圓錐曲線統一定義的探索歷程

☉江蘇省連云港市新浦中學 李 萌

新課標人教A版《數學》選修教材2-1中只介紹了橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義，也就是說學生只知道拋物線準線的概念及準線方程，而不知道橢圓、雙曲線準線的概念及其準線方程.但近年來無論是各地市的調研題、模擬題，還是全國高考題在解析幾何考題上都或多或少的涉及到與橢圓、雙曲線的準線相關的問題.面對這種情形，我們大多數一線教師（包括筆者）的做法就是將圓錐曲線統一定義強行推銷給學生，并通過大量習題的練習強化鞏固，這樣的做法一方面違背了新課程理念，新課程在圓錐曲線章節中刪去了圓錐曲線的統一定義，而我們又毫不保留的推銷給學生并通過重復習題的練習強化、深化，無疑加重了學生學習的負擔；另一方面，由于學生接受新知識，形成新概念需要有一個經歷的過程，直接的推銷等于把新知識灌輸給學生，那么學生真的懂了嗎？真的接受了嗎？回首展望，冷靜反思，留給學生更多的是這個定義怎么來的？

基于上述原因，筆者進行仔細斟酌、認真的思考研究，認為應從橢圓、雙曲線的第一定義出發引導學生來探索圓錐曲線的統一定義，或者從拋物線的定義出發來探索圓錐曲線的統一定義更加切合學生思維的最近發展區，消除學生之前的種種疑惑.

一、從橢圓、雙曲線的定義出發去探索圓錐曲線的統一定義

1.從橢圓的第一定義出發探索橢圓的第二定義

如何從上述定義中找出橢圓的準線，探索出橢圓的第二定義呢？我們可以引導學生從建立橢圓方程開始.

設M（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c＞0），那么焦點F1，F2的坐標分別為（-c，0），（c，0）.又設M與F1，F2的距離的和等于2a.由橢圓的定義知a＞c.

由橢圓的定義得方程

對方程①的左邊施行分子有理化得

對上式化簡整理得

由①與②聯立

由于上面兩個方程式是從方程①等價轉換來的，所以橢圓的定義等價敘述為：平面內到定點F的距離和它到定直線l（點F不在直線l上）的距離之比是常數e（0＜e＜1）的點的軌跡是橢圓.類比拋物線的定義，點F是焦點，直線l是準線，e是離心率（橢圓的第二定義）.

2.從雙曲線的第一定義出發探索雙曲線的第二定義

對于雙曲線，我們可引導學生類比橢圓的探索方法，將新課標教材A版《數學》選修2-1第52頁給出雙曲線的定義等價的敘述為：平面內到定點F的距離和它到定直線l（點F不在直線l上）的距離之比是常數e（e＞1）的點的軌跡是雙曲線.點F是焦點，直線l是準線，e是離心率（雙曲線的第二定義）.

這樣，我們結合拋物線的定義及橢圓、雙曲線的第二定義，會得到圓錐曲線的統一定義：平面內到定點F的距離和它到定直線l（點F不在直線l上）的距離之比是常數e的點的軌跡是圓錐曲線，其中F是焦點，直線l是準線，e是離心率.（Ⅰ）當0＜e＜1時，圓錐曲線是橢圓；（Ⅱ）當e＞1時，圓錐曲線是雙曲線；（Ⅲ）當e=1時，圓錐曲線是拋物線.

二、從拋物線的定義出發來探索圓錐曲線的統一定義

新課標教材A版《數學》選修2-1在第65頁給出了拋物線的定義：平面內與一個定點F和一條定直線l（點F不在直線l上）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.

那么，橢圓、雙曲線是否也能通過到定點的距離與到定直線的距離之間的關系來定義呢？我們引導學生做如下的探索.

類比拋物線的定義先進行合理猜想：平面內到一個定點F的距離是它到一條定直線l（點F不在直線l上）距離的λ（λ＞0）倍的點的軌跡是圓錐曲線，F叫做焦點，直線l叫做準線.

這個猜想是否成立？需要大家去驗證.

驗證：為了和拋物線方程的建立相一致，我們取經過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立直角坐標系.

（?。┤籀?1，方程③表示拋物線y2=2px（p＞0）.

（ⅱ）若0＜λ＜1，則方程③可化為

（ⅲ）若λ＞1，則方程③可化為

綜上可知，猜想成立.于是我們就得到圓錐曲線的統一定義：平面內到定點F的距離和它到定直線l（點F不在直線l上）的距離之比是常數e的點的軌跡是圓錐曲線，其中F是焦點，直線l是準線，e是離心率.（Ⅰ）當0＜e＜1時，圓錐曲線是橢圓；（Ⅱ）當e＞1時，圓錐曲線是雙曲線；（Ⅲ）當e=1時，圓錐曲線是拋物線.

三、結語

維果茨基的“最近發展區理論”，認為學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，另一種是學生可能的發展水平.兩者之間的差距就是最近發展區.因此我們的教學，只有針對學生思維的最近發展區的教學，才能促進學生的發展.

圓錐曲線統一定義的探索是在學生已有的圓錐曲線第一定義的知識基礎上進行的教學，通過教師的引導，學生的參與探索，使他們零距離的感受到圓錐曲線統一定義的形成不是“無本之木，無源之水”，而是在已有知識的基礎上自然形成的，這樣的教學能促使學生創新能力的發展，提高學習數學的興趣.