正方形布置四圓柱結構流致振動響應特性研究1)

胡中明 王嘉松 孫遠坤 鄭瀚旭 范迪夏

* (黃淮學院建筑工程學院,河南駐馬店 463000)

? (上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院,上海 201100)

** (西湖大學工學院,杭州 310030)

引言

多圓柱結構廣泛存在于許多工程領域,如大跨度橋梁結構的纜索系統、換熱器中的熱交換管束、高壓長距離輸電線、海底管線和海洋油氣開采中的生產立管系統等.不同于單圓柱結構的渦激振動響應(一般呈現典型的自限振動)[1-2],多圓柱結構之間會發生復雜的耦合干涉作用,產生比單圓柱結構更為復雜的流致振動響應,如下游圓柱所誘發的尾流致振(wake-induced vibration,WIV)[3-4],尾流馳振(wake-induced galloping,WIG)[5-6]等.持續劇烈的振動會給圓柱結構帶來諸如碰撞和疲勞損傷等危害,影響結構的安全性和使用壽命.因此,開展多圓柱結構的流致振動研究具有重要意義.

目前,針對多圓柱結構中處于基礎地位的雙圓柱結構流致振動問題,國內外學者開展了系列研究,結果表明,受間距和布置方式的影響,圓柱結構的振動響應呈現不同特性[7-13].例如,對于串列雙圓柱結構,Xu 等[12]通過水槽實驗研究表明當S/D=2.57,3.57,4.57 較大間距時(S為兩圓柱圓心間距,D為圓柱直徑,下同),在約化速度Ur<12 區間內,上游圓柱受下游圓柱的影響較小其振動響應特性類似于單圓柱,而當S/D=1.57 小間距時,上游圓柱振動非常劇烈呈現類馳振響應,這種現象在Kim 等[7]以及Hu等[13]的風洞實驗中也可以觀測到;而下游圓柱則在整個測試間距范圍內呈現類渦激振動現象.對于并列雙圓柱結構,Huera-Huarte 等[14]通過水槽實驗研究了間距比為2.0≤S/D≤5.0 時并列柔性雙圓柱的流激振動響應,研究發現當S/D<3.5 時,兩圓柱的橫流向振動位移為同相位或者反相位關系,此時圓柱之間存在較強的耦合作用,呈現耦合的渦激振動(wake-coupled VIV,WCVIV),而當S/D>3.5時,兩圓柱顯示不同步運動,表明此時圓柱之間的耦合作用非常弱,類似單圓柱結構的渦激振動.近年來,Xu 等[15]通過拖曳水池研究了Re=800～16000,S/D=3.0,4.0,6.0 和8.0 條件下并列雙圓柱的流致振動問題,研究表明,并列雙圓柱的橫流向振動幅值會在相同約化速度處達到最大值,當間距比S/D≤6.0 時,橫流向存在明顯的鄰近干涉作用,最大呈現4 階主導模態.Han 等[16]采用基于上述實驗中的位移數據,采用逆向識別方法重構了并列雙圓柱的流體力特性.結果顯示當S/D≤6.0 時,兩圓柱的橫流向流體力響應頻率明顯不同,并且附加質量系數也存在明顯偏差,這為實際工程中海洋立管的流激振動提供了重要的參考價值.此外,胡中明等[17]通過風洞實驗也發現了在間距比S/D≤3.0 時,并列雙圓柱之間相互干涉作用較強,雙圓柱振動幅值響應呈現不一致性,振動位移之間表現為同相位或反相位耦合特征,圓柱尾流場對稱點的渦脫頻率也不相同,尾流呈現不對稱性.而當間距比S/D=3.5～4.0 時,雙圓柱振動幅值和渦脫頻率幾乎相同,尾流的不對稱現象消失,這和陳威霖等[18]數值模擬研究結論類似.

