基于B平面算法的火星探測器中途軌道修正

唐 衛

(上海航天控制技術研究所，上海200233)

基于B平面算法的火星探測器中途軌道修正

唐 衛

(上海航天控制技術研究所，上海200233)

探測器在日心過渡段軌道的軌道修正問題是火星探測工程中需要解決的關鍵問題.首先，引入B平面坐標系，推導了B平面參數的計算公式，驗證了速度修正量與目標參數間存在的線性化關系，給出了算法流程圖.其次，在引入合理的速度執行誤差與測軌誤差的情況下，提出了一個包含三次主修正，一次機動修正，一次備份修正的控制策略，仿真驗證了控制策略的可行性.

火星探測;軌道修正;B平面

逃離地球引力場后，星際探測器進入日心過渡軌道.由于在逃逸引力場時不可避免存在變軌誤差和定軌誤差等，因此需要在日心過渡軌道段進行軌道修正以滿足設定的要求[1].20世紀60年代，中途制導計算方法和制導策略的研究得到了許多學者的重視.數值搜索的方法計算量大，不利于軌道控制的分析和實際在軌操作，所以一般采用線性修正的方法.在小偏差情況下，線性方法具有精度足夠高，計算耗時少.Kizner發現建立在目標星的B平面參數與軌道狀態量的偏差量之間存在著線性關系[2]，而B平面參數很容易轉換為目標量，由此可計算得到修正誤差所需要的速度沖量，Kizner的工作大大促進了深空軌道制導的研究，行星際飛行軌道修正的目標參數(如軌道傾角，軌道高度)都能夠轉換為B平面參數.Hintz和Chadwick基于B平面參數給出了一種中途制導軌道修正方法[3]，該方法用參數化數據來滿足目標參數約束、定軌誤差等因素.本文采用B平面算法進行中途軌道修正，并給出中途軌道控制策略.

1 B平面坐標系

所謂B平面就是包含二體假設下的雙曲線軌跡的焦點(對于火星段雙曲線軌道，焦點就是火心)，且垂直于雙曲線的進入漸近線的平面.B平面和探測器軌道平面相交，在空間得到一條交線.B矢量沿著這條線，以焦點為起點，終點在進入漸近線穿過B平面處.設進入漸近線單位矢量為S，引入行星赤道面法線或黃道面法線單位矢量N，二者叉乘得到垂直于S并穿過行星中心的矢量T:T=S×N，將S和T叉乘可得到矢量R:R=S×T，B平面內B矢量在T和R方向投影，構成了瞄準參數B·T和B·R.其空間幾何關系如圖1所示.

圖1 B平面空間幾何Fig.1 Spatial geometry of B-plane

2 軌道控制算法

2.1 由位置矢量r和速度矢量ν計算B矢量

設其軌道面法線單位矢量n，則n=r×ν/|r× ν|，偏心率矢量為:e=ν×h/μ-r/|r|，其中μ為中心星體的引力位常數，h為探測器相對于火心的動量矩，h=r×ν.由于S在探測器軌道平面內，選取軌道平面內兩個標準正交的矢量組成一個坐標系，就能唯一確定它的位置，取e為X軸，e和n叉乘為Y軸.設S與e的夾角為θ，飛入漸近線矢量為:S= cosθe+sinθ(n×e)，則:B=b(S×n)，其中b為雙曲線短半軸.進一步求得BT和BR:BT=B·T，BR= B·R.

2.2 由軌道要素計算B矢量

下面取B平面的參考平面為火星赤道平面，定義火星近焦點坐標系如圖2所示.

