橫向振動立管上升流中球形單顆粒運動特征1)

魏明珠 段金龍 王 旭 周濟福 ,

* (中國科學院力學研究所流固耦合系統力學重點實驗室,北京100190)

? (中國科學院大學工程科學學院,北京 100049)

引言

近年來,隨著陸地礦產資源的枯竭,人們把目光投向深海.深海中蘊含著豐富的多金屬結核、富鈷結殼、熱液硫化物等金屬礦產資源[1].開發這類礦產資源具有非常重要的意義.本研究著眼于深海海底錳結核的開采,開采系統示意如圖1.分布在幾千米深海海床上的錳結核被采礦車收集,并破碎成幾厘米的礦石塊,經輸運軟管、中間艙、輸運立管輸送至海面的采礦船[2].其中,用于輸送礦石的管道系統會受到波浪和海流的作用發生振動響應[3-6].當管道振動劇烈,并且礦石顆粒與管道流體的密度比較大[1-2]時,顆粒必然滯后于管道的運動,管道系統內的礦石顆粒會與管壁發生碰撞,必然導致管道內礦石的運動更加復雜[7].

圖1 深海采礦系統示意圖Fig.1 Sketch of the deep-sea mining system.

目前,許多學者對靜止管道上升流中顆粒的運動特征進行了廣泛的研究,主要分析管道內流場、顆粒密度和顆粒尺寸等對顆粒運動行為的影響.如Segré等[8]試驗觀測了顆粒與流體密度比β=ρp/ρf(ρp為顆粒密度,ρf為流體密度)接近1.0 的懸浮顆粒在管道Poiseuille 流中的運動特性[9-16],發現顆粒群總在距離管道軸線2/3 的位置處聚集,隨后更多的學者研究并驗證了該現象.Feng 等[9]和Fox 等[10]對平面剪切流中大密度差顆粒的運動特性進行了研究,發現顆粒的橫向運動受密度比的影響較大.并且Liu 等[11]對密度比β介于1.1 和4.0 之間的單個球體顆粒在管道Poiseuille 流中的運動軌跡進行了研究,通過分析球體尾渦結構解釋了不同密度比的顆粒運動軌跡差異較大的原因.另外,Matas 等[12-14]和Bai 等[15]研究發現顆粒與管道直徑比λ=d/D(其中d為顆粒直徑,D為管道直徑)對顆粒的橫向遷移運動有顯著影響:小直徑比的顆粒在更靠近管道軸線位置運動,而大直徑比的顆粒則在更靠近于管壁位置運動.在Matas 等[12-14]研究基礎上,Shao 等[16]進一步對雷諾數高達2200 的管道Poiseuille 流中不同密度比和直徑比的顆粒運動進行了研究,并分析了顆粒釋放位置對其橫向遷移運動的影響.

另外,由于管道壓降和群顆粒在管道中的堵塞等直接影響礦石輸送效率,因此,國內外很多學者研究了各種顆粒級配、顆粒尺寸和管道輸送速度對兩者的影響規律.如Zhang 等[17]重點關注了垂直管道中群顆粒運動初始階段顆粒局部濃度和速度的變化,討論了管道入口輸送速度和濃度對管道壓降和堵塞的影響.Ren 等[18]分析了顆粒尺寸和級配對群顆粒在垂直管道中發生堵塞的影響,并分析了Stp數(,其中uf和μf分別為管道中流體的速度和黏度)對顆粒間碰撞作用力和碰撞頻率的影響.Wan 等[19]分析了顆粒濃度、顆粒級配以及兩相流初始混合速度對管道內流流型和摩擦損失的影響.張巖等[20]通過分析雙尺寸顆粒群的混合及分離時的顆粒濃度變化特征、顆粒間碰撞頻率及顆粒群受力變化等,對顆粒群的分離機理進行了解釋.除上述研究外,管道中顆粒數量和顆粒形狀對其運動行為的影響也得到廣泛研究[21-23].除管道定常流中顆粒的運動特性,一些學者還對非定常流場中顆粒的受力進行了分析.黃社華等[24]對非定常無界流場中顆粒運動所受的Basset 力的特性進行了分析,并證明了高頻脈動下的Basset 力可以忽略.Michaelides等[25-27]比較了無界振動流場中Basset 力在顆粒所受總力中的占比,并討論了Basset 力可以忽略的條件:顆粒直徑大于1μm,流體振蕩無量綱頻率(其中ω表示振蕩流場圓頻率,ρp和Rp分別表示顆粒密度和半徑,μf為流體黏度)小于0.5,直徑比β<0.002 或β>0.7.這些針對靜止管道和無界非定常流場中顆粒運動的研究可以為深海采礦的發展奠定一定的基礎.