上述研究使人們認識了雙圓柱結構的耦合干涉特征,但是由于實際工程中多圓柱結構的數量和布置方式會更加復雜,為探明其流致振動響應特性,以正方形布置四圓柱結構為代表的多圓柱結構的流致振動響應問題引起了一些研究人員的關注[19-23].例如,Zhao 等[19]通過數值方法研究了4 個圓柱都可以橫向自由振動的問題,此時m*=2.5,S/D=1.5～4.0,Re=150,可以觀察到4 種不同的振動響應類型,即同相位模式、反相位模式、不相關模式與這些不同的振動響應類型和圓柱的間距密切相關.及春寧等[20]利用浸沒邊界法對間距m*=2.0,S/D=5.0,Re=100,Ur=2.0～50.0 時的正方形布置四圓柱的流致振動響應進行了數值模擬.結果表明,上游兩個圓柱的響應和單圓柱渦激振動類似,但是下游兩個圓柱的振動幅值非常大,比單圓柱渦激振動最大振幅增大了74.8%,由于圓柱間隙流的偏斜,4 個圓柱的流激振動會出現3 個不對稱的區間.最近,Ma 等[23]通過拖曳水槽研究了m*=1.9,S/D=6.0,Re=16000 時,正方形布置四柔性圓柱的水動力學響應.結果表明,上游兩圓柱的振動特性和并列圓柱布置時類似,受下游圓柱的影響有限;而下游兩圓柱會受到上游圓柱尾流的影響,其橫流向的振動頻率比單圓柱略低,順流向的振動頻率顯著降低接近橫流向振動頻率,最終呈現橢圓形運動軌跡.

綜上所述,相比雙圓柱結構,正方形布置四圓柱的流致振動響應特性更加復雜,雖然目前針對此問題已經取得了一定的研究成果,但是一方面仍然缺乏高雷諾數和大質量比條件下正方形布置四圓柱流致振動的實驗研究,而質量比則是影響圓柱等鈍體結構流致振動的重要參數;另一方面需要研究雙圓柱結構和正方形布置四圓柱結構流致振動特性的關系.因此,本文通過風洞實驗研究正方形布置四圓柱的動力學響應,包括結構模型無量綱振動幅值A/D、振動頻率fo和渦脫頻率fs等,以期探明大質量比條件下正方形布置四圓柱的流致振動特性,以及雙圓柱結構和正方形布置四圓柱動力學響應之間的關系,進而為揭示工程中更加復雜的多圓柱的動力學響應提供有意義的參考和指導.

1 實驗研究方法

本文實驗研究是在上海交通大學動力機械與工程教育部重點實驗室所屬的低速風洞中完成的.風洞實驗段長、寬、高的幾何尺寸分別為2000 mm,600 mm,600 mm,在實驗測試條件下湍流度始終小于0.2%,更加詳細的信息可以參考文獻[6,13].

4 根圓柱模型分別被命名為圓柱1 (cylinder 1)、圓柱2 (cylinder 2)、圓柱3 (cylinder 3) 和圓柱4(cylinder 4),其中圓柱模型1,2 在上游,圓柱3,4 在下游,圓柱模型安裝具體示意圖如圖1 所示.圓柱橫向放置在風洞實驗段,兩端分別用4 根對稱彈簧固定在風洞壁上.為保證4 根圓柱結構都可以在橫向自由振動,需要重點考慮橫流方向圓柱1 和2 的并列空間布置(下游圓柱3 和4 與上游圓柱1 和2 情況類似),因此在確保所有模型結構參數以及支撐彈簧剛度相同的情況下,使上游圓柱1 的支撐彈簧間距較窄(綠色示意)而上游圓柱2 支撐彈簧間距較寬(紫色示意),同時上游圓柱1 和2 的支撐彈簧不在同一平面內,這樣就保證上游圓柱1 和2 可以自由振動而不因為空間相互影響,如圖1(b)所示.

圖1 正方形布置四圓柱實驗模型示意圖Fig.1 Configuration of four elastically mounted cylinders in square arrangement

4 個圓柱彈簧剛度k均約為254 N/m.圓柱直徑D為40 mm,厚度為2 mm,長度為500 mm,長徑比為12.5.來流速度U=1.2～10.7 m/s,相應的雷諾數范圍為Re=3200～28900,此時處于亞臨界區.4 根圓柱模型的質量分別為260.2 g,259.9 g,260.1 g 和260.0 g,相應的質量比m*分別為345.3,344.9,345.1 和345.0.通過一系列施加激勵后的自由衰減實驗可以近似估算得到4 個圓柱模型的阻尼比ξ分別為0.140%,0.135%,0.137%和0.142%.模型的固有頻率通過對自由衰減實驗中所測的位移進行FFT變換獲得,分別約為14.05 Hz,14.06 Hz,14.06 Hz 和14.06 Hz,以圓柱模型4 為例,自由衰減的位移曲線和位移信號頻譜圖如圖2 所示.模型結構的主要參數如表1 所示.

