基于ISM法的中英初中數學教材比較研究

吳佳敏　林子植

摘? ? ? 要 ISM法（解釋結構模型）經過修正和實踐已經是一種比較成熟的分析教材結構的科學方法。運用ISM法對中國滬教版和英國CCM版初中數學教材中“概率”內容的知識結構進行分析，通過抽取知識要素、確定要素間關系和鄰接矩陣、繪制要素層級分布圖，對教材的邏輯順序從起始要素安排、知識要素選取、各要素間關系和最高要素安排四個方面的異同點進行梳理和對比?；谘芯拷Y果對教材編寫提出知識要素的選取注重知識的深度和聯系性；知識結構的編排重視內在邏輯緊密和整體化；知識要素的價值取向加強與跨學科內容融合的建議。對教師教學提出基于知識要素的呈現特點把握教學重難點；基于知識結構的編排優化大單元教學設計；基于知識編排的順序統籌規劃教學序列的建議。

關 鍵 詞 解釋結構模型法（ISM法）；初中數學教材；概率；知識要素層級；中英教材比較

引用格式 吳佳敏，林子植.基于ISM法的中英初中數學教材比較研究[J].教學與管理，2024（12）：73-77.

2022年教育部頒布《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022版）》），為全面落實立德樹人的根本任務和進一步深化課程改革提供了綱領性文件[1]。教材作為課程標準的重要載體，是課程標準的具體化，在基礎教育改革中處于基礎性、戰略性的地位。隨著基礎教育課程改革的不斷推進，中小學教材的研究逐漸成為數學教育研究的熱點[2]。教材知識內容的編寫質量和順序結構對課程改革的成敗起著舉足輕重的作用[3]。國內外教材的對比研究是編寫和完善教材的重要途徑之一，通過對比我國與不同國家的教材，借鑒他國教材中的長處，從而完善我國教材。

ISM（Interpretive Structural Modeling Method）法，即解釋結構模型法，是一種運用于解決較為復雜的社會經濟系統問題的理論方法。在當前的教學理念中，ISM法可以將教材內部知識要素凌亂錯落的關系，結合自身主觀認識和經驗整理成客觀清晰的結構模型[4]，對教材的結構進行量化分析最終以可視化的方式呈現，構建教材的知識結構模型，促進教師和學生對教材的理解。隨著對ISM法研究的不斷深入，發現有不少學者將ISM法運用于地理、物理、化學和數學等多個學科領域的教材分析中。原玉娟和徐章韜用ISM法分析人教A版高中數學必修系列5冊教科書，指出教科書的教學序列安排[5]；呂超等人結合《拋物線》實例展示將ISM法應用于教材分析的意義[6]；曹月使用ISM法分析人教A版和北師大版指數函數和對數函數，得到兩個版本教材關于指對函數的編寫特點[7]；楊莉運用ISM法對人教版、英國CIE版以及澳大利亞IB版關于高中數學教材的“復數”內容實際編排順序進行比較分析，得到各個版本的要素之間的關系[8]；鄭金借助修正后的ISM法對人教A版和蘇教版數學必修4的各章知識內容進行梳理，得出不同編排順序的優劣勢[9]。

ISM法經過修正和實踐已經是一種比較成熟的分析教材結構的科學方法，但從已有的研究中發現涉及數學學科領域的教材分析較少，主要集中在高中數學教材分析，且以國內的各個版本的比較為主。在大數據時代，概率素養是當今公民需要具備的一項不可或缺的數學素養[10]。因此，本文以“概率”內容為例，通過借助ISM法對上海教育出版社出版的初中數學教材和英國劍橋大學出版社出版的《Cambridge Checkpoint Mathematics》（以下簡稱“滬教版”和“CCM版”）進行比較，以期為新教材編寫工作提供理論依據，為教師教學提供一定參考。