近年來,隨著深海采礦的快速發展,橫向振動管道中顆粒的運動開始引起相關學者的關注.萬初一等[28]討論了管道振動頻率與振幅、進料濃度和顆粒尺寸等對毫米級顆粒的聚集位置、管內流場特征以及管內壓降的影響.Wei 等[7]主要分析了不同顆粒初始釋放位置、管道振動頻率和幅度下,單一尺寸和密度的粗顆粒的運動特征,并給出了振動管道中顆粒運動的5 種軌跡類型.但是這些初步的研究還遠遠不能揭示深海采礦作業過程中振動管道系統內的礦石顆粒運動規律.

綜上,雖然顆粒在靜止管道或無界振動流場中運動特征已被廣泛研究,但是目前對于振動管道中顆粒運動特性的認識尚不足夠,特別是在現有的研究中,并未考慮不同顆粒與流體密度比β、顆粒與管道直徑比λ條件下振動管道中顆粒運動行為的差異性,以及由于管道振動引起的顆粒與壁面的碰撞對顆粒運動的影響.因此,有必要從機理上深入揭示不同振動參數和顆粒自身物理參數影響下振動管道中顆粒的運動特征,特別是大密度比和大直徑比對橫向振動管道中粗顆粒運動的影響規律.基于此,本文基于實際工程背景的參數,主要關注了管道振動參數、顆粒與流體密度比以及顆粒與立管直徑比對橫向振動立管中球形單顆粒運動的影響規律.

1 控制方程

1.1 顆粒運動方程

將輸送立管中礦石視為球形顆粒,暫不考慮顆粒的旋轉運動以及破碎.在立管中運動的顆粒會受到自身重力FG和流體作用力的影響.其中,流體作用力包括拖曳力FD,附加質量力FAM,浮力FB,Saffman 力FLS,壓力梯度力FP,以及Basset 力FH.因此,顆粒運動方程如下[29]

選取流體密度ρf,立管軸線處的流體速度U,以及立管直徑D為量綱單位對方程(1)進行無量綱化,得到的無量綱量如下

無量綱方程為

其中,ufi和vpi分別表示流場速度和顆粒速度,為顆粒所在位置處的流體旋度.CD,CLS和CH分別表示拖曳力系數、Saffman 力系數以及Basset 力系數.顆粒密度和流體密度分別為ρp和ρf,顆粒直徑為d,立管直徑為D,流體黏性系數為μf,立管中軸線上的流體垂向速度為U.

考慮顆粒雷諾數Rep和顆粒與立管直徑比λ=d/D對拖曳力系數CD共同影響,拖曳力系數的表達式如下[30]

其中

Saffman 力系數CLS計算如下

另外,由于立管在橫向上作簡諧振動,立管中流體為非定常運動,因此需要考慮Basset 力,其系數CH由顆粒雷諾數Rep和Strouhal 數St共同決定[31]

1.2 碰撞方程

由于顆粒與立管中流體之間存在密度差,因此顆粒并不能完全跟隨管道運動,會出現相對運動,從而導致兩者之間發生碰撞.目前,常采用的碰撞算法有兩種:軟球碰撞模型[32]和硬球碰撞模型[33].兩種碰撞模型都能計算碰撞后的顆粒速度,前者的求解過程能更好地展示碰撞過程中顆粒的速度變化,因此,本文運用軟球碰撞模型[32]計算顆粒與管壁碰撞后的速度,碰撞示意如圖2 所示.碰撞力Fcol計算如下

圖2 顆粒與管壁之間碰撞示意圖Fig.2 Schematic representation of the model of a collision between the particle and the riser wall

其中,Fn和Fτ分別表示法向和切向力.本文采用的軟球碰撞模型也被稱為彈簧——阻尼模型,彈簧表示顆粒碰撞后的彈性變形,阻尼表示顆粒碰撞后的黏性耗散.kn,kτ和Nn,Nτ分別為法向和切向的剛度系數和阻尼系數,δn和δτ為法向和切向重疊距離.相對速度Upw=vpi-Uw,其中vpi和Uw分別為顆粒速度和管壁速度,Upw,τ為相對速度的切向分量.法向單位向量n由顆粒所處管道橫截面處管道軸線坐標Pc(xc,yc,zc)和顆粒位置坐標Pp(xp,yp,zp)計算所得,其中zc=zp(顆粒所處位置的管道橫截面中心的縱坐標zc與顆粒圓心縱坐標zp相等).kn,kτ,Nn,δn和δτ表達式如下

其中,Rp為顆粒半徑,Cn,rest表示法向恢復系數,時間步長為?t.下標“eq”表示等效參數.等效楊氏模量Eeq、等效半徑Req、等效質量Meq以及等效剪切模量Geq分別有表達式如下

其中,下標p和w分別代表顆粒和管壁;E,G,M和R分別為楊氏模量、剪切模量、質量以及半徑.在碰撞中,管壁質量和半徑視為∞,因此Req=Rp和Meq=Mp.

