T處爆破,且

其中ι為正常數在證明中給出,κ見定義(4.10)式.

證構造泛函

由L(t)的定義(4.1)式結合Young不等式有

由E(t)的定義(2.1)式可知

將(4.9)代入(4.8),回顧引理2.3

因為N>s,所以有如下關系式成立

其中ι為正常數.于是

對(4.12)兩邊從0到t進行積分,計算得

則根據(4.13),當t →T-時有L(t)→∞.