好的數學問題的價值探尋以及優化設計

樊繼威

[摘 要] 好的問題是有意義、有意思、能引發學生新的困惑的問題.在教學中，設計好的數學問題，要從問題的序、質、態等角度入手，要對好的數學問題進行積極的評價，讓好的數學問題能促進學生的深度參與、深度實踐和深度反思.教師不僅要設計好的數學問題，更要應用好的數學問題，借助好的數學問題，促進學生高階思維的發展，促進學生數學學習力的提升，促進學生數學核心素養的生成.

[關鍵詞]初中數學；問題設計；問題導學

問題是數學的心臟，也是學生數學思考、探究的觸發器.在教學中，教師要善于設計問題，以問題驅動學生的數學學習.好的數學問題往往能切入數學學科的本質，能引發學生的認知沖突，從而讓學生產生數學學習的內需力.實踐證明，好的數學問題往往使學生數學學習事半功倍.什么是好的數學問題？怎樣設計好的數學問題？筆者在實踐中展開了一些思考、探索.

好的數學問題的特質

好的數學問題既能體現數學學科的知識本質，又能催生學生的數學思維、想象；不僅是“有意義”的問題，還是“有意思”的問題.有意義，表征的是問題的數學屬性；有意思，表征的是問題的學生屬性.好的數學問題能讓學生產生新舊認知的沖突，進而引發學生的深度思考、想象與探究.好的數學問題能充分發揮問題的導學功能、育人功能，充分彰顯問題的導學價值、育人價值等.

1.好的數學問題是有意義的問題

好的數學問題，是有意義、有價值的數學問題.這種數學問題，能讓學生有效地把握數學知識的本質屬性和關聯.比如，教學“全等三角形”這一部分內容時，筆者設計了這樣兩個問題：全等三角形是怎樣的兩個三角形？至少需要幾個條件才能讓兩個三角形一定全等？這兩個問題，一個是關于全等三角形的本質性的問題，另一個是關于全等三角形的操作實踐性的問題，是關于全等三角形的判定性的問題.有了這樣兩個問題，學生的數學學習就有了相應的支撐.由于好的數學問題能體現數學知識的本質、特質，因此有極高的研究意義和價值.

2.好的數學問題是有意思的問題

好的數學問題能激發學生的數學學習興趣，調動學生數學學習的積極性，發掘學生數學學習的創造性.好的數學問題是有意思的問題.一般來說，好的數學問題能架構學生的已知和未知，是溝通學生已知和未知的橋梁.好的數學問題能激發學生的認知沖突，讓學生產生強烈的探究內需.同時，好的數學問題也能啟發、暗示學生的數學學習，能讓學生在數學學習過程中產生一些靈感、思緒、直覺等.比如，教學“一次函數”時，筆者將正比例函數引入其中，引導學生比較正比例函數和一次函數，并提出這樣的問題：正比例函數和一次函數的聯系和區別是什么？這個問題，激發了學生的比較興趣和積極性，引發學生對正比例函數和一次函數的表達式、特征、圖象等進行了全方位的檢視，使學生從中自主發現正比例函數是特殊的一次函數.在此過程中，學生不僅深刻地理解了正比例函數，還在正比例函數的學習基礎上，深入學習了一次函數.

3.好的數學問題是有困惑的問題

好的數學問題不僅能幫助學生發現問題、提出問題，更能幫助學生分析問題、解決問題.實踐證明，好的數學問題往往是能引發學生質疑的問題，能讓學生產生新的困惑和障礙.只有當學生在數學學習過程中不斷地產生新的問題，才能產生自主的、深度的研究內需.比如，教學“垂直平分線”這一部分內容時，筆者創設了一個情境化的問題：在A，B兩個村子之間要修建一所學校. A村的人要求學校距離A村近一些，B村的人要求學校距離B村近一些.如何才能做到公平呢？融入情境的問題，激發學生主動思考：要做到公平，就必須讓學校建設的地點距離A，B兩個村子一樣.如何才能讓學校距離兩個村子一樣呢？學校與兩個村子之間是怎樣的關系呢？在問題的驅動下，學生將學校、兩個村子抽象成點，并用一條線段將兩個村子連起來，從而逐步建構出線段垂直平分線的概念.