由于顆粒和管壁之間為三維碰撞,且管壁為弧形,因此將顆粒與管壁之間的相對速度表示如下

其中,θ表示顆粒中心所在橫截面上顆粒與管軸的連線與x軸正向的夾角,如圖2 所示.vn和vτθ分別與立管半徑和顆粒在位置處的切線平行,vτz沿立管軸線z方向.

為清晰地展示顆粒運動方程(2)與上述碰撞算法的耦合求解過程,現將橫向振動立管中的顆粒運動求解流程進行詳細介紹,并繪制求解流程圖,如圖3所示.

圖3 橫向振動立管中顆粒運動求解流程圖Fig.3 A flowchart showing solving procedure of the coupling method

在圖3 中,(xp0,yp0,zp0)和(vpx0,vpy0,vpz0)分別表示顆粒的初始位置和速度.在求解顆粒速度之前,需要通過顆粒中心與管道軸線之間的距離h=和容差參數 ε (10-3～10-4)來判斷顆粒與管壁之間是否發生碰撞.

(1) 當滿足條件h>(D-d)/2– εd時,碰撞發生.用此時刻的顆粒速度(vpx(0),vpy(0),vpz(0))和立管速度(vpc(0),vpc(0),vpc(0)),通過上述碰撞算法求解碰后的顆粒速度(vpx(1),vpy(1),vpz(1)),然后將碰后的顆粒速度代入方程(2)中,求解下一時刻的顆粒速度.

(2) 當h≤(D-d)/2– εd時,碰撞未發生.此時,用變步長的4 階、5 階龍格-庫塔法求解顆粒速度.

1.3 驗證

首先,通過與Vojir 等[27]無界振蕩流場中顆粒速度的數值計算結果進行對比,驗證1.1 節和1.2 節所述計算方法的準確性.其中,流體密度為ρf=1000 kg/m3,流體黏度為 μf=0.001 Pa·s,顆粒半徑Rp=0.0001 m,顆粒密度ρp=2700 kg/m3,即顆粒與流體的密度比β=2.7.流體橫向振動速度為ufx,Amcos(2πft+φ0),其中,ufx,Am表示流場振動速度的峰值,f和φ0分別為流體振動頻率和初相位,φ0=π/2.采用單位時間tp和流場振動速度峰值ufx,Am分別對時間t和顆粒速度進行無量綱化,另外流場振動的圓頻率2πf用1/tp進行無量綱化.單位時間tp定義如下

無量綱圓頻率2πftp=1.0,10 的無界振蕩流場中顆粒橫向運動速度的數值計算結果與Vojir 等[27]的計算結果對比分別如圖4(a)和圖4(b)所示.其中,黑色散點表示Vojir 等[27]的計算結果,紅色虛線為本文的計算結果.可見,兩種頻率下,顆粒速度的波幅和相位均吻合很好.

圖4 無界振蕩流場中顆粒速度的計算結果與Vojir 等[27]的結果對比Fig.4 Comparison of particle lateral velocity with the results of Vojir et al.[27]

由于上述驗證中并未涉及顆粒與管壁碰撞,因此進一步通過與Gondret 等[34]的顆粒與容器的碰撞實驗結果進行對比來驗證所用計算模型的準確性.實驗中,直徑為3 mm、密度為 ρp=7800 kg/m3的鋼球在裝有硅油的方形管道中自由沉降,流體密度為ρf=935 kg/m3,流體黏度為 μf=0.01 Pa·s .鋼球與容器底面接觸后發生碰撞,速度反向,而后鋼球上升至最高點轉而沉降,如此反復直至鋼球速度為0.

根據Ren 等[18]和Wan 等[19]的研究,顆粒與顆粒之間碰撞持續時間約為10-5s.Wei 等[7]的分析表明,顆粒與管壁碰撞的持續時間均在3.5×10-5s 內.因此,為準確計算碰撞后的顆粒速度,時間步長設置為10-7s.鋼球的位移和速度的數值計算結果與實驗數據的對比如圖5 所示,黑色散點表示實驗數據,紅色虛線為本文的計算結果.可以看出數值結果和實驗吻合較好,4 次碰撞前后的速度誤差均在5% 以內,從而證明所發展模型的正確性.

