三角函數扎根“單位圓”

☉江蘇省泗洪中學 祖 飛

綜觀近年各省市高考命題，以單位圓為背景、從三角函數的定義入手成為三角命題新亮點，此類試題，關注三角函數的本質問題，注重考查“過程與方法”，深刻體現了新課標對高考試題的命制要求，下面舉例分析.

一、坐標“形化”定義

圓心在原點，半徑為1的圓稱作單位圓，單位圓的引入使三角函數的定義形象化，單位圓上點的坐標使三角函數值的計算直觀明了.

圖1

（Ⅰ）求tan（α+β）的值；（Ⅱ）求2α+β的值

點評：角的大小是變化的，由此而成為一個角自變量，角自變量的三角比值、如正弦比值在“角變量”的變化時隨之而變，由此正弦值成為“角變量”函數，正弦函數是正弦比值函數的簡稱.

二、坐標“量化”邊長

如果將單位圓視作為動點的軌跡，則此軌跡可看作是：頂點在原點、始邊OA=1在x軸正向上，角的終邊OP的端點P（x，y）的軌跡，其中x，y分別是端點P的橫、縱坐標（如圖2）.

圖2

（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D.記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2.若S1=2S2，求角α的值.

圖3

點評：角的概念可從銳角擴展到任意角，此時角的兩邊與其“所夾的角”雖然不能組成三角形了.但角變量的“三角比”還存在.

三、“同角關系”單位圓的三角式

同角關系中sin2θ+cos2θ=1與單位圓方程x2+y2=1在結構上有本質的聯系，在許多情況下可將所要解決的三角問題轉化到單位圓中，運用圓的有關知識進行解決，使問題變得直觀，常能化繁為簡，化難為易，從而達到優化解題的目的.

圖4

例4 已知θ為銳角，求滿足2cosθ=1+sinθ的θ值.

圖5

點評：以上兩題，用的是同一種方法，構造單位圓，結合斜率知識解題，簡捷而巧妙．在三角問題的求值、求角、證明等過程中，經常會遇到關于sinθ與cosθ的關系式，并且通常使用關系式sin2θ+cos2θ=1進行轉化，使問題得到解決．

四、單位圓與三角函數線

數缺形時少直觀，形缺數時難入微.單位圓為三角函數值與三角函數線建立的數形結合達到了“直觀入微”的境界.

（Ⅱ）求△OPQ面積的最大值.

圖6

點評：通過單位圓,正弦函數、余弦函數和正切函數的值域、定義域及其單調性也直觀可見.微觀而隱蔽的三角函數間關系，通過三角函數線可得到簡便而直觀的解答.

由上面的幾個例題，我們可以看出，單位圓視角下命題，不僅體現了課程標準所倡導的“返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質”，而且能實現對數學學科知識多維度考查，因此，此類試題必將是試題設計的一個好的始點.