一、研究設計

1.研究對象

課程標準在各個國家的教育改革中起著綱領性的作用，是教材編寫的主要依據。本文選取了2019年出版的中國滬教版初中數學教材和2013年出版的英國CCM版初中數學教材作為研究對象。兩個版本的教材是根據各自國家的課程標準編寫，中國滬教版依照2004年《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》[11]，英國CCM版依照2007年《國家數學課程》進行編寫[12]。根據兩個版本教材中關于“概率”的內容要求，選取兩個版本教材關于“概率”的具體章節內容（見表1），其中滬教版涉及“概率”的章節分布在八年級下冊第二十三章“概率初步”，CCM版涉及概率的章節分別分布在七年級Unit16 Probability、八年級Unit15 Probability和九年級Unit16 Probability。

2.研究方法

運用ISM法可以將教材內部知識要素間雜亂無章的關系整理成清晰明確的遞階結構模型，對教材進行量化研究形成相應的知識結構圖，以此實現教材分析的科學性、嚴謹性和直觀性。ISM法分析教材的具體操作步驟如圖1所示。

3.研究過程

（1）抽取知識要素

按照研究方法對知識要素進行抽取，結合兩國課標中關于“概率”的內容標準整理知識要素，為了保證教材研究的科學性和客觀性，知識要素的抽取要滿足以下三個條件：①教材明確提出且字體加粗的概念；②教材主要的知識點；③在教材中處于承上啟下的地位。結合這三個條件，對滬教版和CCM版“概率”內容主題抽取知識要素，并對其進行編碼（見表2）。

（2）確定要素間關系，形成鄰接矩陣

根據ISM法的規定，為了最大程度減少確定要素間形成關系的主觀判斷，明確要素間的關系，需準確把握教材的知識結構，按照教材的實際編排順序。若學習者想掌握要素S2，則先要學會和掌握要素S1，則稱要素S1和S2之間存在“直接關系”，稱S1為先行要素，S2為可達要素。根據表2抽取的知識要素和上述定義，對滬教版和CCM版的“概率”知識要素進行“直接關系”分析（見表3）。

根據滬教版和CCM版教材關于“概率”知識要素直接關系表，形成鄰接矩陣。對表3進行分析形成雙向形成表格，其中縱軸表示“先行要素”，橫軸表示“可達要素”，兩者若有直接關系，則用“1”標記，若兩者不存在關系則用空格表示，其次將滬教版和CCM版的雙向形成表格用鄰接矩陣表示，根據可達要素的個數（M），繪制一個M*M的矩陣，在矩陣中將雙向形成表格中的空格用“0”來表示，表格中“1”不變，將鄰接矩陣定義為A，得到鄰接矩陣后利用Matlab軟件進行編程求出可達矩陣P，其中表示可達要素到要素之間存在直接或間接的關系，0表示可達要素到要素之間不存在直接或間接的形成關系（不考慮兩個要素之間鏈接路徑的長度）。

（3）形成要素層級分布圖

根據可達矩陣運算要素層級分布并繪制要素層級分布圖。首先明確可達和先行集合的概念定義：可達集合P（si）是從要素si出發能到達的全部知識要素的集合；先行集合A（si）是所有能達到的知識要素si的集合。若滿足P（si）∩A（si）=P（si），則稱要素si為該層級的最高層級。通過以上步驟，對滬教版和CCM版的“概率”知識要素進行處理，得到兩個版本知識要素層級分布表（見表4）。

根據表4的兩個版本“概率”知識要素層級分布表可以發現，滬教版有10層目標，CCM版有9層目標，從低層到高層繪制要素層級有向圖（如圖2）。

二、研究結果與討論

通過上述步驟得到滬教版和CCM版關于“概率”知識要素層級有向圖，可以發現滬教版一共涉及10個層級，CCM版涉及9個層級，根據兩個版本的層級有向圖從起始要素安排、知識要素選取、各要素間關系和最高要素安排四個方面進一步比較。

1.起始要素安排的異同

要素層級有向圖中最低層級的要素，只有指出箭頭，沒有指入箭頭。滬教版和CCM版的起始要素略有不同，但均是讓學生明確事件發生的可能性。滬教版選取“必然事件”作為起始要素，描述在一定條件下必定會出現的現象。采用4個日常生活例子引出關于不同事件的概念，引導學生從現實生活情境中初步理解概率知識。CCM版以“可能事件”作為起始要素，描述某一事件發生的可能性，直接通過給出事件發生可能性大小的程度副詞的相關定義，幫助學生理解在特定條件下某一現象發生的概率大小?？梢钥闯?，兩個版本教材均在起始要素中滲透事件發生的可能性大小，感悟數據的隨機性，初步形成數據意識。

