再入動力學的性質及其在軌跡優化中的應用*

王澤國，孟 斌

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

再入動力學的性質及其在軌跡優化中的應用*

王澤國1，2，孟 斌1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

考慮具有終端約束和過程約束的探月返回飛行器再入軌跡設計問題，通過將性能指標泛函定義為再入終端位置誤差的平方和，再入軌跡設計問題轉化為具有過程約束和狀態方程約束的優化問題.首先僅考慮狀態方程約束，利用最大值原理，得到該優化問題的必要條件，選取間接法中的共軛梯度算法求解最優控制量.進而針對軌跡約束問題，研究了再入過載和軌道飛行段飛行距離與航跡角以及傾側角的關系，在此基礎上，提出了采用調整初始傾側角序列的方法實現過程約束.該算法克服了罰函數方法中需要調節參數較多的問題，并且物理意義明確，實現簡單.最后，給出了Apollo再入軌跡優化的數值仿真算例，驗證了所給出算法的有效性.

探月返回;跳躍式再入;軌跡優化;再入動力學的性質;初值調整

近年來，探月飛行器的研究繼Apollo后得到廣 泛關注.對于探月返回再入軌跡規劃問題，由于飛行器運動方程復雜，一般采用數值方法求解.數值方法可以分為直接法和間接法，兩種方法各有優缺點[1].直接法將優化問題轉化為非線性規劃問題，采用某種優化算法來求解.由于飛行器運動精度要求較高，因此需要更多的離散點個數，并且直接法的初始狀態難以選擇，這給軌跡設計帶來不便.本文考慮間接求解方法.在探月返回再入軌跡規劃的間接法研究中，Istratie等[2]給出了在給定初始條件和最終條件下的最優軌跡，但未考慮過載和熱流的限制.南英等[3]主要以軌跡中的過載、熱流和動壓的目標給出了最優軌跡，并比較不同次數再入情況下各個目標，但尚未考慮終端約束的限制.王樂等[4]給出了采用共軛梯度法設計臨近空間飛行器再入軌跡的一般方法，給出了終端時刻固定的設計方法.在間接法中，當考慮過載等過程約束問題時，一般采用罰函數方法[3-4]，這將導致需要調節的參數增加，并且增加了算法收斂的難度.

本文研究探月返回飛行器有約束的跳躍式再入軌跡規劃問題，軌跡約束包括終端約束、過載約束和熱流約束.通過將性能指標泛函定義為再入終端位置誤差的平方和，再入軌跡設計問題轉化為具有過程約束和狀態方程約束的優化問題.首先僅考慮狀態方程約束，利用最大值原理，得到該優化問題的必要條件，選取間接法中的共軛梯度算法求解最優控制量.針對過載約束問題，通過分析過載、軌道飛行階段飛行距離和傾側角的關系，給出了初始控制量調節方法以實現過載約束.該算法克服了罰函數方法中需要調節參數較多的問題，并且物理意義明確，實現簡單.最后，給出了Apollo再入軌跡優化的數值仿真算例，驗證了所給出算法的有效性.

1 問題描述

忽略地球轉動，探月返回飛行器無量綱運動方程為

對于具有低升阻比特性的再入飛船，若要求其在執行探月返回再入任務時實現長的飛行縱程，唯一可行的辦法是采用跳躍式再入飛行.圖 1為典型的跳躍式軌跡示意圖.為了論述清晰，將跳躍式軌跡分為5段，如圖 1所示.一般把高度120km作為再入起始點，再入初期空氣阻力幾乎為零，控制量對于飛行器的影響很弱，從120km到=0的再入初始階段作為再入的第1階段=0到=0段為第2階段.假設飛行器高度第2次到達80km以上時，忽略大氣的影響，飛行器以橢圓軌道運行.把飛行器第2次到達80km時稱為躍出點，從=0到躍出點為第3階段.把橢圓軌道飛行階段稱為第4階段.第5階段為飛行器從80km第2次再入大氣層的飛行段.分別記每個階段的起始時刻為ti，其中i表示階段數，如圖1所示.本文僅考慮在前3階段存在一次˙=0和=0的情形，但所給出的結果可以推廣到一般情形.

