以遞進式探究問題引領思維進階

李冬梅

［摘? 要］ 數學教學是數學思維的教學，好的數學課堂應在數學知識形成的過程中充滿數學思維. 因此，教師要重視問題的創設，引導學生親歷知識形成的過程，以此幫助學生理解知識的來龍去脈，讓學生的學習能力和思維能力在問題的探究中得以發展和提升.

［關鍵詞］ 數學思維；數學思考；形成過程

數學概念、公式、定理等是構建數學知識體系的核心內容，是數學發展長河中留下的寶貴財富. 基于此，教學中應重視引導學生參與知識形成的過程，讓學生在理解知識的同時，認清背后所蘊含的思想方法，明確數學知識結構以及內部聯系，促使學生的思維向高階進階.

問題是數學教學的靈魂，是催化思考、引發探究的源泉. 在課堂教學中，教師應結合教學內容和學生學情創設有價值的問題，引導學生主動參與知識形成的過程，讓學生在問題的驅動下促成深度學習，切實提高學生的數學思維能力. 在教學“直線的傾斜角與斜率（第1課時）”時，筆者結合教學實際創設問題，引導學生主動參與知識的建構，在激發學生學習興趣、發展學生思維能力等方面取得了較好的效果，現將教學過程呈現給大家，若有不足，請指正！

教學分析

1. 教學內容分析

本課內容是高中平面解析幾何的開始，其在教學中的地位和作用是不言而喻的. 直線的傾斜角是這一章節所有概念的基礎，而斜率是這一章節概念的核心，理解直線傾斜角和斜率的概念是學習本章節內容的關鍵. 同時本課內容也是后續研究直線的方程、兩直線的位置關系、點到直線的距離的基礎. 另外，通過本課的學習，可以讓學生體會坐標法的初步應用，初步形成用代數法研究幾何問題的能力.

2. 教學目標

（1）掌握直線傾斜角和斜率的概念，明晰兩者的區別與聯系，會用斜率公式解決簡單的問題；

（2）體會用代數法研究幾何問題的必要性，滲透幾何問題代數化的解析幾何思想；

（3）通過親歷斜率公式推導過程，培養學生的分類討論意識，提高學生的自主探究能力.

3. 教學重點與難點

（1）理解并掌握傾斜角和斜率的概念；

（2）用代數法推導斜率公式.

教學過程

1. 體會傾斜角概念形成的過程

問題1 在平面直角坐標系中，確定一條直線的幾何要素有哪些？

筆者先讓學生獨立思考，然后點名讓學生回答，最后共同歸納總結，確定一條直線有兩種方式：①已知兩點可以確定一條直線；②已知一點和一個方向可以確定一條直線.

問題2 如圖1所示，過點O作兩條直線，試比較兩條直線的傾斜程度.

該問題旨在通過對比分析讓學生明確確定基準的必要性. 在教學中，筆者沒有直接將規定呈現給學生，而是通過互動交流讓學生親身體會，讓學習自然而然地發生. 教學片段如下：

師：說一說你的理由.

師：哦！如果我將兩條直線轉一轉，你又有什么發現呢？（出示圖2）

師：其實剛剛在判斷直線的傾斜程度時，沒有明確水平位置，所以解釋起來比較困難. 如圖3所示，現將未旋轉的兩條直線放入平面直角坐標系中，此時如果用數學語言描述其傾斜程度，你覺得用哪種數學量來刻畫比較好呢？

生3：可以用直線與x軸的夾角來刻畫.

師：哦，是嗎？如圖4所示，此時兩條直線的傾斜程度是否相同呢？

生3：兩條直線與x軸的夾角都是60°，相同吧？

生4：如果相同就是一個角對應兩條直線，也就很難做到一一對應了.

師：很好，分析得非常有道理，為了做到一一對應，規定：當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角. 現在你們認為，圖4中兩條直線的傾斜程度還相同嗎？

生齊聲答：不相同.

筆者用PPT給出傾斜角的概念，讓學生進一步理解和記憶.

設計意圖 筆者沒有直接給出傾斜角的概念，而是巧設問題引導學生關注研究問題的標準，讓學生在互動交流中體會傾斜角的基本特征，形成傾斜角的概念，為接下來探究活動的開展打下堅實的基礎.

2. 明確代數法研究的必要性

問題給出后，筆者預留充足的時間讓學生自主探究，然后與學生互動交流.

生5：看上去兩條直線是平行的，所以它們的傾斜角一樣大.

師：如果讓你去驗證，你想如何驗證呢？

生5：可以用量角器量傾斜角.

師：哦，是個辦法，不過我們知道測量一般會產生一定誤差，有沒有其他辦法可以精準確定它們的大小呢？

生6：測量有誤差，可以嘗試用計算的方法來解決.

師：說說你的思路.

生6：可以根據點的坐標計算傾斜角的三角函數值，這樣通過比較三角函數值就可以知道哪條直線的傾斜角更大一些了.

師：非常好，你想利用哪個三角函數值來比較呢？

生6：我想利用正弦值來比較.

師：計算正弦值時可能會遇到哪些麻煩呢？

生6：求A，B兩點之間的距離比較麻煩.

師：有沒有什么辦法可以不用計算A，B兩點之間的距離呢？

生7：計算正切值就可以規避這一麻煩，只需要知道兩點坐標就可以得到傾斜角的大小.

師：請說一說你的求解過程.

師：很好，這里的正切值我們稱為斜率.

筆者用PPT給出斜率的定義（內容略）.

