對數學教學中“預設”與“生成”的思考

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☉安徽省靈璧縣教育局教研室 張桂海

☉安徽省靈璧第一中學 鄭 良

凡事預則立，不預則廢.因此認真鉆研教材、全面了解學生、有效開發資源等精心預設是課堂良好運行的前提.教學活動的復雜性和多變性注定數學課堂教學不再是教師按預設的教學方案機械、僵化的傳授知識的線性過程，無論課前的預設多么精心，當我們面對思潮千變萬化的學生時，教學難免會發生諸多的意外，如果以此為起點進行冷靜地思考，巧妙捕捉其中的亮點資源，并靈活地調整教學方法，機智生成新的教學方案，使教學順利富有靈性展開，這就是教學的“生成”，它是精彩課堂的保證.

在近期各種期刊上均能看到作者相繼而動，駕馭課堂的教學“預設”與“生成”，冷靜思考，很多案例難言精彩，甚至是敗筆，下面淺談個人看法，與原文作者商榷，并求教于諸位專家與同仁.

一、“預設”與“生成”要確?？茖W

“千教萬教教人求真，千學萬學學做真人.”科學性是一切活動的根本，是教學的前提條件，否則教學的藝術性將成毫無意義的空談.遺憾的是，很多情況下教師面對學生提出的“陌生”問題，想當然地給出了錯誤的答案.無論“預設”還是“生成”，均要三思而后行，決不能不自覺的教給學生錯誤的知識、思想方法，這也是教師示范作用的最基本要求.

例1 （文［1］問題2）（1）若函數f（x）=x2，定義域A={0，1，2}，求值域B.

（2）若函數f（x）=x2的值域B={0，1，4}，求定義域A.

（3）若函數的定義域A={0，1，2}，值域為B={0，1，4}，這樣的函數有多少個？

對于（2）問，原文利用枚舉法得到定義域A.當學生給出結果后，教師可以（預設）提問：為什么A的個數為9呢？引導學生換個角度來認識：構造集合A1={0}，A2={-1，1}，A3={-2，2}，分別從A1，A2，A3中抽出至少一個元素構成集合A即可，根據乘法原理，定義域A的個數為1×3×3=9，有利于學生對此類問題的理解，強化學生對計數原理的認知.文［1］對（3）問的解答（根據函數的定義，符合條件的函數個數是=3×2×1=6）是錯誤的.混淆了對應（從A到B的一一對應關系有6個）與函數（有無數個）的概念，比如構 造 函 數f（x）=ax2+bx+c（g（x）=abx+c（b＞0））等 ，利 用.確定函數需要三要素：定義域、對應法則、值域，而定義域、對應法則決定值域，如果用兩個要素確定函數，只能為定義域、對應法則，這也是（1）的結果確定、（2）有9種可能、（3）有無數個函數的根本原因.

二、“預設”與“生成”要追求高效

教師對學生的引領要盡可能追求高效，最起碼必須有效.很多教師面對學生的新問題，利用經驗主義，即興“生成”，點出知識、指出思路，結果學生沿途行進，無功折返.長此以往，學生就會產生對教師的不信任，逐步降低學習數學的興趣.當然故意設置陷阱，讓學生迷途知返，深思成因另當別論.文［2］在“高效的復習課——美于‘意外’的生成”中提到：…高三復習課既需要教師在課前精心預設，更需要教師充分發揮自己的教學機智，及時捕捉課堂中的生成資源，使課堂煥發出生命的活力.

文［2］指出：學生很快給出解法：

若解答這一問題，肯定要花去不少時間，影響教學進度；敷衍過去吧，顯然要打擊學生的積極性，降低學生的學習熱情，更為嚴重的是，學生將會失去一次難得的探究時機和素材.最后筆者調整預設，鼓勵學生進行探究，為了便于解決問題，將條件變得簡單一些：把2x+3y=4改成x+y=2，兩分鐘后，就有幾名學生獲得了解決問題的途徑.

教學中應該有精彩的“預設”，更要有（有效的）動態“生成”.讓學生從思維起點出發，放開手腳對問題進行探究，暴露思維過程，展現原始想法，給學生一個“本真”的解題過程，從師生思維的現場交流互動中得到解題啟示.如：

通過以上的有效“生成”，學生更加樂于思考，善于思考，積極培養創新意識，加之教師的較滿意解答，加強對教師的信任，勇于向教師挑戰，刨根問底，探尋問題的本質.

