適度數學味：數學教學的必然追求

張衛星

《數學課程標準》明確指出：“數學教學應從學生已有的知識經驗出發，讓學生親身參與特定的教學活動，獲得一些體驗，并且通過自主探索，合作交流，將實際問題抽象成數學模型，并對此進行解釋和應用?！睌祵W教育家張奠宙先生曾明確指出：“數學教育，自然是以‘數學內容為核心。數學課堂教學的優劣，自然應該以學生是否能學好‘數學為依據?！笨梢?，數學教學應從教材內容和學生實際出發，精心設計教學過程，使生活材料數學化，數學教學生活化，讓教學具備適度的數學味，讓學生充分感悟數學的無窮魅力，從而潛移默化地擁有數學思維、數學眼光。那么，如何讓數學教學保持適度的數學味呢？

一、讓數學情境自然延伸

學習是學生主動的建構活動，因此學習應與一定的情境相聯系。讓學生在實際情境中進行學習，可以使學生利用原有知識和經驗同化當前要學習的新知識。這里所說的“情境”不僅僅指“生活情境”，孩子的認知起點、思考性的問題等都是一個有效的教學情境。良好的情境創設能有效激發學生已有的經驗，但是如果情境只是起到激發學生興趣和引入的作用，那么情境的運用就是淺層的。讓創設的數學情境自然延伸，及時延伸，找到更多的觸點，在延伸中提升、引領學生思維，自然而然地觸及數學的內涵和本質，這樣的情境才是自然有效的，這樣的課堂才更有數學味。

如在教學“確定位置”一課時，一位教師經歷了如下的教學片斷：

師：每個學期我們都要召開家長會，你是怎樣給爸爸、媽媽介紹你在教室里的位置的？

生：我在南邊第2組第3排。

生：我在第4組第8排靠墻。

（學生各抒已見）

師：大家介紹自己位置的說法不同，容易混淆。為了方便，我們把豎排叫做列，從左邊起，分別是第一列、第二列……把橫排叫做行，從前邊開始分別是第一行、第二行……

師：現在統一了標準，你能用數學語言準確地介紹一下自己的位置了嗎？

生：我在第2列第3行。

生：我在第8列第6行。

……

師：現在誰能用數學語言準確地介紹一下你好朋友的位置，讓大家猜猜他是誰？

（學生用“第幾列第幾行”來確定好朋友的位置）

師：你還能想到用什么方法來確定自己的位置？請把你的想法寫下來。

（學生寫下來后交流展示）

生：8-2。

生：5、4。

生：6列3行。

……

師：大家覺得這幾種方法有什么共同點？

生：他們都是用兩個數來表示的。

師：為什么要用兩個數來確定呢？一個數不是更省事嗎？

生：因為確定了第幾列第幾行才能確定他的位置。

師：這兩個數分別表示什么？

生：第一個數表示第幾列，第二個數表示第幾行。

師：數學的一大特點是簡練，其中第一個數表示的是第幾列，第二個數表示的是第幾行。同學們能夠想到用兩個數分別表示“列”和“行”來確定位置，很了不起。為了交流的方便，我們可以用一對數表示，比如（5，4），表示第5列，第4行。數學上把這一對數稱為數對（板書：數對）。請你用數對來確定自己在教室里的位置。

……

上述教學片斷中，教師始終關注現場情境，及時延伸，圍繞“數對”問題，通過三個層次的延伸，掌握了“用數對確定位置”這一內容。所創設的情境接近學生“最近發展區”，自然提高了學生的數學學習質量，發展了學生的數學學習能力?？梢?，讓數學情境在教學中自然延伸，可以促進學生主動思考、探索，激發積極的情感體驗，從而讓學生享受適度數學味所帶來的樂趣。

二、讓教學難點充分演繹

教學難點是指學生不易理解的知識或不易掌握的技能技巧。在一般情況下，使大多數學生感到困難的內容，教師要著力想出各種有效辦法加以突破，否則不但這部分內容學生聽不懂學不會，還會為理解以后的新知識和掌握新技能造成困難。因此，教師要從學生的學習思路出發對教學難點進行充分演繹，力求讓學生能夠深刻理解。