表1 模型結構的主要參數Table 1 Structural parameters of the model

圖2Fig.2

4 個圓柱模型的振動位移信號y通過自主搭建的同步位移測試系統進行測量,進一步對y進行FFT 處理可以得到圓柱模型的振動頻率fo.同步位移測試系統主要包括激光位移傳感器(KEYENCE IL-600)、數字信號放大器(KEYENCE IL-1000)、多通道采集卡(Advantech 64 通道PCI-1747 U)、端子板、工控機(Advantech PCI-610 H)和采集程序等.

為了展示上述系統的測量細節,同時對系統測量的不確定性進行必要的分析,選取質量阻尼比m*ξ=0.490 的下游圓柱4 為代表來進行誤差分析,其余工況實驗數據誤差范圍大致和所選的代表圓柱模型類似.包含誤差棒的下游圓柱4 的無量綱振動幅值響應如圖3 所示,誤差棒越大說明不同振動周期間的偏離程度越大.由圖3 可知,所有約化速度下的實驗數據的標準差都較小,最大值不超過0.03,這說明振動過程相對規律,周期與周期之間沒有發生大的偏移.測量細節及振動的相對規律性也可以通過圖3 中所選取的兩個約化速度下的振動位移歷史曲線來示例說明.

圖3 含有標準差的圓柱4 的無量綱振動幅值響應Fig.3 Nondimensional amplitude response associating with standard deviations of cylinder 4

圓柱模型尾流場中的流向脈動速度u則是通過多通道熱線風速儀測試系統測量得到,兩個熱線探頭HW1 和HW2 (Dantec 55 p11)分別距離圓柱3 和4 的中心水平距離為4D,豎向距離為1D,如圖1 所示.進一步對u進行FFT 處理可以得到圓柱模型尾流場的渦脫頻率fs.本實驗所用的多通道熱線風速測試系統的測試速度范圍為0.5～60 m/s,測量精度可達0.1%,熱線探頭具有高達10 kHZ 的響應頻率,可以準確捕獲圓柱模型尾流場布置點處流速隨時間的變化規律,進而獲得比較準確的渦脫頻率.

2 實驗方法驗證

首先進行一系列單圓柱渦激振動實驗以驗證本文實驗測試方法的可靠性,分別選取圓柱1 (m*ξ=0.48)和圓柱4 (m*ξ=0.49)實驗結果與前人實驗結果進行對比,如圖4 所示.圖4 中縱坐標A/D為無量綱均方根幅值,是將位移信號的均方根值yrms乘以再除以模型直徑D得到,即

圖4Fig.4

從圖4(a)中可以觀察到圓柱1 和圓柱4 均呈現經典的渦激振動鎖定響應(lock-in),鎖定區間大約在Ur=4.9～8.6 區間內,與Feng[24](m*ξ=0.255),Liang 等[25](m*ξ=0.199),Hu 等[13,26](m*ξ=0.202,0.240)等風洞中大質量阻尼比實驗結果類似,都呈現兩個經典分支,即初始分支和下端分支.在初始分支,A/D隨著Ur增大而增大,在Ur≈ 6.1 達到最大值,隨后A/D開始衰減直至為0.但是對比Khalak 等[27](m*ξ=0.014)的水槽中小質量阻尼比實驗結果,除了初始分支和下端分支外,還會存在一個振動位移非常大的上端分支,不同文獻中振動幅值及鎖定區間的差異主要是因為實驗中圓柱的質量阻尼比不同引起的.

為了進一步驗證本實驗結果的準確性,將無量綱振動幅值的最大值(Amax/D)隨質量阻尼比的變化和前人大量實驗結果進行對比,如圖4(b)所示.圖4(b)中藍顏色是Griffin[28]和Skop 等[29]在總結了大量前人實驗結果后擬合出的一條經驗曲線.由圖4(b)可知,目前的測試結果和經驗曲線吻合較好.上述實驗結果證明本實驗測試方法可靠性較高.

3 正方形布置四圓柱結構的流致振動響應特性

3.1 振動幅值響應特性

圖5 展示了正方形布置四圓柱(圖5 中分別命名為cylinder 1,cylinder 2,cylinder 3 和cylinder 4)無量綱振動幅值A/D隨圓柱間距S/D和約化速度Ur的變化規律,可以看到4 個圓柱對間距S/D和約化速度Ur的變化非常敏感,會呈現不同模式的振動響應.同時為了研究正方形布置四圓柱和串列(tandem cylinders)、并列(side-by-side cylinders)雙圓柱系統振動幅值響應的關系,分別選取串列、并列雙圓柱時的代表性間距S/D=1.5,4.0 的結果[13,17]包含在圖5(a)和圖5(e)中.