2.知識要素選取的異同

通過對兩個版本“概率”知識要素進行比較，發現中英教材對知識要素的選取存在共性與差異。首先從數量上，滬教版一共有12個知識要素，CCM版有15個知識要素，相差不大。其次從具體要素的選擇上，兩個版本教材關于“事件及其發生的可能性”上涉及知識要素的分類大體一致，其中滬教版的“枚舉法”和“樹形圖”對應CCM版的“樣本空間圖”，CCM版囊括滬教版其他知識要素，雖命名稍有差異，但所指知識點內容是一致的。然而，CCM版比滬教版多“概率度量”“相對頻數”和“互斥事件”等知識要素?！案怕识攘俊庇媚呈录l生的概率作為度量標準，是一個[0，1]之間的實數，等價于滬教版中的“古典概型”，但滬教版未將其進行細分?！跋鄬︻l數”指相對于總數出現的次數，滬教版將其體現在頻率中，未將其單獨列出?！盎コ馐录笔菧贪嫖瓷婕暗闹R要素，是兩個版本關于知識要素的主要不同點，國內關于“互斥事件”的知識要素在高中學段才出現明確定義，而CCM版在初中階段出現。

3.各要素間關系的異同

通過比較兩個版本知識要素層級有向圖發現，兩個版本在層級的分布編排上大體按照“事件及其發生的可能性大小—事件的概率—概率的計算”這一邏輯順序循序漸進地呈現知識點內容。這種教材的編排方式符合學生認知發展規律，有利于學生由簡單到復雜、由具體到抽象，循次而進地加深對于“概率”知識的理解。在具體知識的邏輯編排上，兩個版本具有一定區別。滬教版和CCM版對于“事件及其發生的可能性大小”的相關概念采取不同的處理方式，滬教版按照必然事件、不可能事件到確定事件，從隨機事件到很可能發生事件再到很不可能發生事件的次序依次展開，既包括歸納順序也有演繹的邏輯順序，CCM版主要以歸納的邏輯順序進行編排知識點內容，從可能事件到不可能事件再到確定事件，讓學生明晰事件發生可能性大小的相關概念。

4.最高要素安排的異同

要素層級有向圖中最高層級的要素，只有指入箭頭，沒有指出箭頭。滬教版牽涉的兩個最高要素分別為“概率估計值”和“樹形圖”，通過畫樹狀圖的方法求出簡單隨機事件的所有可能結果，借助樹狀結構的分層特征，對某一事件發生的可能情況進行逐一枚舉，從而直觀求解，能夠領悟在大量重復試驗下，隨機事件發生的頻率具有穩定性，通過頻率估計概率，初步構建學習概率內容所需的知識和方法。CCM版涉及四個最高要素分別為“隨機事件” “互斥事件”“樣本空間圖”和“相對頻數”，均是學習概率內容的最高要素，明晰“隨機事件”和“互斥事件”的概念對計算和理解概率具有重要作用，“樣本空間圖”讓學生學會列舉所有可能發生情況，“相對頻數”是學生通過列舉之后進行統計所有可能發生的數量，鞏固先前所學事件發生的可能性大小及概率求解的知識點內容。兩個版本均將枚舉法作為最高層級的知識要素，說明該知識要素是初中階段學習概率內容的基本技能。

三、思考與建議

通過ISM法對中英兩個版本初中數學教材“概率”內容的知識結構進行比較分析，試圖把教材中關于概率內容的知識要素間的實質聯系以層級有向圖進行直觀地展示，有助于研究者和教師更好地把握教材知識結構，為教材的編寫和修訂，教師的教學提供一定的參考。