圖2 火星近焦點坐標系Fig.2 Mars near focus coordinate system

取偏心率單位矢量e為X軸，它以焦點為起點，背向近星體點.n和e叉乘構成Y軸，B矢量和S矢量分別可以表示為:B=b[sinθ -cosθ 0]T，S= [cosθ sinθ 0]T，其中θ=arcos(1/e)，e=1+點赤經為Ω，近火點幅角為ω的目標火星軌道，赤道面法向量N在近焦點坐標系中為:N=[sinωsin i cosωsin i cos i]T，則T和R方向矢量可表示為:T= S×N，R=S×T，同理于2.1節有BT=B·T，BR= B·R，設下標NORM表示相應于標準軌道的值，則B平面的誤差散布為

2.3 B平面參數偏導矩陣的求法

已經得到了B平面參數及B平面參數誤差的表達式，但是仍然需要建立B平面參數與需要修正的速度增量之間的關系.凱茲納發現目標星B平面參數偏差與軌道狀態量偏差量之間存在很好的線性關系.下面給出這種線性關系的說明.

首先，定義參數TOF表示從修正點到達B平面的飛行時間，這樣B參數實際上就由BT、BR和TOF構成.定義B平面參數對于速度改變量的偏導數.在火星赤道慣性坐標系下，記V沿X軸方向的速度改變量為△VX，那么定義 BT對 VX的偏導數如式(2)所示:

同理，BR、TOF對VX的偏導數以及BT、BR和TOF對VY和VZ的偏導數，由此得到B平面參數對V的偏導數矩陣Bp如式(3)所示:

考察偏導數矩陣Bp對△V的敏感度，將V沿三個坐標軸改變量的取值范圍定為10-18km/s～101km/s，計算偏導數矩陣Bp中每個元素的值，以X軸方向為例，如圖3所示.

圖3 B平面參數對VX的偏導Fig.3 Partial derivative of B-plane parameters with respect to VX

從圖3可以看出，當△V的X方向分量大致在10-12km/s～10-1km/s的量級范圍內變化時，B參數對VX的偏導數基本為常數，Y、Z兩軸類似，因此Bp是常數矩陣，所以當速度的改變量在上述范圍內時，△B與△V有良好的線性關系，即有式(4):

速度修正量計算流程圖如下所示:

圖4 速度修正量計算流程圖Fig.4 Flow chart of velocity correction algorithm

由于 B平面需要以火星赤道慣性系作為參考平面，因此在計算實際軌道 B平面參數時，需要將當前的位置矢量和速度矢量經過坐標系轉換，由日心黃道坐標系轉到火星赤道慣性系下.圖5給出了各坐標系之間的幾何關系:

(1)火星赤道坐標系O-NYZ，N是X軸指向，XY坐標面即火星赤道

(2)火星軌道坐標系O-N'YZ，N'是X軸指向，XY坐標面即火星軌道面

圖5 火星中心坐標系示意圖Fig.5 Sketch of Mars center coordinate system

(3)日心黃道坐標系O-γYZ，γ是X軸指向，XY坐標面即黃道面

上述坐標系中的O是火星的質量中心，N是火星軌道與火星赤道的交點，相當于地球的軌道(即黃道)與地球赤道的交點γ.N'是火星軌道與黃道的交點.γ是黃道與地球赤道的交點，即春分點.由此，探測器在日心黃道系到火星赤道系的坐標旋轉矩陣為:RX(-ε)RZ(ψ)RX(I)RZ(Ω).4個旋轉角的計算公式如式(4)和式(5)所示:

其中d的單位是地球日，JD(t)是t時刻對應的儒略日，JD(2000.0)是歷元時刻對應的儒略日，其值為2451545.0，T即世紀數.