圖5 正方形布置4 個圓柱的振動幅值響應Fig.5 Vibration amplitudes responses of four cylinders in square arrangement

由圖5(a)可知,當間距S/D=1.5 時,可以觀察到4 個圓柱幾乎都在約化速度Ur=4.5 時開始振動,上游圓柱1 的振動幅值在4.5≤Ur≤7.3 時先增大后減小,表現為一個凸起現象(渦激振動響應),并在約化速度Ur>7.3 之后振動幅值隨著約化速度增加而增加(類弛振響應),但是振動幅值要比上游圓柱2 小很多(A/D的最大值為0.19).上游圓柱2 的幅值隨著約化速度的增長而迅速增加并在約化速度Ur=5.3 處獲得局部最大值A/D=0.16,隨后又略微減小(渦激振動響應),但在約化速度Ur≥ 6.1 之后再次隨著約化速度的增加而增加(類弛振響應),圓柱的最大振動幅值為0.36,相比于其他3 個圓柱要大很多;上游圓柱1 和2 表現為不對稱的振動幅值響應趨勢,這和并列雙圓柱在間距S/D=1.5 時振動幅值響應趨勢的不對稱規律保持一致.以往研究表明,對于串列雙圓柱,由于下游圓柱的存在會使上游圓柱呈現振動劇烈的類弛振響應[7,13],因此在正方形四圓柱中,上游圓柱1 和2 會呈現不對稱的耦合的渦激振動和類弛振響應,而不像并列雙圓柱那樣僅表現為類似于單圓柱典型的渦激振動響應趨勢.同樣,下游圓柱3 和4 的振動幅值首先都呈現隨約化速度的先增大再減小的渦激共振響應,然后再耦合上隨約化速度增加而增加的尾流弛振響應,這和串列雙圓柱中下游圓柱的振動幅值響應規律也保持一致,但是由于此時4 個圓柱之間的干涉作用非常強,所以下游圓柱3 和4 的振動幅值響應趨勢也呈現不對稱性.

需要說明的是,上游圓柱1 和2 所發生的渦激振動和下游圓柱所表現的渦激共振都是一種共振現象,振動幅值都表現為先增大后減小的凸起形式,但是由于上游圓柱和單圓柱一樣面對的是均勻來流,而下游圓柱面對的是上游圓柱的尾流,所以為了加以區別,將上游圓柱的振動稱為渦激振動,而把下游圓柱的振動稱為渦激共振.

上游圓柱的類弛振和下游圓柱的尾流弛振振動特征雖然都大致表現為振動幅值隨約化速度的增加而增加的趨勢,但是兩者的機理卻不相同.尾流弛振主要指的是處于上游圓柱尾流中的下游圓柱由于間隙流轉換作用[30]或者上游圓柱完整脫落的旋渦和下游圓柱結構耦合作用而誘發的劇烈振動[3],而類弛振響應指的是直面均勻來流的上游圓柱所呈現的類似于典型弛振的劇烈振動趨勢,主要由于上游圓柱近尾流一定區域存在下游圓柱型結構物.Bokaian等[31]在水槽實驗中也發現,如果在上游圓柱的近尾流中布置一個固定的下游圓柱時,上游圓柱會呈現馳振響應.他們強調發生馳振響應的必要條件是下游圓柱剛好處于上游圓柱近尾流的合適位置.所以為了加以區別,將直面均勻來流的上游圓柱振動幅值隨約化速度增加的劇烈振動稱為類弛振響應,而將下游圓柱類似的振動趨勢稱為尾流弛振.

綜上,由圖5(a) 的結果可知,當間距S/D=1.5 時,雖然4 個圓柱是按照正方形對稱布置的,但是4 個圓柱的振動幅值響應趨勢并不對稱,上游圓柱1 和2 之間以及下游圓柱3 和4 之間的幅值響應都不同,尤其是上游圓柱之間的差異更加明顯,這說明間距較小時,4 個圓柱之間存在強烈的干涉作用,相互之間影響非常復雜,下游圓柱3 不僅會受到上游圓柱1 的影響,還會受到上游圓柱2 以及下游圓柱4 的影響,同樣上游圓柱1 不僅會受到下游圓柱3 的影響,還會受到上游圓柱2 以及下游圓柱4 的影響.當約化速度Ur>9.4 之后,圓柱之間會發生碰撞,此時位移傳感器所采集的振動信號發生突變,因此在S/D=1.5 時,所測試的約化速度范圍比較小.