圖5 碰撞的數值計算結果與Gondret 等[34]的實驗結果對比圖Fig.5 Comparisons of particle displacement and particle velocity between numerical results and experimental data of Gondret et al.[34]for collisions

2 結果分析

基于實際的工程背景的參數,本節主要分析立管振動頻率、振動幅度、顆粒與流體密度比,顆粒與立管直徑比等參數對橫向振動立管中顆粒運動的影響.由于本文研究的管道雷諾數約為105,處于湍流狀態,因此管道橫截面上的速度分布采用指數形式表示[35],立管中的流場速度表示為

其中,Am,f和φ0分別表示立管振動幅度、振動頻率和振動初相位,U=1 m/s 為立管軸線處的流體垂向速度.D為立管直徑,顆粒位置坐標表示為Pp(xp,yp,zp),顆粒所處立管橫截面處立管軸線坐標表示為Pc(xc,yc,zc).另外,如1.2 節所述,當顆粒與立管壁面發生碰撞時,需要兩者的材料參數計算顆粒碰后速度.在本節中,立管和顆粒的楊氏模量Ew和Ep,分別取200 和60 GPa,泊松比μw和μp分別為0.30 和0.26,法向和切向恢復系數分別為0.76 和0.70[36],摩擦力系數為0.2.本節中,流體密度和黏性系數分別為ρf=1000 kg/m3和μf=0.001 Pa·s.

需要說明的是,Wei 等[7]的研究表明顆粒初始釋放位置不影響顆粒的穩態運動,顆粒在非振動橫向(y方向)的運動可以忽略,并且在本文研究設定的顆粒物性參數和立管振動參數范圍內(根據實際工程背景設定的參數),Basset 力在顆粒運動中占比很小,可以忽略.因此,下文的計算結果未考慮Basset 力,且只討論顆粒在振動橫向(x方向)和垂向(z方向)上的運動特征.除此之外,本文關注顆粒進入動態穩定狀態后的運動特征,因此,每個工況至少計算40 個立管運動周期,立管振動頻率f=0.5～2.0 Hz,因此模擬時長為20～80 s.當顆粒與管壁未發生碰撞(即顆粒距離管壁較遠) 時,用變步長的4 階、5 階龍格-庫塔法求解顆粒速度,時間步長最大為10-4s.當顆粒與管壁即將發生碰撞(即顆粒距離管壁很近)時,為了準確計算碰撞后的顆粒速度,在顆粒與管壁發生碰撞的時段,時間步長設置為10-7s.

2.1 振動參數的影響

在振動立管中,管道振動頻率和管道振動幅度是影響顆粒運動的最明顯的兩個因素.根據劉大有[37]的研究,一維無界振蕩流場中顆粒運動速度的幅值以及其與振蕩流場的相位差與管道振動頻率和密度比直接相關.基于此,本節主要討論顆粒橫向和垂向運動特性在不同立管振幅和振動頻率下的變化特征.本節主要分析不同管道振動頻率和振幅下,顆粒橫向速度相位差φ、相對橫向速度vpxre、以及顆粒垂向速度vpz的變化特征.研究中,顆粒直徑d=0.015 m,立管直徑D=0.1 m,顆粒密度ρp=2000 kg/m3(密度比β=ρp/ρf=2.0),振動頻率f/(U/D)和振動幅度Am/D的組合如表1 所示.

表1 立管振動參數設置Table 1 Vibrational parameters of the oscillating riser

2.1.1 振動參數對顆粒橫向運動的影響

首先,研究立管振動參數對顆粒橫向速度和位移的影響.考慮發生碰撞和未發生碰撞兩種情況,以表1 中f/(U/D)=0.05 為例,分析立管振動幅值對顆粒橫向速度和位移的影響.在研究立管振動頻率對顆粒運動特征影響時,選取立管振幅Am/D=1.0,振動頻率f/(U/D)=0.05,0.06,0.07,0.075,0.10,0.15,0.20.另外,如1.2 節所述,顆粒與壁面是否發生碰撞與顆粒中心和管道軸線之間的相對距離相關.因此,分析立管振動方向上的顆粒與管道軸線之間相對位移的波動幅值xr,Am隨立管振動參數的變化規律十分必要.xr,Am定義如下

其中,xp和xc分別為顆粒和管道軸線所在位置的橫向坐標,max(xp-xc)和min(xp-xc)分別表示一個振動周期內顆粒與立管之間相對位移的最大值和最小值,N表示振動周期的數量,為保證選取樣本的代表性,每種立管振動參數下N取值至少為20.不同立管振動參數下xr,Am變化如圖6 所示.

圖6 顆粒和振動立管橫向相對位移幅值隨(a)立管振幅和(b)振動頻率的變化Fig.6 Fluctuation amplitudes of the relative displacement between the particle and vibrating riser with various (a) vibrational amplitudes and(b) frequencies

從圖6 中發現,隨著立管振幅或振動頻率的增加,顆粒與立管的相對位移xr,Am不斷增加.然而,如圖6(a)和圖6(b)所示,當Am/D≥ 3.0 或f/(U/D)≥ 0.15,xr,Am保持在一個常數值0.85,不再繼續增加,表明顆粒與管壁之間發生碰撞,由于管壁的限制,xr,Am不再繼續增加.xr,Am變化規律與顆粒和振動立管之間橫向相對速度和相位差相關.首先,分析振動方向上顆粒速度與管道速度之間的相位差隨振動參數的變化.定義顆粒橫向速度極值所在時刻的相位為φp,管道振動速度極值點所在的相位為φf.兩者之間相位差φ如下計算

其中,為保證選取樣本的代表性,每種立管振動參數下的N取值至少為20,即選取至少20 個周期的相位差,取其平均值作為相位差φ.圖7 顯示了相位差φ隨振動幅度和振動頻率的變化趨勢.