好的數學問題是學生學習數學的源頭活水，能驅動學生數學學習.教師要善于設計好的數學問題，通過好的數學問題，驅動學生數學深度學習，驅動學生數學創新學習.好的數學問題，往往切入學生的最近發展區，往往能契合學生的具體學情，能關注學生的學習特征，關照學生的學習差異等.好的數學問題，能讓學生在數學學習中的注意力更集中、思維更活躍.

好的數學問題的設計

好的數學問題不是任意性的問題，而是需要對問題進行優化“提純”.在教學中，好的數學問題往往比較貼合學生的經驗、生活，它源于教師的精心預設，源于課堂的精彩生成.在設計問題的過程中，教師要明確教學目標、內容等.教師不僅要注重好的數學問題的表征，還要注重好的數學問題的呈現形式，注重好的數學問題的引導方式等.

1.優化數學問題的“序”

設計好的數學問題不僅關注問題本身，還要關注問題與問題之間的關系.這就要求教師在設計問題時，要注重問題的“序”，要把好的數學問題建構成一個“問題鏈”“問題群”.好的數學問題是層次性、階梯性的問題，能引導學生的數學思考、探究等拾級而上.比如，教學“外接圓”這一部分內容時，給出圓的內接四邊形后，筆者設計了以下一些問題：三角形有外接圓嗎？四邊形有外接圓嗎？怎樣的四邊形有外接圓？這樣的問題，從學生的已有知識和經驗——三角形的外接圓出發，引導學生逐步探究長方形的外接圓、正方形的外接圓以及一般平行四邊形、一般菱形及任意的一個四邊形的外接圓.在問題的導引下，學生展開積極的動手實驗.通過動手實驗，學生認識到正方形、矩形等有外接圓，而其他四邊形則不一定有外接圓.那么，其他四邊形為什么沒有外接圓呢？學生會在問題的驅動下對四邊形的外接圓展開深入的探討.優化問題的“序”，讓學生的問題有順序、有方向、有層次、有針對性、有實效性等.在教學中，教師要把好的數學問題集結成一個問題鏈、問題塊、問題群等，要關注問題的關系，關注問題的整體.

2.提升數學問題的“質”

問題設計應當具有一定的綜合性、探索性.為此，教師在問題設計過程中要關注問題的“質”，要借助問題引導學生“像數學家一樣進行思考、探究”.“像數學家一樣思考、探究”不僅要求問題能導引學生建構、創造數學知識，還要求問題能導引學生形成“看問題的視角”“看問題的立場”，要導引學生形成“數學的眼光”和“數學的大腦”等.通過問題，學生充分經歷數學化、公理化、形式化的過程.換言之，問題要能導引學生充分地對數學知識進行組織、遷移和應用.首都師范大學王尚志教授認為“問題是培育學生思維的有效載體”.比如，教學“垂線段”這一部分內容時，筆者借助多媒體呈現了一個人行橫道線的視頻，引導學生提出這樣的問題：人如何行走才能讓路線最短？你能將最短的路線畫出來嗎？這樣的問題，一方面引導學生認識垂線段的本質，另一方面引導學生通過實踐操作去了解垂線段.這兩個問題將理論認知與實踐操作等結合起來，更能積累學生的基本活動經驗，讓學生掌握相關的數學思想方法，進而實現有效的導學.

3.優化數學問題的“態”

問題的“態”是指“問題的適切性”，也就是指“問題能切入學生的最近發展區”，能引導學生從“現實認知水平”過渡到“可能認知水平”.這樣的問題，能讓學生“夠得著”，同時又能夠促發學生“跳一跳”.在教學中，我們發現很多教師的數學問題設計，要么是難度過高，導致學生望而卻步；要么是沒有難度，讓學生喪失學習的興趣.優化問題的“態”，就是要讓問題具有一定的挑戰性，能導引學生通過思考、探究，獲得問題的解決，從而讓學生在數學學習過程中獲得成功感、成就感、幸福感等.同時，優化問題的“態”，還指通過問題能讓學生感悟數學的基本思想方法等.比如，教學“乘法公式”這一部分內容時，承接學生的已有認知，筆者在教學中設計了這樣幾個問題：①多項式乘多項式的法則是什么？用符號來概括.②如果我們將“（a+b）（c+d）”中的“（c+d）”改為“（a+b）”，就會出現（a+b）（a+b），也就是（a+b）2.請你利用多項式乘多項式的法則計算，你發現了什么？③如何用語言來描述你的發現？如何用符號來表達你的發現？通過這些問題，將學生的先前經驗調動起來，讓問題發揮“先行組織者”的作用，由此促進學生自主建構數學知識.