三、“預設”與“生成”要貼近自然

著名數學家希爾伯特師從拉撒路·富克斯學習微分方程，從導師對要講內容在課堂上現想現推的教學中“得到一個機會，瞧一瞧最高超的數學思維的實際過程”，領悟到一個數學家是如何自然、真實、合理思考問題的過程，這種啟發超越任何一本教材.人教A版高中數學教材“主編寄語”指出：數學是自然的，數學是清楚的.同樣，數學教學的“預設”和“生成”也應與學生自然合理的想法相依，而不能是教師的強行“灌輸”.課前的“預設”和課內的“生成”要根據當時的具體情況，巧妙地在學生不知不覺中做出相應的變動.切實對接學生認知、融合課堂變化，自然合理的以學定教，思路自然學生才能學得會.

例4 （文［2］案例2）已知cos α+2sin α=-，求tan α.

本題為2008年高考數學浙江卷理科第8題（原題為選擇題），文［2］給出兩種解法，均為通性通法，本題還有其他解法，如兩邊平方齊次化等，不再詳述.文［2］給出探究過程：還有更簡捷的解法嗎？學生積極思索，沒有頭緒.教師提示：對一個不等式的兩邊同時求導，可以嗎？試試看.…教師：這位同學真厲害，這種巧合是我特意設計的.因此，對于本題，兩邊求導得到的結果正確，但條件變為cos α+2sin α=m（m∈R），就不一定可行了.

教師精心“預設”，試圖通過此例復習導數的知識，體會在等號兩邊同時求導的解題方法，引領學生走出導數認知上的誤區.精心“預設”僅僅是教師對課堂上可能發生情況的一種應對方案，不一定要按部就班執行，否則就會無視學生的課堂主體地位，變成了灌輸，強行把學生“誘導”到教師設定的軌道上來.從文中可以看出，學生根本就沒有從導數入手的想法，在教師的指令下，嘗試求導，發現巧合，尋找根源.筆者認為完全沒有必要，導數在中學數學中的作用毋庸置疑，鑒于課標要求，學生認知水平，在三角函數、數列中大量介入導數可能導致學生更多錯誤的發生.“清水出芙蓉，天然去雕飾”，學生的自然想法是最重要的，教師的灌輸導致學生學習的囫圇吞棗，消化不良.學生的錯誤應該由學生自覺發現，經過深思熟慮解決，這個過程教師引而弗牽，當好“助產婆”的角色.案例中有可能把學生引入歧途.也許學生會認為三角函數應該多用導數來強化，因為學生沒有解三角方程（不等式）的能力，同時舍棄完整的三角函數體系另尋他法，無異于放棄修好的高速公路不走重建羊腸小道；若學生放棄導數在三角函數中的應用，無疑割裂了知識之間的聯系.一般說來，概念教學中強調正例、反例的應用，能加深學生對問題本質的認識.習題教學中，讓學生的錯誤在自然中流淌，只有學生經歷過的，印象才是最深刻的，教師完全沒有必要預設各種錯誤，牽著學生下水再去救人，可能出現“教師不提，學生不錯，教師強調，學生犯錯”的尷尬局面.

四、“預設”與“生成”要保證適切

學之道在于悟，教之道在于度.“預設”和“生成”不能靠教師的一廂情愿，必須以學生為基礎，因材施教，否則可能導致學生吃不飽或消化不了.

“預設”和“生成”好比課堂教學的兩個翅膀，是課堂教學整體的兩個方面，只有它們滿足科學、高效、自然、適切等，課堂才能飛得更高、飛得更遠.在教學中，應盡可能多的“把時間還給學生，把機會留給學生”，切實理解數學、理解教學、理解學生，在學生知識、思維基礎上，小步前行，將“預設”與“生成”完美演繹，著力提高學生的數學素養.

1.孫居國.高三數學教學中選題的思考［J］.中學數學教學參考（上旬刊），2012（10）：39-41.

2.陳余根.高考數學復習課的現狀分析及對策研究［J］.中學數學教學參考（上旬刊），2012（10）：42-44.

3.章建躍.注重通性通法才是好數學教學［J］.中小學數學（高中版），2011（11）：封四.

4.劉瑞美.合理預設與精彩生成是一個動態的過程［J］.中學數學研究（上半月），2012（5）：4-7.