1.關于教材編寫的建議

（1）知識要素的選取注重知識的深度和聯系性

在選取知識要素時，CCM版教材注重初高中內容的銜接，因此需要考慮知識的縱向和橫向聯系，利用知識間的聯系和恰當的數學方法來促進深度學習，有利于學生高階思維的發展[13]。高中知識的抽象概括性和初中知識具有一定跨度，這需要在初中階段適當增加某些內容領域的基礎知識要素，為之后學習打下基礎。概率和統計相輔相成，需以聯系的眼光看待。概率是推斷統計的理論基礎，概率是在特定條件下可收集到的研究數據，而推斷統計是根據已有數據進行推測[14]。因此，教材對于概率知識要素的選取要為后階段學習打下基礎，同時注重與統計內容的聯系。

（2）知識結構的編排重視內在邏輯緊密和整體化

CCM版在知識要素的邏輯編排上非常緊密，考慮學生現有的認知結構，并妥善地編排了各個知識要素。在充分理解課程標準和學生原有認知結構的基礎上，教材的編排應注重知識之間的內在聯系，并實現知識之間的相互轉化，這有助于提高學生的思維品質，并促進學生構建完整的知識體系[15]。最新研究指出，學生需要先理解樣本空間，即通過枚舉法列舉出試驗的所有可能結果，才能量化某個事件發生的概率。因此，教材在概率內容的編排上應基于學生的認知水平，逐步過渡從定性認識到定量認識，從感知隨機性到了解簡單隨機事件中所有可能發生的結果，并逐步感知和描述可能性的大小——事件概率[16]。

（3）知識要素的價值取向加強學科內容融合

兩個版本在“概率”內容知識要素的選取上涉及該內容領域的核心概念，而數學具有方法的普適性、應用的廣泛性和理性思維的獨特性等特點，因此數學與其他學科融合有利于培養學生的數學核心素養[17]，以跨學科思維確定知識要素的價值取向，有助于學生系統地建構知識網絡。選擇學生熟悉的跨學科知識要素素材，以合適的問題情境創設，不僅能引導學生進行數學地分析、思考和反思，還可以激發學生的創新意識[18]，例如將航空航天、農業、醫學、藝術、科學、工程、信息等對國家發展重要的知識素材融入到概率內容中，學生可以積累在未來從事的工作中通過概率知識來解決問題的經驗。

2.關于教師教學的建議

（1）基于知識要素的呈現特點把握教學重難點

概率統計的目的是為了解決問題，而概率背后的基本知識要素是教學重難點[19]，對于數據、期望、分布、樣本和抽樣等思想都應該囊括其中。ISM法呈現知識要素的聯系和層級結構有向圖，將“概率”內容的知識要點呈層級性排列，教師通過知識要素的結構有向圖把握基礎要素和要素間的聯系以及最高層級的要素，準確把握知識的重難點[20]，通過呈現滬教版和CCM版的層級結構有向圖，教師以各要素間的銜接為依據，對教材的層次和脈絡整體把握，對知識要素分類和分析，系統地組織教學內容，促進學生概率素養的形成和發展。

（2）基于知識結構的編排優化大單元教學設計

《標準（2022版）》重視數學學科知識的體系化，需要教師結合課標回歸教材，關注概率內容的整體性?；贗SM法輸出的知識要素層級圖幫助教師把握和明晰概率知識的層次和整體結構。隨機事件到古典概型再到概率估計值，體現知識生成性和層次性[21]。以ISM法對“概率”內容繪制整個內容領域的結構圖，有助于教師對概率有系統和完整的把握，將零散繁雜但又緊密聯系的知識要素形成有機整體，而大單元教學同樣強調單元知識結構體系的構建，引領前后知識的聯系。因此教師可以基于知識層級結構圖進行大單元教學設計。

（3）基于知識編排的順序統籌規劃教學序列

利用ISM法對知識要素進行編排，為教師融合不同章節或單元的內容提供參考依據，調整教學序列，提高教學效率，幫助學生系統地把握整個知識內容框架，理清知識要素之間的關系，學生也可以將課堂中所學知識應用于解決現實生活中的問題，實現知行統一[22]。在日常教學中，教師應以ISM法對知識要素的梳理為基礎，根據概率與實踐的緊密聯系，優化教學過程，提升課外實踐水平，豐富學生的業余生活。同時，教師還應根據學生的認知規律，統籌規劃整個概率內容的教學順序，選取符合學生實際生活的問題進行教學[23]。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.教育部印發《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》[EB/OL].（2022-04-08）[2023-02-27].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/202204/t20220420_619921.html.