圖7 顆粒和振動立管橫向速度的相位差隨(a)立管振幅和(b)振動頻率的變化Fig.7 Phase differences between the particle velocity and riser velocity with various (a) vibrational amplitudes and (b) frequencies

從圖6 中可以看出,當f/(U/D)=0.05,Am/D≤1.5 或f/(U/D)≤0.1,Am/D=1.0 時,顆粒與管軸之間的距離隨振動頻率或振幅的增加持續變大,表明在此振動參數變化區間顆粒與管壁之間無碰撞發生,此時相位差(圖7)隨立管振幅或振動頻率的增加而增加.這是因為隨著振幅和頻率的增加,顆粒對管道的跟隨性變弱,相位差會相應增加.而當f/(U/D)=0.05,Am/D=2.0～4.0 或f/(U/D)=0.15～0.20,Am/D=1.0 時,每個立管振動周期內顆粒與管壁碰撞2 次,此時相位差φ急劇減小,且立管振幅或振動頻率越大,φ的值越小.這是因為橫向相對位移由相對速度和相位差φ共同決定,有碰撞發生條件下,顆粒與立管之間的相對運動位移幅值受到管壁的影響不再繼續增加,而碰撞作用通過瞬時改變兩者相對運動速度,從而間接影響相位差,導致相對運動距離幅值xr,Am/D不再繼續變大.由此可見,碰撞對顆粒橫向速度有顯著影響.比較圖7(a)和圖7(b),可以發現在本文研究的參數范圍內,與振動幅度相比,振動頻率對相位差的影響更大.

除相位差外,在振動方向上,顆粒與立管之間的速度差vpxre是決定顆粒與管壁之間是否發生碰撞的另一決定性因素.將vpxre的幅值定義為vpxre,Am,其求解如下

其中,N為顆粒運動穩定后,選取時間段內相對速度最大值或最小值出現的次數(N≥ 20).

表1 中振動參數下,vpxre,Am的值如圖8 所示.從圖8 中可以看出,無論是否發生碰撞,顆粒相對速度隨立管振動頻率和振動幅值的增加而增加.這是因為,無碰撞發生條件下,如圖9 中黑色實線所示,顆粒與振動立管之間的橫向相對速度與顆粒對流體的跟隨能力有關.如圖9 中帶圓點的虛線所示,有碰撞發生條件下,兩者之間的相對速度會在短暫的時間內(t1～t2)受碰撞作用的影響,而后完全受控于流體作用[7].因此,碰撞不會改變相對速度隨立管振動頻率和振幅的變化趨勢.

圖8 不同振動參數下的顆粒橫向相對速度幅值Fig.8 Flucutation amplitudes of the relative lateral velocity with various vibrational parameters

圖9 顆粒橫向相對速度的歷時曲線Fig.9 Variations of the relative lateral velocity with time

2.1.2 振動參數對顆粒垂向運動的影響

顆粒的垂向平均速度變化直接影響礦石的提升效率.因此,很有必要分析立管振動頻率和振動幅度對顆粒垂向平均速度的影響.在顆粒釋放后的運動初期,顆粒速度并未達到穩定,因此這里選取顆粒運動速度穩定以后20 個振動周期的垂向速度平均值作為研究對象.

垂向平均速度計算方式如下

其中,vpz,ave表示垂向平均速度,t0～tf表示20 個周期的開始和截止時刻.

圖10 展示了不同振動參數下顆粒垂向平均速度的變化規律,可以看出,顆粒與管壁之間無碰撞發生條件下(虛線以上),隨著振動頻率或振動幅值的增加,顆粒垂向平均速度減小,意味著顆粒提升效率的降低.這是因為隨著立管振動頻率或者振幅的增加,顆粒與振動立管的橫向相對位移增加,并且越靠近管壁管道中流體垂向速度越小,從而導致顆粒垂向平均速度減小.有碰撞發生條件下,隨立管振幅的增加,顆粒垂向平均速度減小的趨勢變得平緩.這是因為有碰撞發生條件下,由于管壁的限制作用,顆粒與管道軸線的相對位移達到最大(如圖6 所示),不再隨立管振動幅度的繼續增加而改變,因此,有碰撞發生條件下,顆粒垂向平均速度隨立管振動參數的變化與管內流場的非均勻性無關.顆粒垂向速度隨振動幅度的變化主要由碰撞導致,但是碰撞的作用是瞬時的而不是作用在顆粒運動的整個周期,因此顆粒垂向平均速度的變化趨勢減緩.另外,與靜止立管中顆粒運動不同,橫向振動立管中的顆粒垂向速度幅值會出現規律性波動[7].為探究此波動幅度vpz,Am隨振動參數的變化特征,將vpz,Am定義如下