當間距S/D=2.0 時(圖5(b)),可以觀察到上游圓柱1 和2 都呈現耦合的渦激振動和類弛振響應,但是兩圓柱之間的差異在減小,這說明此時下游圓柱3 和4 對上游圓柱1 和2 以及上游兩個圓柱之間的相互干涉影響都在減弱.反過來,下游圓柱3 和4 雖然也都呈現耦合的渦激共振和尾流弛振響應,但是其振動幅值相差仍然很大,尤其是約化速度在6.9≤Ur≤10.2 區間時,下游圓柱3 的最小振動幅值A/D=0.23,而圓柱4 的最小振動幅值僅為A/D=0.0 4.這說明上游圓柱1 和2 仍然會同時對下游兩圓柱產生影響并且下游兩圓柱之間的相互影響仍存在.需要注意的是當Ur>14.2 之后,圓柱之間會發生碰撞.

當間距S/D=2.5 時(圖5(c)),對于上游圓柱1 和2 而言,除了在約化速度Ur≥ 9.4 (上游圓柱1)和Ur≥ 11.8 (上游圓柱2)之后呈現微弱振動外(A/D的最大值為0.07),模型的振動幅值接近單圓柱典型的渦激振動響應,此時下游圓柱對上游圓柱的影響進一步減弱.下游圓柱3 在區間5.3 18.9 之后,圓柱之間會發生碰撞.

隨著間距的進一步增大,當S/D=3.0～4.0 時,由圖5(d)和圖5(e)可知上游圓柱1 和2 越來越接近單圓柱,例如當間距S/D=4.0 時,上游圓柱1 和2 的振動響應和串列雙圓柱中上游圓柱振動幅值響應規律類似,都呈現典型的渦激振動響應,結合圖中并列雙圓柱的振動幅值響應特征,說明此時上游的兩個圓柱1 和2 已經不再受其它相鄰圓柱的影響,幾乎和單圓柱一樣.而下游圓柱3 和4 也和串列雙圓柱中下游圓柱振動幅值響應規律類似,都呈現一種分離的渦激共振和尾流弛振響應,即在約化速度較小時模型表現為渦激共振響應,當約化速度大于一定值時表現為尾流弛振響應,而在兩者之間圓柱的振動非常微弱.并且隨著間距的增加,下游圓柱3 和4 的振動響應越來越接近,這表明當間距較大時,正方形布置的4 個圓柱中的第一行的兩個圓柱(圓柱1 和3)和第二行的兩個圓柱(圓柱2 和4)類似于大間距串列布置的雙圓柱情形,即上游圓柱1 只影響下游圓柱3,上游圓柱2 只影響下游圓柱4,上游圓柱1 和2 之間以及下游圓柱3 和4 之間都不會相互影響.由于此時圓柱間距足夠大,一直到實驗中最大約化速度時,4 個圓柱之間都未發生碰撞.

綜上,結合串列和并列雙圓柱以及圖5 中正方形布置四圓柱的振動幅值響應結果,可以得出串列、并列雙圓柱和正方形布置四圓柱的振動幅值響應趨勢上存在著很多共同的特征,如并列雙圓柱在間距較小時會呈現不對稱的振動趨勢而正方形布置的四圓柱也會呈現不對稱的振動趨勢,當間距大于一定值時并列雙圓柱和正方形布置的上游圓柱1 和2 (下游圓柱3 和4)都呈現幾乎相同的振動響應趨勢.串列雙圓柱中上游圓柱的振動幅值隨間距的增加會分別呈現耦合的渦激振動和類弛振響應以及典型的渦激振動(和單圓柱類似),正方形布置四圓柱中的上游圓柱1 和2 也會呈現類似的振動響應規律;同樣,串列雙圓柱中下游圓柱的振動幅值隨間距的增加會分別呈現耦合的渦激共振和尾流弛振響應以及分離的渦激共振和尾流弛振響應,而正方形布置四圓柱中的下游圓柱3 和4 也會呈現類似的響應.為了更加形象地展示正方形四圓柱的動力學響應特征以及與雙圓柱結構之間的關系,現將其動力學響應結果匯結在圖6 中.