如“植樹問題”是一個典型的數學問題，現行人教版教材把它作為數學廣角的內容編入四年級下冊。教學中很多教師對于“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”這樣三種情況的區分予以了特別關注。為了提高解決問題的正確率，他們往往要求學生牢牢記住相應的“計算公式”（“加1”“不加不減”“減1”），但實際情況卻并非教師想象中的那么順利與簡單，因為他們忽視了植樹問題教學的難點就是這個“1”。那么，如何讓學生快速理解這個“1”呢？為此，在學生經歷了操作、驗證過程，并得出“間隔數+1=棵樹”這一規律后，一位教師及時追問，讓學生通過交流與分析，理解植樹問題中的“1”從哪里來。具體教學片斷如下：

⒈教師追問：為什么要“加1”呢？這個“1”是從哪里來的呢？

⒉組織學生討論，并在自己研究的線段圖上圈一圈，找出“1”代表哪棵樹。

⒊根據學生的回答，用課件演示“間隔數與棵數間一一對應”的過程，并分析如下兩種情況：

⑴“1”表示最后一棵樹

教師引導學生解釋：在小路邊，一端先種一棵樹，一棵樹對應一個間隔，再種一棵樹，再對應一個間隔……10棵樹應該對應10個間隔，40棵樹應該對應40個間隔……最后還有一棵樹沒有對應，因此要“加1”。這個“1”就是沒對應的那一棵樹，所以在“兩端都栽”的情況下求棵樹要間隔數加1。

⑵“1”表示第一棵樹

通過課件的直觀演示，師生共同歸納得到：“1”指的是前面第一棵樹。

上述教學，執教者通過課件一一對應的直觀演示，讓學生理解這個“1”可以代表前面第一棵樹，也可以代表最后一棵樹。當學生真正理解了這個“1”的由來，植樹問題的模型也就順利建構?？梢?，讓教學難點充分演繹，既可以讓學生理解數學知識的本質，又可以讓數學味得到適度體現。

三、讓數學概念逐步建構

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。正確地理解和形成一個數學概念，必須明確這個數學概念的內涵——對象的“質”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍。因此，概念教學必須要小步子推進，讓學生真正理解概念的來龍去脈。

“有余數除法”是人教版實驗教材三年級上冊的內容，是“表內除法”的延伸和發展，是學生學習多位數除法的基礎。教材內容抽象、概念性強，學生剛學過表內除法，已經習慣用乘法口訣求商，不容易理解“余數”概念，對于除法不能直接從乘法口訣求商有許多困惑。因此，如何讓學生獲得鮮明的表象，建立“余數”的概念，是執教者必須要思考的一個問題。為此，一位教師在學生能夠用實物小棒搭正方形后，設計了如下的教學片斷：

