宏觀布局 微觀落實

【摘要】教材是課程標準的載體，是對課程標準的再創造，是具體化了的課程標準，是對課程標準的詳細闡述.《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的四條編寫建議是教材編修的“宏觀要求”.在修訂青島版教材時，全面落實這些宏觀要求，充分體現了“宏觀布局，微觀落實”的原則.對“圓的再認識”一章從三個方面落實了這個原則.

【關鍵詞】課程標準;教材編修;編修原則;圓的再認識

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）指出“數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.”《課標（2022年版）》針對教材編寫建議，提出了四條具體建議：（1）體現核心素養培養要求；（2）有利于引發學生思考；（3）素材選取要貼近學生的現實、真實可信；（4）注重教材創新[1].

以上建議是教材編寫的“宏觀要求”，我們在編寫過程中必須以此為依據，認真研讀每一條具體建議，把握其“要義”，以此為“指導”，努力編寫出體現《課標（2022年版）》課程理念的教材.

為達此目的，教材編寫人員應遵循很多“原則”，筆者認為，“宏觀布局，微觀落實”是重要的原則之一.筆者以青島版教材“圓的再認識”一章為例，談談是如何落實這個原則的.1教材編修應宏觀上統一布局

教材編修需要有宏觀布局，總體規劃.《課標（2022年版）》在第四學段共提出的157條“課程內容”（含選學內容）要求，在教材編修前，應該對這些內容提出整體布局，規劃設多少章，每章多少節.針對每一章（節）內容，要根據《課標（2022年版）》在描述該內容前面使用的動詞，制定出詳細的編修計劃，具體到每一節應落實的課程目標.

例如，關于“圓”的內容，《課標（2022年版）》在“課程內容”中提出了10條具體要求[1]67.對于這些內容，青島版教材“宏觀”上的布局表現在：

1.分兩次呈現圓的內容

對于《課標（2022年版）》提出的10條課程內容，青島版教材是分兩次設計的：

第一次，在七下第12章“平面圖形的認識”中，對于圓的知識作了初步的介紹，要求學生能理解圓、弧、弦的概念，了解等圓、同心圓的概念，探索點與圓的位置關系.

第二次，在九上第4章“圓的再認識”中，完成上面10條中，除了七下第12章“包含”內容后余下的課程內容的設計.

2.精心選定章頭圖，編寫章引言

青島版教材《實驗版》非常注重章頭圖的選用和章引言的編寫.全套教科書的每一章開始，都選用了一個與本章內容相關的章頭圖.這次修訂，在章頭圖的選定上，在“立德樹人”總方針的指導下，重點考慮了下面幾點：

（1）有助于學生理解本章的有關知識；

（2）能調動學生思考問題的積極性；

（3）引起學生學好本章內容的興趣；

（4）能激發學生對祖國大好河山的熱愛，增強學生的民族自豪感和努力學習的決心；

（5）能對學生進行思想道德教育，給以科學文化的熏陶.

在反復思考、多次討論的基礎上，將“圓的再認識”一章的章頭圖確定為“筒車”，并設計了下面的引導語（圖文并茂）：

筒車是我國隋唐時期發明的一種水利灌溉工具，距今已有一千多年的歷史.明朝科學家徐光啟在《農政全書》中描繪了筒車的工作原理.將筒車竹筒的運行軌道看作以軸心為圓心的圓.

（1）若在筒車圓周上均勻設置一些竹筒，怎樣確定這些竹筒的位置？

（2）竹筒的軌道沒入水中的部分有多長？

（3）竹筒轉到最高位置時離水面多高？

這些問題的解決需要用到圓的知識.圓是基本的幾何圖形，具有軸對稱性、中心對稱性和旋轉不變性.本章我們將進一步認識圓的性質，研究圓的弦、弧、圓心角以及圓周角等相關元素之間的關系；了解直線和圓的位置關系、正多邊形和圓之間的關系；探究圓的弧長、扇形面積的計算方法.

圓是一種優美的曲線圖形，具有獨特的性質.圓與三角形、四邊形等平面圖形相融合，開啟了幾何探究的新旅程.