圖10 不同振動參數下的顆粒垂向平均速度Fig.10 Particle vertical average velocity with different vibrational frequencies and amplitudes

圖11 展示了不同立管振動參數下顆粒的vpz,Am取值.觀察圖11 可以發現,在相同頻率下顆粒垂向速度的波動幅度隨振動頻率的增加而增加.造成這種現象的原因是,隨著振動立管振幅的增加,立管與顆粒橫向相對位移幅值增大,顆粒更靠近管壁;同時立管中流體的垂向速度呈指數形式(式(29)),越靠近管壁流體垂向速度越小.因此,在顆粒與立管橫向相對位移幅值和流體垂向速度的共同影響下,顆粒的垂向速度幅值出現波動.圖11 中左下方所示區域是無碰撞發生的情況,與之相比,在有碰撞發生條件下(圖11 虛線右上方所示區域),垂向速度的波動幅度出現大幅增加,這明顯與碰撞作用相關.圖12 展示了振動頻率f/(U/D)=0.1 時,不同振幅下顆粒垂向速度的歷時曲線,圖中Am/D=1.5,2.0 時顆粒與管壁之間每個周期發生兩次碰撞,Am/D≤1.0 時無碰撞發生.可以看出,由于碰撞力的瞬時作用,顆粒垂向速度的極小值出現在碰后的時刻[7],此極小值遠低于未發生碰撞時.而由流場垂向速度影響的顆粒垂向速度極大值則趨于相等,因此vpz,Am顯著增加.

圖11 不同振動參數下的顆粒垂向速度波動幅值Fig.11 Flucutation amplitudes of the particle verticle velocity with various vibrational parameters

圖12 不同振幅下的顆粒垂向速度歷時曲線Fig.12 Time history of the verticle velocity with various vibrational amplitudes

2.2 密度比的影響

除立管振動參數外,顆粒與流體密度比也會對顆粒運動特征產生影響.因此,本節主要分析相同立管振幅和振動頻率條件下,顆粒與立管內流體密度比β變化對顆粒運動特征的影響.其中,顆粒直徑d=0.015 m,立管振動頻率f/(U/D)=0.1,對應有碰撞、無碰撞發生的兩種振動幅度Am/D=0.5,1.5,顆粒與流體密度比分別為β=1.5,1.8,2.0,2.2,2.4.

2.2.1 密度比對顆粒橫向運動的影響

首先,討論顆粒與立管內流體密度比β變化對顆粒橫向速度的影響.為便于比較和觀察,用立管振動周期T對時間t進行無量綱化.

不同密度比下,顆粒橫向速度隨時間的變化如圖13 所示.從圖13(a)和圖13(b)中可以明顯看出,無論有無碰撞發生,橫向相對速度幅值隨密度比的增大而減小,這是因為隨著密度比的增加,顆粒的慣性增加,導致其對周圍流體的跟隨性變弱,相同流體速度下的顆粒速度會減小.

圖13 不同密度比下的顆粒橫向速度歷時曲線Fig.13 Time history of lateral velocity of the particle to the riser with various density ratios

除此之外,通過圖13 可以發現,顆粒橫向速度的相位以及顆粒與管壁發生碰撞的時刻與密度比有關.采用式(31)定義的相位差,顆粒橫向速度與立管振動速度的相位差隨密度比的變化如圖14 所示.

圖14 顆粒和振動立管橫向速度的相位差隨密度比的變化Fig.14 Phase difference of the particle and riser velocity in vibrational direction with various density ratios

從圖14(a)中可以看出,當顆粒與管壁之間無碰撞發生條件下(Am/D=0.5),隨著密度比的增加,顆粒橫向速度與振動立管之間的相位差持續增加.然而,比較圖14(a)和圖14(b)中的相位差φ的量級可以發現,碰撞發生條件下,相位差急劇減小.這說明,碰撞可以通過改變相位差而影響顆粒橫向運動速度,從而減小密度比對相位差的影響.

另外,從圖13(b)中可以看出密度比會影響顆粒與管壁發生碰撞的時刻.為了進行定量分析,圖15展示了立管振動頻率f/(U/D)=0.10、振幅Am/D=1.5 時,橫向相對位移隨時間的變化以及顆粒與管壁碰撞時刻的相位隨密度比的變化.根據碰撞發生條件,從圖15(a)可以看出,在每個立管振動周期,顆粒與管壁發生2 次碰撞,這兩次碰撞時的相位φcol隨密度比的變化分別如圖15(b)和圖15(c)所示.可以發現,隨著密度比的增加,顆粒與管壁碰撞時刻的相位減小,說明顆粒與流體密度比較大時,碰撞更容易發生.造成這種現象的原因是,隨著密度比的增加,顆粒慣性增大,從而顆粒與振動立管之間的相對速度增大,這使得兩者之間的相對位移在更短的時間內達到立管半徑,從而導致顆粒與振動立管在更早的相位處發生碰撞.