圖6 正方形布置四圓柱的流致振動響應模式及與雙圓柱的關系Fig.6 Vibration patterns for the four square arrangement cylinders and the relationship between four square and two cylinders

3.2 渦脫頻率特性

為了進一步理解振動幅值響應特性機理,本小結開始討論無量綱渦脫頻率fs/fn隨S/D的變化規律.渦脫頻率圖中紅色越亮,代表無量綱渦脫頻率fs/fn的PSD 幅值越大,主頻越明顯,分別選取代表性的間距S/D=1.5,2.5,4.0 時的結果來闡述說明.

圖7 給出了在間距S/D=1.5 時,圓柱尾流場中的無量綱渦脫頻率fs/fn隨約化速度Ur的變化情況.具體來說,當約化速度Ur<4.5 時,此時4 個圓柱都不振動,下游圓柱3 和4 尾流場中的無量綱渦脫頻率fs/fn都隨著約化速度的增加沿著St≈0.19 線性變化,這和固定圓柱渦脫頻率特性類似.當約化速度Ur≥ 4.5 之后,4 個圓柱開始振動,無量綱渦脫頻率fs/fn呈現鎖頻現象.雖然圓柱1(2)和3(4)都會呈現耦合的渦激振動(渦激共振) 和類弛振(尾流弛振)響應,但是下游圓柱3 尾流場中的渦脫頻率fs會一直鎖定在1 倍的固有頻率fn上,而下游圓柱4 尾流場中的渦脫頻率fs在約化速度Ur≥ 6.9 后會鎖定在fn的多倍頻上,這是因為此時上游圓柱2 振動非常劇烈,會伴隨著復雜的泄渦模式.

圖7 S/D=1.5 時無量綱渦脫頻率,(a)振動幅值,(b)圓柱3 后的渦脫頻率,(c)圓柱4 后的渦脫頻率Fig.7 Response of the normalized vortex shedding frequency fs/fn at S/D=1.5,(a)vibration amplitude,(b)fs/fn behind cylinder 3,(c)fs/fn behind cylinder 4

和并列雙圓柱類似,無量綱渦脫頻率fs/fn響應的不同再次說明了4 個圓柱之間存在復雜的相互干涉作用,存在不對稱的尾流場,進而導致圓柱呈現不對稱的振動趨勢.同時,圖7(b)中,在區間4.5≤Ur≤8.1 之間還有一個比較明顯的fs/fn≈0.5 的頻率,這說明此時一個周期內除了泄放一對2S 渦外,還會泄放其他的旋渦,這也意味著在間距很小時,正方形布置方式圓柱之間的相互作用和串列布置方式有很大的不同.

當間距S/D=2.5 時下游圓柱3 和4 尾流場的無量綱渦脫頻率fs/fn隨約化速度Ur的變化情況如圖8(b)和圖8(c)所示.可以看到兩個圓柱的無量綱渦脫頻率響應都分為4 個區域,對于下游圓柱3 而言,在2.1≤Ur≤5.1 和7.7≤Ur≤10.2 兩個區間內,無量綱渦脫頻率fs/fn會隨著約化速度的增加沿著St≈0.17 線性變化,此時下游圓柱3 振動非常微弱.而在這兩個區間之外,fs/fn會發生鎖頻現象,即在5.1 10.2 時,渦脫頻率fs隨著約化速度的增長會逐漸鎖定在1 倍、2 倍甚至4 倍的固有頻率fn上,此時下游圓柱3 的振動非常劇烈,其振動幅值隨著約化速度的增加而增加表現為尾流弛振響應.

圖8 S/D=2.5 時無量綱渦脫頻率,(a)振動幅值,(b)圓柱3 后的渦脫頻率,(c)圓柱4 后的渦脫頻率Fig.8 Response of the normalized vortex shedding frequency fs/fn at S/D=2.5,(a)vibration amplitude,(b)fs/fn behind cylinder 3,(c)fs/fn behind cylinder 4

下游圓柱4 尾流場中的無量綱渦脫頻率fs/fn和下游圓柱3 類似,即在2.1≤Ur≤4.5 和8.5≤Ur≤11.0 區間內隨著約化速度的增加近似沿著St≈0.18 線性變化,此時下游圓柱4 振動非常微弱,但是需要注意的是,在一些約化速度Ur情況下沒有明顯的主頻,呈現無規律特性,這說明下游圓柱3 和4 雖然振動都非常微弱但是尾流場的fs/fn響應卻并不完全相同,四個圓柱之間仍然有相互干涉作用.同樣在4.5 11.0 時渦脫頻率fs隨著約化速度Ur的增長會逐漸鎖定在固有頻率fn的多倍諧頻上,此時下游圓柱4 的振動幅值隨著約化速度的增加而增加,呈現尾流弛振響應.雖然下游圓柱3 和4 都呈現分離的渦激共振和尾流弛振響應,但是兩者之間的振動幅值響應和渦脫頻率仍有不同,所以四個圓柱之間的相互影響仍然存在.