3 控制策略與仿真分析

控制策略需要回答的問題是何時修正，每一次修正多少.關于修正時機的選擇，本文做簡單的討論，并給出一個易于工程實現的策略.火星探測的軌道飛行時間很長，對于一次修正后，其殘差沿軌道傳播仍有可能超出任務要求，所以一般要進行多次.修正過早可能由于定軌精度不夠而使修正失去意義，修正過晚有可能因為誤差傳播過大而超出修正能力[1].20世紀60年代星際制導研究快速發展，如何確定最優修正次數和修正時刻以使修正燃料最少是研究的熱點，Pfeiffer研究了動態規劃方法[4]，Breakwell提出的間距比(Space Ratio)方法[5]，該方法的主要思想是盡快進行第一次修正，其后各次修正時間間隔與前一時間間隔之比為常數，直至滿足誤差要求，不再進行修正.美國勇氣號(Spirit)和機遇號(Opportunity)火星探測器[6]的軌道修正策略中也充分重視了盡早修正這一原則.這里可以借鑒等間距比的思想，首先盡早修正.

本節結合本文涉及的火星探測器的實際情況，給出了三種修正方案，分別為修正一次，修正二次，修正三次，最終通過仿真說明了，修正三次的方案合理且能夠實現軌道修正的目的，最終給出了在三次修正基礎上余留一次機動修正和一次備份修正的控制策略.結合火星探測器軌控發動機性能、測軌精度、和姿控能力，估計中途修正速度大小執行誤差± 0.5%，速度方向執行誤差±0.1°，測軌精度上限為20～30km.目標軌道軌道傾角 95°，近火點高度300km.

3.1 修正一次方案分析

選擇發射機會為2011年11月6日發射，考慮只修正一次的情況，表1給列出了在不同的修正時間進行修正需要的速度增量以及相關參數.

表1 不同時刻修正第一次的情況Tab.1 First correction at different times

表1中第一列對應的是探測器出地球影響球的修正時刻.從表1可以看出隨著修正時刻的延后，所需要的速度修正量越來越大.通過仿真發現，用 B平面法試圖在第32天后任選一個時刻進行修正時，算法無法收斂，這是由于計算出的|△V|的量級超過了10-1km/s，超出了偏導數矩陣Bp對△V的線性化范圍.因此，需要盡早進行修正，本文將第一次修正的時間點放在探測器剛出地球影響球時.相對于探測器實際的速度而言，第一次修正的速度改變量是比較小的，后續軌道修正就是針對其殘差的進行的，量級會更小.實際情況中，需要考慮執行誤差、測軌誤差等因素的影響，因此給出在考慮中途修正速度大小誤差、速度方向誤差和測軌誤差的情況下，修正后最終到達火星時 B平面參數誤差的分布情況圖6所示.

圖6 第一次修正后B平面參數誤差分布Fig.6 B-plane parameters error distribution after first correction

由上述仿真實例可以分析得出:一次修正方案，在考慮了誤差后，最終探測器到達火星時距離目標軌道偏移量較大，超出了誤差要求，這是由于一次修正時，修正時刻較早，微小的誤差在未來長時間的軌道運行中不斷積累，導致最終無法到達預定目標.因此，一次修正方案無法滿足任務要求，需要增加中途修正次數.

3.2 修正兩次方案分析

根據控制策略，第一次修正時刻為探測器出地球影響球時，即距發射日期3.12天.第一次修正量:

△V=[7.30627 19.88104 -26.28166]T(m/s)，|△V|=33.75445(m/s)，考慮存在測軌誤差、速度執行誤差(包括方向和大小)，取隨機誤差下的某一次實際速度改變量:△V=[7.32264 19.83375 -26.29379]T(m/s)，選擇不同的時刻進行第二次修正，求得速度修正量，仿真結果如表2所示.

由表2可以得出結論:第二次修正的速度量的量級小于第一次修正的速度量級，且第二次修正的速度量值隨著時間間隔的增加而增加，但是增加的比較緩慢.如表2所示，第二次修正的速度修正量隨時間的增幅很有限，因此，第二次修正時間點的選擇限制可以放寬要求.本文設計在距第一次修正后的4個月進行第二次修正，計算的修正量如表2所示，同理于第一次修正，同時考慮測軌誤差，速度執行誤差，最終到達火星時B平面參數誤差的分布情況的如圖7所示.