本文考慮探月返回飛行器受約束的跳躍式軌跡規劃問題，軌跡約束包括過程約束、終端約束和控制量約束，過程約束包括過載和熱流約束，終端約束為給定的飛行器的狀態終值.具體地說，本文研究在給定初始狀態(r0、θ0、φ0、V0、γ0和 ψ0)下，設計傾側角變化曲線，使得飛行器再入過程滿足狀態方程(1)、過載限制、熱流限制和傾側角約束，并達到給定終端狀態(Vf、θsite和φsite)，即滿足終端約束.針對上述問題，本文研究了共軛梯度算法中軌跡約束過載的實現問題，提出了初始傾側角序列調整的方法實現過程約束.下面首先給出傾側角與軌跡約束過載的關系，在此基礎上，給出探月返回飛行器再入軌跡優化設計方法.

圖1 跳躍式軌跡Fig.1 Skip trajectory

2 過載和第4階段飛行距離與傾側角的關系

本節考慮軌跡約束過載和第4階段飛行距離與傾側角的關系，首先考慮過載問題.由于第二次是以第一宇宙速度再入，與神舟飛船再入問題相同，因此這里主要考慮前3個階段的過載問題.

從方程(1)可以看到，在縱向平面控制量傾側角σ只是直接影響航跡角γ.因此，本節通過分析過載和第4階段飛行距離與航跡角 γ的關系，以及控制量σ與航跡角γ的關系，給出過載和第4階段飛行距離與控制量σ的關系.從而可以據此調節最優控制算法中的控制量序列.

2.1 過載和航跡角的關系

本小節分析第2、3階段過載和航跡角的關系.過載為

其中動壓q=ρV2/2.易見，由于小，動壓q是過載n的主要影響因素.下面通過對動壓q和航跡角γ關系的分析找到過載n和航跡角γ的關系.

引理1.針對系統(1)，˙q=0當且僅當sinγ=γth，其中，γth=2/(βV2).并且如果sinγ＞γth，那么＜0;反之亦然.

證明.為了表達簡單，取q中的變量，定義

注意到 V＞0，β＞0，h＞0，以及 γth的定義，引理得證.

注意到閾值 γth是變量，下面證明在第2階段，至少存在一個時刻，使得sinγ=γth.

引理2.針對系統(1)，關于γth的一些性質:

1)在第2、3階段，γth＜0.

2)假設CD為常數，航跡角γ幅值較小.則在第2階段，γth減小;第3階段γth增大.

3)假設CD為常數，航跡角γ較小.那么在第2階段滿足如下關系:如果sinγ(t2)＜γth(t2)，則在第2階段，存在一個時刻 tm，t2＜tm＜t3，使得sinγ(tm)=γth(tm)，其中t2和t3分別表示第2階段的初始時刻和結束時刻;進而如果在第2階段有 ˙γ＞0，那么sin(γ)與γth有唯一的交點.

4)假設CD為常數，航跡角γ較小.則在第3階段sinγ＞γth.

2)當航跡角γ幅值較小時，由式(1)和Vs的定義可得，

由上式可知，如果CD為常數，那么當 ˙h＞0時，γth增大;反之亦然.亦即在第2階段，γth減小;第3階段γth增大.

3)由定義可知，第2階段末端t3時刻的航跡角為0，由 1)可知，γth＜0，所以如果 sinγ(t2) ＜γth(t2)，則由各狀態變量的連續性可知，在第二階段存在一個時刻tm，t2＜tm＜t3，使得sinγ(tm)= γth(tm).進而如果第二階段 ˙γ＞0，結合 γth單調遞減，則在第2階段sinγ與γth僅有一個交點.

4)由第3階段γ＞0＞γth，顯然得證.

由上述引理，可以得到第2、3階段動壓的性質.引理3.針對系統(1)，假設CD為常數，航跡角γ較小.如果sinγ(t2)＜γth(t2)，那么第2、3階段的動壓在第2階段達到最大.進而如果第2階段有 ˙γ＞0，那么第2階段動壓有唯一的極值點.證明.假設CD為常數，航跡角γ較小.由引理1和引理2，第3階段γ＞0＞γth，則˙q＜0，因此，q(t)＜q(t3)，t3＜t＜t4，即，動壓在第2階段達到極大.進而如果第2階段有 ˙γ＞0，由引理1和引理2，sinγ與γth有唯一的交點.也即第2階段動壓有唯一極大值點.