當間距S/D=4.0 時,此時圓柱間距足夠大,上游圓柱1 和2 不再受相鄰圓柱的影響,即兩圓柱彼此之間不再影響并且也不會受到下游圓柱3 和4 的影響,振動響應和單圓柱經典的渦激振動一樣.由圖9(b)和圖9(c)可知,下游圓柱3 和4 尾流場的無量綱渦脫頻率fs/fn響應也非常相似,都呈現4 個區域,在區間2.1≤Ur≤4.9 時,兩圓柱的無量綱渦脫頻率fs/fn都隨著約化速度的增加近似沿著St≈0.13 線性變化,而在8.5≤Ur≤11.7 (下游圓柱3)或者8.5≤Ur≤11.0 (下游圓柱4)時,無量綱渦脫頻率fs/fn沒有明顯的主頻,此時兩個圓柱振動都非常微弱.在5.5 11.7 (下游圓柱3) 或者Ur>11.0 (下游圓柱4)時,兩圓柱的無量綱渦脫頻率fs/fn又會出現多頻響應(尾流弛振響應),因此在間距S/D=4.0 時下游圓柱3 和4 也會表現為分離的渦激共振和尾流弛振響應,并且兩者之間的振動幅值和渦脫頻率非常接近,所以此時4 個圓柱之間的相互影響已經非常小,類似于串列布置的雙圓柱,即上游圓柱1 只影響下游圓柱3,上游圓柱2 只影響下游圓柱4,上游圓柱1 和2之間以及下游圓柱3 和4 之間都不會產生相互影響.

圖9 S/D=4.0 時無量綱渦脫頻率,(a)振動幅值,(b)圓柱3 后的渦脫頻率,(c)圓柱4 后的渦脫頻率Fig.9 Response of the normalized vortex shedding frequency fs/fn at S/D=4.0,(a)vibration amplitude,(b)fs/fn behind cylinder 3,(c)fs/fn behind cylinder 4

綜上,結合串列、并列雙圓柱的渦脫頻率隨間距的變化規律[13, 17]可以知道,上述布置方式和正方形布置四圓柱的渦脫頻率響應存在著很多共同的特征.當間距較小時,正方形布置四圓柱和并列圓柱一樣,其渦脫頻率都呈現不對稱的響應,這說明尾流場存在不對稱性.當圓柱呈現渦激振動(上游圓柱)或者渦激共振(下游圓柱)時,渦脫頻率fs在會明顯地鎖定在固有頻率fn的1 倍諧頻上,而隨著約化速度的逐漸增大,圓柱開始呈現劇烈的類弛振響應(上游圓柱)或者尾流弛振響應(下游圓柱)時,渦脫頻率fs會呈現明顯的多倍諧頻.如果渦激共振區和尾流弛振區是耦合在一起的(即耦合的渦激共振和尾流弛振響應)那么從1 倍諧頻到多倍諧頻也會連在一起而不發生中斷現象,但是如果渦激共振區和尾流弛振區是分離開的(即分離的渦激共振和尾流弛振響應)那么從1 倍諧頻到多倍諧頻也會中斷,并且在分離區fs/fn會隨著約化速度的增加沿著St等于一個固定值線性變化或者沒有明顯的主頻呈現無規律特性.

3.3 振動頻率特性

圓柱模型的振動頻率fo可以通過對測量的位移進行FFT 變換得到.為了簡潔起見,現僅選取下游圓柱4 的結果來討論本文正方形布置四圓柱模型的振動頻率fo的特性,其余工況的響應結果和下游圓柱4 類似.圖10 給出了間距S/D=1.5～4.0 時,模型的振動頻率fo隨約化速度Ur的變化規律,需要說明的是當圓柱振動幅值很弱的時候,位移經過FFT 變換后,無法捕捉到明顯的主頻,所以圖10 中僅給出了圓柱振動明顯時(鎖定區間內)的振動頻率.由圖10可知,無論間距S/D如何變化,振動頻率fo始終鎖定在1 倍的固有頻率fn上,和前述渦脫頻率fs以及水中小質量阻尼比時振動頻率fo(隨著約化速度的變化而改變)[3]變化規律明顯不同.