表2 不同時刻第二次修正的情況Tab.2 Second correction at different times

圖7 第二次修正后B平面參數誤差分布圖Fig.7 B-plane parameters error distribution after second correction

從圖7中可以看出，第二次修正后，探測器最終到達火星時，B平面參數誤差大幅度減小，但是在BT方向上仍有250km的誤差，因此需要繼續增加修正次數.

3.3 修正三次方案分析

當探測器接近火星時，其入軌精度需要盡可能的高.因此在修正兩次方案的基礎上，增加一次探測器進入火星影響球之前的修正，形成三次修正的方案.本文設計第三次修正距離第二次修正間隔175天，這樣可以保證第三次修正點距離探測器到達火星影響球還有3～5天的時間余量.

第二次修正量:△V=[-3.49298 3.44780 0.71025]T(m/s)，取隨機誤差影響下的某一次實際速度改變量:△V=[-3.4773 3.42703 0.70552]T(m/s)，計算得到第三次修正需要的速度增量△V=[-0.01431 -0.12062 0.02096]T(m/s)，最終到達火星時B平面參數誤差的分布情況的如圖8所示.

圖8 第三次修正后B平面參數誤差分布圖Fig.8 B-plane parameter error distribution after third correction

從圖8中可以看出，經過三次修正，探測器到達火星影響球時，B平面參數誤差可以達到25km.如果需要增加最終入射精度，即滿足軌道傾角和近火點高度要求，可以增加一次機動修正.

以探測器到達火星影響球時進行一次機動修正為例，經過三次修正后，考慮誤差影響，隨機抽取探測器的一組狀態值，r=[0.433077 5.336899 2.1767830]T×105km，υ=[-0.20324 -2.55276

-1.00312]T(km/s)，對應的軌道傾角為95.86°，近火點高度300.002km，可見由于考慮了實際的誤差，導致探測器進入火星時不在預定軌道平面內，可以進行一次機動修正，計算得所需速度修正量為:

△V=[-0.5724 0.0271 0.0556]T(m/s)，修正后軌道傾角為95.00°，近火點高度為300.000km.在此基礎上，可以再增加一次備份修正，目的是補救第三、四次修正可能存在的意外造成的修正失敗.綜上所述，控制策略如表3所示.

表3 控制策略Tab.1 Control strategy

4 結 論

1)當速度的變化量在10-12km/s～10-1km/s的量級范圍內變化時，B平面參數對速度的偏導數矩陣是常數陣，可以直接建立B參數變化量與速度變化量之間線性關系.

2)給出了一個以三次修正為主，包含一次機動修正，一次備份修正的控制策略，通過仿真，驗證了控制策略的可行性.

[1] 楊嘉墀.航天軌道動力學與控制(下)[M].北京:宇航出版社，1995 Yang JC.Spacecraft orbital dynamics and control(volume two)[M].Beijing:Aerospace Press，1995

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B-Plane M ethod-Based M idcourse Trajectory Correction M aneuver for M ars Probe

TANGWei
(Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology，Shanghai 200233，China)

It is trajectory correction maneuver(TCM)that is absolutely important and has to be solved as the key problem during the Earth-to-Mars trajectory in the Mars exploration.Firstly，the B plane reference frame based on the target planet and target parameters are introduced.Then formulas of B plane parameters are deduced.In succession，it is validated that linear relationship exits between target parameters and the velocity correction value.Meanwhile the corresponding arithmetic flow chart is proposed.In the next place，taking the rational velocity maneuver error and the orbitmeasurement error into account，a control strategy containing threemain TCMs，one contingent TCM and one backup TCM is proposed and is proved possible and feasible by the simulation eventually.

Mars exploration;trajectory correction maneuver;B-plane

V423

A

1674-1579(2012)06-0050-06

唐 衛(1986—)，男，助理工程師，研究方向為航天器姿態、軌道控制.

2011-11-03

DO I:10.3969/j.issn.1674-1579.2012.06.011