圖15 當 f/(U/D)=0.10,Am/D=1.5 時,(a)橫向相對位移隨時間的變化以及(b),(c)顆粒與管壁碰撞時刻的相位隨密度比的變化Fig.15 (a) Time history of the relative displacement between the particle and riser in vibrational direction and (b),(c) the phases of the collision moment with various density ratios when f/(U/D)=0.10,Am/D=1.5

2.2.2 密度比對顆粒垂向運動的影響

顆粒運動達穩定狀態后,不同密度比下的顆粒垂向速度的歷時曲線如圖16 所示.可以看出隨著密度比的增加,顆粒垂向速度不斷減小.這是因為顆粒直徑不變,顆粒密度比β的增加使得其自身重力增加,因此相同垂向流場速度條件下顆粒的提升速度會減小.

圖16 不同密度比下的顆粒垂向速度歷時曲線Fig.16 Time history of vertical velocity of the particle with various density ratios

另外,通過圖16 可以發現,顆粒垂向速度的波動幅值會隨密度比變化而改變.因此,接下來主要討論顆粒與管內流體密度比變化對vpz,Am的影響.

圖17 展示了顆粒垂向速度波動幅值vpz,Am和橫向相對位移幅值xr,Am隨密度比的變化.從圖17(a)中可以發現,對于無碰撞發生的情形,垂向速度波動幅值與密度比呈正相關,這是因為密度比越大,顆粒的慣性越大,其對周圍流體的跟隨性變弱,顆粒與振動立管之間的橫向相對速度值和相位差增加,致使顆粒在立管中的運動范圍變大(圖17(c));并且立管中非均勻的流體垂向速度同樣會影響顆粒運動,最終導致顆粒垂向速度波動幅值增加.從圖17(b)中可以明顯看出,對于有碰撞發生的情形,顆粒垂向速度波動幅值隨密度比的增加而增加,但其增長率有所降低,從而證明,顆粒垂向運動隨顆粒與管內流體密度比的變化特征同樣受到顆粒與管道碰撞效應的影響.

圖17 (a),(b)顆粒垂向速度波動幅值以及(c)橫向相對位移幅值隨密度比的變化Fig.17 (a),(b) The fluctuation amplitudes of the vertical velocity and(c) relative displacement between the particle and riser with various density ratios

2.3 直徑比的影響

由于顆粒與立管直徑比λ的變化同樣對橫向振動立管中顆粒運動特性產生影響,因此本節分析橫向振動立管中顆粒運動特征隨著顆粒與立管直徑比λ增大的變化規律.研究中,顆粒與流體的密度比β=2.0,立管直徑D=0.1 m,立管振動頻率f/(U/D)=0.10,振動幅度Am/D=0.5,1.5.另外,根據深海采礦過程中礦石尺寸范圍,選取直徑比λ=0.1,0.125,0.15,0.18,0.2,0.25.

2.3.1 直徑比對顆粒橫向運動的影響

首先,分析直徑比λ變化對顆粒橫向運動的影響.有無碰撞條件下,顆粒橫向速度與振動立管之間的相位差隨直徑比的變化如圖18 所示.

圖18 顆粒與振動立管橫向速度的相位差隨直徑比的變化Fig.18 The phase difference of the particle and riser velocity in vibrational direction with various diameter ratios

當顆粒與管壁之間無碰撞發生條件下(Am/D=0.5),從圖18(a)中可以看出隨著直徑比的增加,顆粒橫向速度與振動立管之間的相位差持續增加.然而,當有碰撞發生(Am/D=1.5),相位差由0.05～0.07 急劇減小至-0.01～0.01 (圖18(b)).從而證明,碰撞可以通過改變相位差而影響顆粒橫向運動速度,進而導致直徑比對顆粒橫向運動的影響減弱.

立管振動頻率f/(U/D)=0.10,振幅Am/D=1.5 時,不同直徑比下,橫向相對位移隨時間的變化以及顆粒與管壁碰撞時刻的相位如圖19 所示.根據碰撞發生條件,從圖19(a) 可以看出,立管振幅為Am/D=1.5 時,在每個立管振動周期,顆粒與管壁發生2 次碰撞,該兩次碰撞時的相位分別如圖19(b)和圖19(c)所示.可以看出,隨著直徑比的增加,顆粒與管壁2 次碰撞發生時刻的相位均會減小,表明碰撞時刻提前.這是因為隨著顆粒直徑比增加,顆粒對管道的跟隨性變差,導致顆粒與振動立管之間的相對速度增大;同時,由1.2 節可知,當滿足h>(D-d)/2– εd條件時,顆粒與管壁發生碰撞,當顆粒直徑增加時,不等式右側的值會減小.鑒于上述兩種原因,隨著直徑比的增加,顆粒與管壁更容易發生碰撞,致使碰撞時刻提前,所以發生碰撞的相位會減小.