筒車通過兩個大輪，將低處之水帶向高處，結構奇特，為我國古代人民的杰作.這樣的引導語能對學生進行愛國教育，激勵他們從小立下為實現國家的強盛而努力學習數學的愿望.

2微觀上具體落實布局

這次編修，我們認真學習了《課標（2022年版）》的全部內容，深刻理解課程理念，逐條分析課程性質、目標、內容等，特別是對于《課標（2022年版）》給出的四條教材編寫建議，我們反復研讀，努力在教材的內容結構、內容組織、內容呈現、欄目設置、習題編排等方面有所突破.本次編修，對于“圓的再認識”我們重點考慮了下面幾個問題：

2.1對教材內容的整合

我們反復研讀原教材關于“圓”的內容，根據《課標（2022年版）》提出的“對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的途徑”的“課程理念”要求，結合前期實驗調查中教師提出的問題，這次編修對圓的10條課程內容進行了整合，“整合”主要體現在下面四個方面：

1.修改了名稱

本章原教材的名字叫“對圓的進一步認識”，現更名為“圓的再認識”.

2.調整了位置

本章內容在原教材九上第3章，這次調整為九上第4章.

3.對內容進行了大膽的整合

本章原來有7節課，這次整合為6節.

內容的整合主要體現在前三節的兩個地方，為便于老師們研究教材，我們給出了整合前后兩個版本中的標題、課時數以及課程內容對照表，見表1和表2.

說明原教材圓周角定理的推論1是“圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半”，這次修訂時，我們刪掉了這個推論.

4.調整了課時

《課標（2022年版）》增加了“綜合與實踐”活動的要求，本次修訂后全套教材共設計了12個綜合實踐活動，每個活動3課時，每冊2個.原教材九上設“綜合與實踐”活動1個占2課時，這次修訂為了保證綜合實踐活動的時間，我們把原來的18課時（含回顧與總結2課時）調整為16課時（含回顧與總結2課時）.

2.2圍繞三個“主欄目”設計問題系列

為了更好地充分體現《課標（2022年版）》提出的“三會”目標，我們這次修訂將原教材的“實驗與探究”“觀察與思考”“交流與發現”三個欄目調整為“觀察與發現”“思考與交流”“概括與表達”.

這三個欄目依次側重于培養學生的“用數學的眼光觀察世界”“用數學的思維思考現實世界”“用數學的語言表達現實世界”素養.這些素養都是在教師精心設計的問題引導下，學生通過參與各種數學活動的過程中逐步形成與發展起來的.

例如，在“圓心角和圓周角”的第1課時，主要內容是引導學生研究“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.”本課時三個欄目齊全，為方便讀者，今將本課時教材內容抄錄如下：

將圓繞其圓心旋轉任意角度，所得的圖形與原圖形重合.由此能得到圓的哪些性質呢？

【觀察與發現】

如圖1，在⊙O上任取兩點A，B，連接OA，OB，得到∠AOB.像∠AOB這樣，頂點在圓心的角叫作圓心角（central angle）.

如圖2，在⊙O，∠AOB=∠A′OB′.將扇形AOB以點O為旋轉中心按逆時針方向旋轉，使半徑OA與OA′重合.你有哪些發現？

設計意圖本套教材中的“觀察與發現”欄目主要培養學生“用數學眼光觀察現實世界”的素養.本課時中“觀察與發現”的意圖有二：一是引導學生在觀察圖1的基礎上，抽象出∠AOB的本質特征——頂點在圓心，給出圓心角的概念；二是借助于圖2，由兩個圓心角相等，猜測出兩條弧相等以及弦相等.對于學生的發現，教材采用“對話”的方式由卡通人物說出來，增強了教材的可讀性.

根據《課標（2022年版）》的界定，數學眼光主要表現為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創新意識[1]5.學生通過觀察圖1，概括出角本質的過程中，有助于抽象能力的培養；在觀察圖2，思考“有哪些發現”的過程中，能培養幾何直觀、空間觀念以及創新意識等素養.