由引理3可知，再入過程第2、3階段的過載最大值出現在第2階段，我們可以將該問題歸納為極小極大問題，給出過載最大值極小的嚴格的理論結果.本文僅對該問題進行簡單分析.為了減少過載最大值，需要增加或者減小航跡角，但是這可能導致增加高度的同時增加速度，或者減小高度的同時減小速度，因此對動壓產生復雜的影響.

動壓與高度和速度均相關，由式(1)可知，航跡角對于速度和高度具有相反的作用，因此對于動壓的影響較復雜.下面通過比較3組具有不同高度和速度的狀態(hm，Vm)、(hm(1+a)，Vm)和 (hm，Vm(1-b))的動壓值，給出航跡角對于動壓的影響關系.實際中軌跡的高度與速度的變化不超過50%，即a∈(0，0.5)，b∈(0，0.5).分別記三組狀態所對應的動壓分別為qm、qm1、qm2.則

假設動壓最大值出現在高度為60km左右，則e-βhm約為6.85×10-4.如果qm1=qm2，則有b=1-0.0262a.當a∈(0，0.5)時，b＞a，即如果動壓改變相同量，則速度減小幅度要大于高度增加幅度，因此高度增加對減小動壓更加有效.所以在第2階段通過增大航跡角，增加高度，可以有效減小動壓極值.

2.2 第4階段飛行距離和航跡角的關系

按照第1節的定義，把橢圓軌道飛行階段稱為第4階段，如圖1所示.一般來說第4階段飛行器處于不受控的狀態，本部分討論該段飛行距離和航跡角的關系，從而給出控制量傾側角對于第4階段飛行距離的影響關系.

引理4.假設飛行器高度第2次到達80km以上時，忽略大氣的影響，飛行器以橢圓軌道運行，躍出點速常數.則第4階段飛行距離與躍出點航跡角正相關.證明.由假設，飛行器高度第二次到達80km以上時，忽略大氣的影響，飛行器以橢圓軌道運行.下面由躍出點真近點角與躍出點航跡角的關系，得出第4階段飛行距離與航跡角的關系.由文獻[6]可知，躍出點飛行器的真近點角?t(如圖2所示)滿足

下面證明

由式(2)，求得cos?t關于航跡角γt的導數

圖2 跳躍式再入軌跡Fig.2 Skip reentry trajectory

由假設、式(1)及γt較小，忽略阻力D和sinγt，得

由于?t＞90°，所以cos?t＜0.由于Ct＜1＜1/cosγt＜1/cos2γt，可得

和

因為γt為大于0的較小值，我們有

結合上面的結果，可得

即cos?t與γt正相關，?t與γt負相關.由于第4階段飛行距離與?t負相關，所以第4階段飛行距離與γt正相關.

由上述引理可知，第4階段飛行距離與航跡角γt正相關.而第4階段飛行距離一般是確定的，也就是躍出點航跡角γt不能有較大變化.

2.3 過程約束與傾側角的關系

2.1 和2.2中分析了過載和第4階段飛行距離和航跡角的關系，本部分首先分析傾側角和航跡角的關系，進而給出過程約束與傾側角的關系.

由cosγ≈1、1/r≈1，和式(1)可得

由于傾側角可以在-180°至180°之間變化，cosσ∈[-1，1]，若L＞V2-1，那么傾側角的選擇會影響航跡角的導數符號，我們說傾側角對于航跡角有主要影響.

引理5.假設升力系數CL是常數.則當V＞1，h＜導數的符號可以由傾側角的幅值控制.

時，L＞V2-1.由式(3)可知，當L＞V2-1時，航跡角的導數的符號可以由傾側角的幅值控制.由于ln(V2)-ln(V2-1)＞0，可知若V＞1，h＜

通過將常數CL=0.4717及仿真中表1的常數可估算出當 V＞1，高度小于68.92km時傾側角的調整對于航跡角起主要作用.實際上所忽略的[ln(V2)-ln(V2-1)]/β對于高度估計也有影響，所以在更高的高度就可以使得控制量起主要作用.而且由于在較低高度的阻力很大，使得速度迅速下降，這樣使得以后的控制量一直占主要影響.