師：同學們，你們能在腦中用9根到20根的小棒獨立搭正方形嗎？分別有怎樣的結果？能用算式表示嗎？（生思考并寫算式）

生匯報如下：

9÷4=2（個）……1（根）

10÷4=2（個）……2（根）

11÷4=2（個）……3（根）

12÷4=3（個）

13÷4=3（個）……1（根）

14÷4=3（個）……2（根）

15÷4=3（個）……3（根）

16÷4=4（個）

17÷4=4（個）……1（根）

18÷4=4（個）……2（根）

19÷4=4（個）……3（根）

20÷4=5（個）

……

師：觀察上面的商和余數，你有什么想法？

生：12÷4=3（個），可以看成是余0根。

生：余數是1、2、3、1、2、3重復。

師：為什么余數只出現1、2、3，不出現4、5呢？

生：因為1、2、3根小棒不能搭成1個正方形，多4根的話，還可以搭1個正方形，多5根的話，還可以用其中的4根搭1個正方形，還多1根。

師：余數和除數的大小有什么關系？

生：余數不能比除數大。

生：余數要比除數小。

……

腦中搭正方形在內容上與實物操作相似，但體現了不同的思維水平，加深了學生對余數意義的理解。從小棒的實際操作到數學算式，學生經歷了橫向數學化的過程，通過擺“9根、10根……20根小棒”，學生經歷了縱向數學化的學習過程。從實物小棒圖到頭腦小棒圖，不管是多1根、多2根、多3根，都不夠搭1個正方形。學生逐步建構起了“余數要比除數小”的概念?？梢?，通過數形結合等方式讓學生體驗有余數除法的含義，既可以讓學生理解余數的概念，又可以讓學生在試商、調商計算技能方面獲得一定的基礎。同時，引導并提煉“余數要比除數小”這一結論的過程也是數學味油然而生的過程。

四、讓數學知識融為一體

數學知識具有嚴密的邏輯性，各知識點之間有著內在的聯系。如果能把各知識點按一定的線索進行梳理，就可以溝通知識間的前后聯系，使所有的知識融為一體，大大減少學生理解與識記的壓力，從而提升學習質量。同時，還可以讓學生感受到數學的本質味道——科學與嚴密。

基于上述思考，筆者在教學“多邊形的面積復習”一課時，嘗試引導學生換一個角度整理，從梯形的變形入手，通過直觀圖形的比較和抽象公式的溝通，橫向打通了梯形和三角形公式、平行四邊形及長方形之間的內在聯系。具體教學片斷如下：

談話：其實，我們換個角度看，這些公式之間還有另外一些聯系。

⒈梯形與三角形面積公式

⑴出示梯形：它的面積怎么算？（出示公式S=（a+b）h÷2）

⑵課件展示上底不斷縮短變成三角形的過程：如果還用這個公式計算面積，你有什么看法？（要把公式中一個底變成0）

⑶用0代替一個底，再整理一下，看看變成了什么？（出示公式S=（a+0）h÷2=ah÷2）

⒉梯形與平行四邊形面積公式

⑴把這個梯形再變一變（課件展示上底不斷變長成為平行四邊形的過程），如果還用梯形這個公式，你有什么建議？（要把上底、下底變成同一個字母）

⑵把上底和下底都用a表示，再整理一下看看，變成了誰的公式？（出示S=（a+a）h÷2=ah）

⒊梯形與長方形面積公式

⑴當然還可以再變，（課件展示上底向兩邊同時變長成為長方形的過程）還能用梯形這個公式嗎？（上底下底變得相同，高用b表示）

⑵再整理一下，變成了誰的公式？（出示公式S=（a+a）b÷2=ab）

⒋小結：我們發現，梯形面積公式可以作為這幾個圖形的通用公式，當梯形的一個底變成0時，梯形公式就變成了三角形公式（板書：b=0時→S=ah÷2），當上底與下底一樣長時，梯形公式就變成了平行四邊形公式（板書：b=a時 →S=ah），進一步還可以變成長方形的面積公式（S=ab）。

上述平行四邊形、三角形、梯形等三個面積公式，除了在縱向推導過程中存在千絲萬縷的聯系外，在橫向比較時會發現，它們的計算公式在形式上也有相通之處。筆者就是把這種相通之處進行適度提煉，讓所有的學生都能有所感受和理解，從而讓學生較為深刻地體會數學知識的嚴密之美。

總之，學生學習數學的過程既是從感性到理性的抽象概括，同時也是從理性到理性的同化遷移過程。教學時，我們要遵循學生的認知規律，重視學生獲取知識的思維過程，力求用數學本身的魅力——數學味去吸引學生。因為有數學味的數學課才能讓學生越來越喜歡，越來越聰明；有數學味的課堂才能使學生積極主動參與，從而構建起新的知識體系，進而提高其數學思維能力。當然，數學味的創設要適度，應以大部分學生能夠接受為宜。

（作者單位：浙江省仙居縣嶺下張小學）

責編/張曉東