【思考與交流】

（1）前面得到的結論正確嗎？為什么？

因為∠AOA′=∠AOB′+∠B′OA′，∠BOB′=∠BOA+∠AOB′，∠AOB=∠A′OB′，所以∠AOA′=∠BOB′.由于旋轉后半徑OA與OA′重合，∠AOB=∠A′OB′，因此半徑OB與OB′也重合，即點A與A′重合，點B與B′重合.

所以AB與A′B′重合，弦AB與A′B′重合，即AB=A′B′，AB=A′B′.

（2）上面的這些結論在等圓中成立嗎？

設計意圖在“思考與交流”欄目我們設計了兩個問題，其中問題（1）是證明卡通人物所發現結論的正確性.事實上，“觀察與發現”欄目給出的問題是根據“兩個圓心角相等”推出“弧相等、弦相等”，如果給定的是兩條弧相等或兩條弦相等，則可以推出其余的結論成立.由于教材版面有限，我們不可能逐一探討，于是由卡通人物進行了總結.至此，問題1已經完成了本課時的課程內容.設計問題2的目的是說明上述結論在等圓中也是成立的.這為后面的“概括與表達”奠定基礎.

學生在思考交流上面兩個問題的過程中，有助于培養運算能力、推理能力等素養，提高了學生“用數學的思維思考現實世界”的能力.

【概括與表達】

定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.

設計意圖《課標（2022年版）》在“課程內容”中界定的數學概念、公式、規律、性質定理、判定定理等，我們在本套教科書中都是用“概括與表達”給出的.這個欄目主要用于培養學生“用數學的語言表達現實世界”的能力.

本課時，在學生通過“思考與交流”欄目中兩個問題的思考后，結合“卡通人物”的敘述，大部分學生能自己概括、總結出上述定理.

2.3根據學習內容及時解決章引言中的問題

教材在章引言中宏觀提出了三個問題，在教材編修過程中，我們根據課程內容，將這三個問題“適當適時”予以解決.

1.問題3的解決需要用到“垂徑定理”.

我們在4.1“圓的軸對稱性”的第1課時，學習了垂徑定理后，把“章引言”中的問題3設計成下面的例題：

例1圖3是章引言中筒車的平面示意圖.若⊙O被水面截得的弦AB長為6m，∠OAB=45°.當點C為運行軌道的最高點時，求點C到弦AB所在直線的距離.

設計意圖學生剛學習了垂徑定理，為了引導學生靈活運用這個定理解決“章前言”中的第三個問題，我們設計了這個例題.目的是在學生明確“筒車”工作原理的基礎上，通過閱讀、分析題意，獨立畫出圖4.在此基礎上，通過分析圖中的已知和未知，在獨立思考的基礎上，能正確添加輔助線（連接CO并延長交AB于點D），從而把求“點C到弦AB所在直線的距離”問題，轉化為求線段CD的長度問題.這里再根據勾股定理把幾何問題轉化為代數運算問題.

2.問題2的解決要用到“弧長”的知識.

問題（2）的解答要用到“弧長”的計算公式，我們在學習了4.5“弧長與扇形面積”后，根據問題2設計了下面的習題作為習題4.5“拓展延伸”中的第1道題：

如圖5，扇形AOB的圓心角為120°，弦AB長為23m.求弧AB的長及陰影部分的面積.

設計意圖為了解決章前言中的第二個問題，我們設計了這個問題.本題分為兩個小題：問題（1）目的是讓學生在具體問題中直接應用剛學習的弧長計算公式進行計算，既可以加深學生對弧長計算公式的理解，又可以培養學生的數學運算能力以及模型觀念等素養.問題（2）中陰影部分的面積可以轉化為用扇形OAB的面積和△OAB的面積差來表示，這個小問題可培養學生的觀察、發現能力以及幾何直觀等素養.

3.問題2涉及正多邊形的畫法.