圖19 當 f/(U/D)=0.10,Am/D=1.5 時,(a)橫向相對位移隨時間的變化以及(b),(c)顆粒與管壁碰撞時刻的相位隨直徑比的變化Fig.19 (a) Time history of the relative displacement between the particle and riser in vibrational direction and (b),(c) the phases of the collision moment with various diameter ratios when f/(U/D)=0.10,Am/D=1.5

2.3.2 直徑比對顆粒垂向運動的影響

顆粒運動狀態穩定后,不同直徑下的顆粒垂向速度歷時曲線如圖20 所示,可以明顯看出隨著直徑比的增加,顆粒垂向速度減小.結合顆粒運動方程(2),可以發現,密度比β不變時,隨著顆粒與立管直徑比λ=d/D的增加,顆粒所受的拖曳力FD在總力中的占比減小,導致顆粒最終的垂向提升速度減小,這與張巖等[20]分析雙尺寸顆粒群分離現象的原因類似.

圖20 不同直徑下的顆粒垂向速度歷時曲線Fig.20 Time history of vertical velocity of the particle with various diameter ratios

顆粒垂向速度波動幅值和無碰撞情形的橫向相對位移幅值隨直徑比的變化如圖21 所示.從圖21(a)可以看出,對于顆粒與管壁之間無碰撞發生的情形,顆粒垂向速度波動幅值隨其直徑比的增加而變大.造成這種現象的原因是立管中流體的垂向速度呈指數型(式(29)),越靠近管壁流體垂向速度越小;同時,如圖21(c)所示,隨著直徑比的增加,顆粒對振動立管的跟隨性變弱,導致顆粒在立管中的運動范圍變大,在流場和顆粒運動的共同作用下,顆粒垂向速度波動幅度隨直徑比的增加而增加.

圖21 (a),(b)顆粒垂向速度波動幅值以及(c)橫向相對位移幅值隨直徑比的變化Fig.21 (a),(b) Fluctuation amplitudes of the vertical velocity and(c) relative displacement between the particle and riser with various diameter ratios

另外,從圖21(b)可以發現當立管振動幅度為Am/D=1.5,vpz,Am與直徑比呈現負相關.這種現象可以解釋為:有碰撞發生,需滿足條件h>(D-d)/2–εd,可以看出顆粒直徑比越大,顆粒與管壁發生接觸時,顆粒中心距離管壁越遠,而由式(29)可知,距離管壁越遠,流場垂向速度變化越小,導致流場對顆粒的垂向作用力的變化緩慢,因此由流場引起的顆粒垂向速度的波動幅值會減小.

3 結論

本文基于顆粒運動方程和軟球碰撞模型,對橫向振動立管中的單顆粒運動特性開展了數值研究,討論了顆粒與立管碰撞的發生條件,分析了顆粒運動的垂向速度、相對于立管的橫向速度隨立管振動參數、顆粒與立管內流體密度比(密度比)以及顆粒與立管直徑比(直徑比)的變化規律,得到以下主要結論.

大振幅或者高頻率的立管振動可引起顆粒與立管發生碰撞,隨著密度比和直徑比的增加,顆粒與管壁發生碰撞的相位減小,即碰撞時刻提前,使得碰撞更容易發生.

顆粒垂向平均速度隨立管振動頻率和振幅、密度比以及直徑比的增加而減小,但垂向速度的波動幅值呈增加趨勢,顆粒與立管的碰撞導致垂向速度的波動幅值顯著增加.

顆粒與立管之間無碰撞發生的條件下,顆粒與立管之間橫向相對速度幅值以及兩者之間的相位差隨立管振動頻率和振幅、密度比以及直徑比的增加而增加.而有碰撞發生的條件下,顆粒與立管的橫向相對速度的相位差受碰撞的影響急劇減小,從而減弱密度比和直徑比對顆粒橫向速度的影響.

本文的研究初步揭示了橫向振動立管中單個粗顆粒的運動規律,對深海采礦工程設計有參考價值.當然,在實際海洋工程中,立管所處作業環境復雜,而且深海采礦系統中的采礦船、中間艙以及采礦車的運動,會給海洋立管施加多頻成分疊加的激勵形式,其運動響應更加復雜.除此之外,當輸送管道中的礦石顆粒濃度較高時,礦石顆粒間的相互作用力可能會比較強.因此,在未來的研究中,將需要考慮更接近實際的情況,如考慮立管的“8 字形”振動等,逐步推進單顆粒和群顆粒礦石在復雜模態運動立管中的運動特征研究.