設計好的數學問題，就是優化問題的“序”、提升問題的“質”、優化問題的“態”.好的數學問題，能引導學生突破思維障礙，促進學生自主建構數學知識，提升學生的數學建模素養.問題導學是一種符合學生認知規律的教學.教師要充分發揮問題的導學、啟思功能，讓問題成為學生數學學習的重要支架、抓手等.

好的數學問題的評價

評價一個問題的好，不僅要從事實層面來展開，還要聯系具體的學習情境，從價值、意義的層面來鋪開.一般來說，好的數學問題往往能引導學生深度參與、深度體驗，能讓學生充分地經歷，能引發學生積極思考、探究.好的數學問題具有情境性、探究性、拓展性、延續性.好的數學問題，能衍生出新的問題，能引發學生深度學習.

1.好的數學問題讓學生充分經歷

學生深度學習首先需要學生充分經歷學習過程.只有充分經歷，學生才能把握數學知識的本質特征.在教學中，教師要通過問題不斷地讓學生處于一種心理失衡的狀態，在心理認知不斷提升中獲得學習進階.在這個過程中，學生能充分發揮自身的主體性，能充分感受、經歷并領悟數學知識發生、發展的過程.比如，教學“軸對稱圖形”時，筆者首先借助多媒體課件呈現了系列圖形，其中有軸對稱圖形、中心對稱圖形、不對稱圖形等.在此基礎上，筆者設計出兩個問題：一是“你能給這些圖形分類嗎？”；二是“這一類圖形有怎樣的共同特征？”.這兩個問題，讓學生充分經歷自主建構軸對稱圖形的過程，從而建構“軸對稱”“對稱軸”“軸對稱圖形”等概念.由于問題讓學生經歷了分類分析、歸類分析的過程，因此學生對“軸對稱”“對稱軸”等概念的理解較為到位.

2.好的數學問題讓學生充分實踐

好的數學問題不僅能引發學生深度思考，還能引發學生深度實踐.學生在實踐中感悟，在實踐中發展.實踐的過程，就是學生積極主動的創造過程.通過實踐，學生能對數學知識進行“再創造”，能將數學知識、技能、思想、方法等納入原有的認知結構中.同時，實踐還能促發學生彼此互動、交流.比如，教學“平行四邊形”這一部分內容時，為了讓學生認識“平行四邊形”“矩形”“菱形”“正方形”等圖形之間的關系，筆者設計出了這樣幾個問題：怎樣的平行四邊形是矩形？怎樣的平行四邊形是菱形？怎樣的平行四邊形是正方形？怎樣的菱形是正方形？怎樣的矩形是正方形？提出這些問題后，引導學生在平板上操作，從而讓學生展開積極的猜想.在此基礎上，又引導學生用數學的方法去證明.可以這樣說，問題是實踐、猜想的先導，而實踐、猜想又是數學證明的先導.

3.好的數學問題讓學生充分反思

好的數學問題能讓學生充分反思.在教學中，教師不僅要引導學生思考“怎樣做”，還要引導學生思考“為什么這樣做”.只有讓學生明晰“為什么這樣做”，才能讓學生的探索朝向同一方向.反思，不僅可以在學生活動之后，還可以在學生活動之中、活動之前.教師通過引導學生充分反思，助力學生的數學智慧生長.比如，教學“反比例函數”之后，筆者提出這樣的問題：為什么坦克的輪子上要加上又寬又長的履帶？為什么裝滿貨物的車子行駛的速度明顯減慢？等等.設計一些對生活現象的反思性問題，引導學生從反比例函數的概念走向反比例函數的應用，從而讓學生更加深刻地理解反比例函數.

好的數學問題能增長學生數學自主建構的動力，能促進學生對核心知識的感悟，還能引發學生新思考.在教學中，教師要精心設計好的數學問題，讓學生在好的數學問題的驅動下，展開深度的數學思考、實踐.好的數學問題能促進學生高階思維的發展，能有效提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養.