問題4 根據以上探究結果可知，傾斜角和斜率都可以刻畫直線的傾斜程度，兩者有何不同？你認為用哪個量刻畫更優越呢？

學生通過交流一致認為，用斜率來刻畫更優越，因為傾斜角是從形的角度來刻畫的，而斜率的實質是代數，是從數的角度來刻畫的，顯然用數來刻畫更細致入微.

設計意圖 借助兩條傾斜角非常接近的直線讓學生進行思考辨析，體會用觀察、測量等手段很難判斷直線的傾斜程度，讓學生體會用代數法研究傾斜程度的必要性，由此自然引出斜率的概念. 另外，筆者有意識地引導學生通過對比體會利用正切值表示斜率的優越性，從而為接下來斜率公式的推導打下堅實的基礎.

3. 嘗試推導，深化認知

問題給出后，筆者讓學生以小組為單位嘗試推導. 在此過程中，筆者啟發學生在平面直角坐標系中畫出不同的直線. 幾分鐘后，很多小組已經完成了推導，筆者讓各小組展示交流結果，其他小組進行點評.

生8：我們小組是分兩種情況討論的，圖7①為傾斜角是銳角的情況，圖7②為傾斜角是鈍角的情況. 推導過程如下：

設計意圖 通過前面的鋪墊，學生掌握了推導斜率公式的思路，于是筆者將主動權交給學生，讓學生獨立完成斜率公式的推導，以此培養學生的邏輯推理能力. 在此過程中，滲透了特殊到一般、分類討論等數學思想，促進學生數學思維能力的發展.

4. 練習鞏固，深化理解

問題6 已知A（4，2），B（－8，2），C（0，－2），求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷它們的傾斜角是什么角.

問題7 在平面直角坐標系中，請分別畫出過坐標原點且斜率分別為1，－1，3，－4的直線.

學生獨立求解，筆者巡視，并針對性地進行指導. 問題6主要考查斜率公式的掌握情況，滲透數形結合思想方法；問題7主要考查學生的數形結合意識及靈活應用斜率公式解決問題的能力.

設計意圖 練習是鞏固新知的必經之路，一方面可以加深學生對斜率公式的理解，另一方面為后續研究直線的方程埋下伏筆.

5. 課堂小結，提升能力

問題8 通過本課的學習，你有哪些收獲？

設計意圖 通過對知識、方法、思想等進行有效的反思與回顧，加深學生對新知的理解，幫助學生建構知識體系，促進學生的學習能力和思維能力向更高層次進階.

教學思考

數學教學不僅要關注學生對知識的掌握，更要關注學生能力的提升，要讓學生學會學習，獲得可以持續學習的必備品格和關鍵能力. 為了這一目標的達成，教師應為學生設計合適的教學情境，提出合適的數學問題，引導學生親歷數學知識形成的過程，以此讓學生理解知識的同時，提高學生的數學思維能力，促進學生數學學科核心素養的形成和發展.

教師作為課堂教學的主導者，要不斷學習、探索、實踐，結合教學實際創設符合學生認知規律的問題情境，推動學生的思維向高階進階. 在本課教學中，通過遞進式問題的創設引導學生經歷傾斜角概念、斜率概念、斜率公式的形成過程，讓學生理解并掌握相關知識，靈活應用相關知識解決問題，促進學生思維能力的發展和自主探究能力的提升. 同時，通過遞進式探究問題的創設，給學生更廣闊的思考空間，充分體現學生的主體價值，激發學生的學習積極性，讓學生的學從被動走向主動，促進學生數學學科核心素養的提升. 問題情境的創設在教學中發揮著舉足輕重的作用. 在創設教學情境時，筆者認為教師應注意以下幾點.

1. 體現概念形成過程

數學概念是在生產生活中逐漸抽象而來的，數學概念的形成有其生動具體的實際背景，因此在概念教學中，教師要帶領學生經歷概念形成、發展和應用的過程，讓學生明白概念的來龍去脈，以便學生可以靈活應用概念解決問題. 在設計問題情境時，教師要重視概念出現的條件及它的獨特性，引導學生在具體情境中提煉并弄清概念的本質屬性，培養學生思維的嚴謹性和深刻性.

例如，在教學“直線的傾斜角”的概念時，筆者通過創設遞進式探究問題讓學生體會“基準”“正向”的作用和價值，以此加深學生對概念的理解，感受概念的嚴謹性；又如，在引出斜率的概念時，通過對比分析讓學生體會引入正切值的優越性，滲透用代數法研究幾何問題的解析幾何思想.

2. 關注學生思考過程

在課堂教學中，教師常常會遇到這樣的情況：教師反復講、重復練，但是學生遇到同類問題時還是不會做. 究其根源，與教師的教息息相關：教師成為課堂上的“主角”，學生成為課堂上的“觀眾”，學生并未真正參與其中，因此學生對知識的理解是淺層的、瞬時的，不能形成長久的、深刻的記憶，自然影響學習效果. 基于此，教師在教學中應該通過創設問題情境來展示學生的思考過程，幫助學生厘清知識的來龍去脈，以此實現知識的融會貫通.

例如，在推理斜率公式的過程中，筆者切實通過相關問題引導學生自主完成斜率公式的推導，不僅讓學生全面深刻地理解了斜率公式，而且培養了學生的合作探究能力，促使學生數學抽象、歸納概括等能力得以提升.

總之，在高中數學教學中，教師要重視創設適當的問題情境，引導學生經歷知識形成的過程，讓學生明白如何做，為什么這樣做，切實提高學生學習的主動性和積極性，幫助學生形成理性的思維習慣，助力學生全面發展.