[2] 鄧翰香，吳立寶，曹一鳴.新世紀以來我國中小學數學教材研究熱點、演進與展望——基于科學知識圖譜的實證分析[J].教育理論與實踐，2021，41（08）：38-43.

[3] 李玉琴.基于ISM法的高中數學新舊教材比較研究[D].大理：大理大學，2020.

[4]譚熙.基于ISM分析法的人教版新舊地理教材比較分析——以“地球上的水”為例[J].地理教學，2020（03）：42-45.

[5] 原玉娟，徐章韜.用ISM法確定系列教科書的教學序列——以人教A版高中數學必修系列教科書為例[J].數學教育學報，2017，26（02）：55-59.

[6]呂超，張巨儉.應用ISM法進行數學教材分析[C]//Information En-

gineering Research Institute，USA.Proceedings of 2012 International Conference on Education Reform and Management Innovation（E-

RMI 2012）Volume 5，2012：130-134.

[7] 曹月.基于ISM法的兩個版本的數學教材比較——以指數和對數函數為例[J].高中數學教與學，2017（23）：1-4.

[8] 楊莉.基于ISM法的中英澳高中復數比較研究[D].廈門：集美大學，2020.

[9] 鄭金.基于ISM法的數學教材比較研究實用性探討[D].武漢：華中師范大學，2014.

[10][16] 何聲清.“等可能性偏見”對初中生古典概率內容學習進階的影響[J].數學教育學報，2022，31（06）：52-59.

[11] 上海市中小學（幼兒園）課程改革委員會.上海市中小學數學課程標準（2004年版）[S].上海：上海教育出版社，2004：70.

[12] GOV.UK.National curriculum in England：mathematics programmes of study[EB/OL].（2021-09-28）[2023-02-27].https：//www.gov.uk/government/publications/national curriculum in england mathe-

matics programmes of study.

[13]趙世恩，劉子鈺.“問題導向”下促進深度學習的教學實踐研究——以小學數學為例[J].課程·教材·教法，2023，43（01）：131-

137.

[14] 唐佳麗，李勇.“統計與概率”在小學數學教材中的編排分析[J].數學教育學報，2022，31（01）：59-63.

[15] 姜雨婧，劉小賢.基于ISM法對中美兩版物理教材“電路”部分的結構分析[J].物理教師，2022，43（12）：68-71.

[17] 丁益民.用教材教：跨學科融合的數學教學[J].中學數學雜志，2022（11）：16-19.

[18] 孫虎，劉祖希.數學跨學科實踐活動：“內涵”“價值”與“實施路徑”[J].數學教育學報，2023，32（01）：19-24.

[19] 李亞瓊，潘禹辰，徐文彬，等.高考概率與統計試題的統計與分析——以2021年全國課標卷為例[J].數學教育學報，2022，31（03）：20-25.

[20] 黃子珊，邱世藩.ISM法在高中地理大單元教學設計中的應用研究[J].中學地理教學參考，2022（08）：21-24+72.

[21] 李亞瓊，徐文彬.高考課標卷概率統計試題的特點及其教學啟示——基于2011—2020年全國課標卷的分析[J].數學教育學報，2021，30（06）：13-19.

[22] 譚遠泊，黃翔.大單元教學視域下中學數學復習課教學研究[J].教學與管理，2023（06）：87-90

[23] 何勇剛，張立昌.基于結構方程模型的學習策略影響因素探究——以初中生學習“統計與概率”為例[J].數學教育學報，2020，29（01）：40-47.

[作者：吳佳敏（1998-），女，上海人，中南民族大學中華民族共同體研究院，博士生；林子植（1983-），男，江西九江人，江西科技師范大學大數據科學學院， 副教授，碩士生導師，博士。]

【責任編輯? ?王澤華】

*該文為2022年全國教育科學“十四五”規劃教育部重點課題“學業成就測試中的表現標準建構方法研究”（DHA220399）的研究成果