圖10 下游圓柱4 在不同間距S/D 時的振動主頻Fig.10 Dominant oscillation frequencies depending on S/D for cylinder 4

這種現象可以歸因于有效附加質量mea的影響.本文風洞實驗四圓柱模型的質量比分別為m*=345.3 (m=260.2 g,ma=0.75),344.9 (m=259.9 g,ma=0.75),345.1 (m=260.1 g,ma=0.75),345.0 (m=260.0 g,ma=0.75),其中ma(=CAρπD2l/4)為靜止流場中的理想附加質量,CA為理想附加質量系數其值通常取為1.但是對于一個振動的結構,其附加質量會隨之改變,可以稱為有效附加質量mea(=CEAπρD2l/4),CEA為有效附加質量系數,在空氣中非常小.

根據Khalak 等[27]的研究,圓柱模型的無量綱振動頻率fo/fn可以定義為

由式(1)可知,m*越大,fo/fn越不容易改變,反之m*越小,fo/fn會發生很大變化.由于空氣中圓柱模型m*很大,CEA遠小于m*,因此CEA的變化對于式(1)中分母的影響可以忽略不計,這也正是本文風洞實驗中大質量比條件下fo/fn會保持不變的原因.因此,正方形布置四圓柱的振動頻率和質量比以及有效附加質量參數等密切相關.

4 結論

本文通過風洞實驗系統地研究了雷諾數Re=3200～28900,間距比S/D=1.5～4.0 時正方形布置四圓柱的流致振動響應,通過對振動幅值、渦脫頻率和振動頻率等分析討論,充分認識了大質量比條件下正方形布置四圓柱的干涉特性,探明了雙圓柱結構和正方形布置四圓柱結構流致振動特性的關系.根據分析討論結果,可以總結出以下結論.

(1)根據正方形布置四圓柱的振動幅值響應特征可知,當S/D≤2.0 時上游圓柱1 和2 都會呈現耦合的渦激振動和類弛振響應,下游圓柱3 和4 會呈現耦合的渦激共振和尾流弛振響應,但是由于間距較小,圓柱之間的相互干涉作用很強,因此上游圓柱1 和2 之間以及下游圓柱3 和4 之間的振動響應趨勢呈現不對稱性.當S/D≥ 2.5 時,上游圓柱1 和2 越來越接近單圓柱典型的渦激振動響應,下游圓柱3 和4 都表現為分離的渦激共振和尾流弛振響應,并且二者之間的振動幅值和響應區間也隨著間距的增加逐漸接近.這表明隨著間距的增加,圓柱之間的干涉作用越來越弱,正方形布置四圓柱中第一行的兩個圓柱(圓柱1 和3) 和第二行的兩個圓柱(圓柱2 和4)會逐漸類似于串列布置的雙圓柱,即上游圓柱1 只影響下游圓柱3,上游圓柱2 只影響下游圓柱4.

(2)當圓柱呈現渦激振動(上游圓柱)或者渦激共振(下游圓柱)時,渦脫頻率fs在會明顯地鎖定在固有頻率fn的1 倍諧頻上,而隨著約化速度的逐漸增大,圓柱開始呈現劇烈的類弛振響應(上游圓柱) 或者尾流弛振響應(下游圓柱) 時,渦脫頻率fs會呈現明顯的多倍諧頻.如果渦激振動區和尾流弛振區是耦合在一起的(即耦合的渦激振動和尾流弛振響應)那么從1 倍諧頻到多倍諧頻也會連在一起而不發生中斷現象,但是如果渦激振動區和尾流弛振區是分離開的(即分離的渦激振動和尾流弛振響應)那么從1 倍諧頻到多倍諧頻也會中斷,并且在分離區fs/fn會沿著St等于一個固定值線性變化或者沒有明顯的主頻呈現無規律特性.而圓柱模型的振動頻率和結構的質量比、有效附加質量等參數密切相關.由于本文風洞實驗的質量比很大,有效附加質量遠小于質量比,所以模型振動頻率主頻只能明顯地鎖定在1 倍的固有頻率.

(3)結合雙圓柱結構及正方形布置四圓柱結構的振動幅值響應結果,可以得出雙圓柱系統、正方形布置四圓柱的振動幅值響應存在著共同的響應模式,雙圓柱結構的一些動力學響應規律仍然適用于正方形布置四圓柱等多圓柱系統,這為揭示實際工程中更加復雜的多圓柱結構的動力學響應特征提供了有意義的參考和指導.