綜合上述分析，可以考慮減小第1階段和第2階段的傾側角，并增加第3階段的傾側角，以減小動壓極大值并保證軌道飛行階段的飛行距離.

軌跡約束中關于熱流的限制問題也是需要注意的.但由于熱流最大值一般出現在再入初始階段，因此控制量的選取對于熱流的影響較小[7]，所以不對熱流限制做單獨設計.

3 最優軌跡規劃

本節考慮探月返回飛行器受約束的跳躍式軌跡規劃問題.通過將性能指標泛函定義為再入終端位置誤差的平方和，再入軌跡設計問題轉化為具有過程約束和狀態方程約束的優化問題.首先僅考慮狀態方程約束，利用最大值原理，得到該優化問題的必要條件，選取間接法中的共軛梯度算法求解最優控制量，利用上節給出的傾側角和過程約束的關系，通過調整初始控制量序列以滿足過程約束.

選擇目標泛函為飛行器的終端經度 θf和緯度φf與目標點(θsite，φsite)的差的平方和J=k1(θfθsite)2+k2(φf-φsite)2最小[4]，其k1和k2為待定常數.則Hamiltonian函數為

其中λr，λθ，λφ，λV，λγ，λψ為相應的協態變量.根據最大值原理，可得協態變量滿足:

協態變量的終值為

其他終值為零;最優控制量σ滿足

和控制輸入約束.

下面采用共軛梯度法，求解上述無過程約束問題.共軛梯度法的主要思想是先給出一組初始控制量序列，在每次迭代中計算Hamiltonian函數關于控制量的偏導，控制量沿著令Hamiltonian函數減小的方向，最后達到使得目標泛函最小的最優解[8-9].

上述算法中需要調節的主要是初始控制量σ0.初始控制量序列σ0的選擇根據第2節的結果進行調節，首先選取某個常數序列使得飛行器的縱程誤差較小，并且算法收斂，然后通過翻轉實現橫程調節，進一步通過調整第2階段的傾側角降低過載，增加精度.

4 數值仿真

本節針對探月返回飛行器Apollo，利用初值選取原則和共軛梯度法設計受限再入軌跡.Apollo的參數和給定的初始狀態和終端狀態見表 1.飛行器在運行中需要考慮過載、熱流和控制輸入的限制.在文獻[7]中給出了幾類過載限制，分別是正常乘員逃生時的最大過載，正常乘員再入時的最大過載，和受傷乘員承受的最大過載.這里采用其中最嚴格的限制，即受傷乘員承受的最大過載.仿真中考慮了熱流的限制[10](見表 1)，控制量的限制為 -180°≤σ≤180°.

下面按照第3節的算法給出再入軌跡，通過初始控制量序列調節方法以滿足過載約束.首先選擇一常數控制量序列，然后通過嘗試得到飛行器翻轉時刻，具體設計為常值傾側角-45°，在時刻85s翻轉.通過優化，飛行器剛進入大氣層時過載比較大，在10s附近與乘員能夠承受的最大過載重合.

下面通過調整初始控制量的方式來減少過載.由2.3節的結論，選擇再入初始時較小的傾側角幅值和躍出點較大的傾側角幅值，第2次再入后選擇一個飛行器翻轉時刻以達到橫向控制.采用這種控制策略，經過試驗調節，可以得到過載和落點誤差更小的軌跡.圖 3為修改后的初始傾側角序列，再入初始時傾側角為零，然后迅速上升至180°以防止飛行器橢圓軌道飛行距離過大，接著按 9°飛行，在700s翻轉.圖4是優化后的傾側角變化曲線，得到仿真結果如圖 5～7所示.由圖 5可見過載明顯降低，最大過載由9.8832g降至7.2557g，滿足過載約束.由圖 6可見開傘點與期望點幾乎重合，誤差為8.2050km，與調整前相比明顯減少.從圖7可見算法收斂較快.熱流的最大值為1.7242×105W/m2，低于表1中要求的熱流最大值.