在4.6“正多邊形與圓”的第2課時主要研究了“正多邊形”的畫法，在編修時，我們根據章前言中的問題（3），設計了下面的例題：

例2如圖5，章引言中的筒車是以軸心O為圓心的圓，若在圓周上均勻設置30個竹筒.應如何確定竹筒的位置？

設計意圖學生通過學習4.6第二課時的內容，已經知道了要“畫圓內接正n邊形，可以通過把圓n等分”來實現.我們把章引言中的第三個問題改造成上面的例題，目的是引導學生根據本課時所學內容，能用量角器給出下面的畫法：

①用量角器畫圓心角∠A1OA2=∠A2OA3=…=∠A29OA30=12°；

②各分點A1，A2，A3，…，A30就是竹筒的位置（圖7）.

3編修中注意數學語言的準確性

教材是課程標準的載體，是對課程標準的再創造，是具體化了的課程標準，是對課程標準的詳細闡述.數學教材使用的是數學語言.數學語言的基本特點主要指以下三點[2]：一曰簡練.數學語言之精煉，一方面體現于量上之“少”，一方面則見著于質上之“精”.我們可以借“增之一分則太長，減之一分則太短，著粉則太白，施朱則太赤”來作為對數學語言之簡練特點的文學形容.二曰嚴密.數學語言作為一種科學語言，它的嚴密特點是數學科學、數學思維的嚴密性、邏輯性的反映.三曰精確.數學語言精深確定的表達功能與日常語言粗淺模糊的表達效能是一個差別鮮明的對比.

教材內容的科學性，邏輯的嚴密性，語言的規范性、準確性等方面要求都非常嚴格.原來的教材在使用數學語言方面仍然存在很多需要進一步“完美”的地方，對這些地方我們在修訂時進行了及時“糾正”.

如原教材中有把“求半徑”與“求半徑的長”混為一起.我們知道，圓的半徑是一條線段，這條線段是有長度的，線段的長度是個實數.把二者“混用”主要表現在兩個地方：

一是定義方面.例如原教材P110，有一個定義“內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距”，這個定義是有問題的，這次修訂我們改為“內切圓的半徑長叫作正多邊形的邊心距”等等.

二是計算問題.在多處關于圓的計算問題中，原教材把求“半徑”與“半徑的長”混在了一起，不加區分.

如原教材P69頁的例2：

1400多年前，我國隋朝時期建造的趙州石拱橋（圖8）的橋拱近似于圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.02m，拱高（弧的中點到弦的距離，也叫弓形的高）為7.23m.求橋拱所在圓的半徑（精確到0.1m）.

原題的本意是求半徑的長，但是寫成了“求拱橋所在圓的半徑”.顯然把“半徑”與“半徑的長”“混用”了，所以說原教材的表述是不準確的.

許多老師在課堂上也常常有把“半徑”和“半徑的長”相混的現象，這是教師教學基本功不過硬的表現之一，這樣的語言容易給學生造成“誤解”，不利于“會用數學的語言表達現實世界”這一課程目標的實現.

這次修訂，我們對有關“趙州橋”的歷史、數據等進行了進一步考證，將其設計為習題4.1中的第5題：

趙州橋是我國古代單孔敞肩石拱橋的典范，距今已有1400多年的歷史.如圖9，趙州橋主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m.求趙州橋主橋拱半徑r的長（結果精確到1m）.

注：原教材中，上面兩個圖形是左右并排的，序號用一個.再如，原教材P74的習題3.1中的第1題“如圖10，P是⊙O的弦BA延長線上的一點，BA=AP=2，OP=5.求⊙O的半徑.”

我們也進行了修改，題的條件沒變，只是把“求⊙O的半徑”改為“求⊙O的半徑長”，將其作為習題4.1中的第2題.

以上是我們對“圓的再認識”一章的編修情況，希望大家在使用時多提寶貴意見.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程課標：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：92-96.

[2]薛茂芳.數學概念及其教學：修訂版[M].北京：光明日報出版社，2013：179-181.

作者簡介李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學正高級教師；臨沂大學學生學業導師，山東省教育科研先進個人，山東省創新教育先進個人，義務教育初中數學教材（青島版）的核心作者;中國人民大學《復印報刊資料·初中數學教與學》編委，湖北大學《中學數學》特約編委，三次獲山東省教學成果獎;已被中國人民大學《復印報刊資料·初中數學教與學》全文轉載37篇.