表1 常數Tab.1 Constants

圖3 調整后初始控制量序列Fig.3 Initial control profile after ad justment

圖4 優化后控制量序列Fig.4 Optimized control profile

圖5 過載和限制Fig.5 Overload and limit

圖6 飛行器的經緯度變化Fig.6 Latitude and longitude of the vehicle

圖7 性能指標變化曲線Fig.7 Performance index curve

5 結 論

本文考慮探月返回飛行器受限軌跡規劃問題.研究了過載和軌道飛行段飛行距離與傾側角的關系，給出了過載極值與航跡角的關系和軌道飛行段飛行距離與躍出點航跡角的關系，以及控制量傾側角與過程限制的關系.在此基礎上，給出了共軛梯度算法過程限制的初始控制量序列調節方法.最后通過數值仿真給出了滿足約束的Apollo再入最優軌跡，表明所給出算法的有效性.

[1] Betts J.Survey of numerical methods for trajectory optimization[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1998，21(2):193-207

[2] Istratie V.Optimal skip entry into atmosphere with minimum heat and constraints[C].AIAA Atmospheri Flight Mehanis Conferene，Denver，2000

[3] 南英，陸宇平，龔平.登月返回地球再入軌跡的優化設計[J].宇航學報，2009，30(5):1842-1847 Nan Y，Lu Y P，Gong P.Optimal reentry trajectory design for mooncraft returning to the Earth[J].Journal of Astronautics，2009，30(5):1842-1847

[4] 王樂，方群，歐岳峰.臨近空間飛行器再入軌跡優化設計[J].科學技術與工程，2011，11(3):543-547 Wang L，Fang Q，Ou Y F.The optimization design of the near space vehicles're-entry trajectory[J].Science Technology and Engineering，2011，11(3):543-547

[5] U.S.national oceanic and atmospheric administration，US standard atmosphere[R].Washington，D.C.:U.S.National Oceanic and Atmosphemic Administration，1976

[6] 耿長福.航天器動力學[M].北京:中國科學技術出版社，2006:273-275 Geng C F.Spacecraft dynamics[M].Beijing:China Science and Technology Press，2006:273-275

[7] Bairstow S，Barton G.Orion reentry guidance with extended range capability using PredGuid[C].AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit，Hilton Head，2007

[8] Bryson A E，Ho Y C.Applied optimal control[M]. Waltham，Mass.:Blaisdell，1969

[9] 宮錫芳.最優控制問題的計算方法[M].北京:科學出版社，1969:97-104 Gong X F.Computation methods on optimal control problems[M].Beijing:Science Press，1969:97-104

[10] Xue S，Lu P.Constrained predictor-corrector entry guidance[J].AIAA Guidance，Control，and Dynamics，2010，33(4):1273-1281

Properties of Reentry Dynam ics and Their App lication in Trajectory Op tim ization

WANG Zeguo1，2，MENG Bin1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China; 2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory，Beijing 100190，China)

The reentry trajectory optim ization problem with term inal constraints and path constraints of a lunar return vehicle is considered in this paper.By defining the performance index function as a square sum of the reentry term inal position errors，the reentry trajectory design problem is transformed into the optimization problem with terminal constraints and state equation constraints.First，in the presence of the state equation constraints only，the necessary conditions of the optim ization problem are obtained by using the maximum principle，and the optimal control is solved using the conjugate gradientmethod.Then，in the presence of path constraints，we have studied the relationship among the overload，the distance of the orbit phase，the flight path angle and the bank angle.Based on the above，amethod of initial bank angle value ad justment is presented to satisfy the path constraints.This approach，with definite physicalmeaning and simple implementation，circumvents the shortcoming of the punishment-functionmethod which involves too many ad justed parameters.Finally，a numerical example for Apollo reentry trajectory optimization is given to illustrate the effectiveness of the algorithm.

lunar return;skip reentry;trajectory optim ization;property of reentry dynam ics;initial value adjustment

V448.235

A

1674-1579(2012)06-0006-07

王澤國(1988—)，男，碩士研究生，研究方向為航天器再入制導;孟 斌(1973—)，女，高級工程師，研究方向為航天器控制.

*國家自然科學基金資助項目(61273153，60736023，60704014).

2012-08-03

DO I:10.3969/j.issn.1674-1579.2012.06.002