“數學化”思想在導數概念教學中的應用

☉貴州師范大學數學學院 吳沛東

☉貴州省貴陽市第二中學 盧焱堯

☉貴州師范大學數學學院 夏小剛

數學化思想突出地表現為具有強烈的“用數學”的意識.人們運用數學的方法觀察現實世界、分析研究各種具體現象，并加以甄別、整理、歸類，以發現其規律，這個過程就是數學化.數學的產生與發展本身就是一個數學化的過程，人們從結繩記事或石塊堆集形成數的概念；從測量、繪畫形成圖形的概念，是數學化；數學家從具體的置換群與幾何變化群抽象出群的一般概念，這也是數學化.數學的整個體系，作為充滿著各種各樣內在聯系與外部關系的整體結構，它并非是一個僵化的、靜止的框架，它是在與現實世界的各個領域的密切聯系過程中發生、形成并發展起來的.就像線性函數起始于自然和社會中的比例關系，數量積開始于力學，以及導數開始于速度、加速度等.所以說，整個數學體系的形成就是數學化的結果.

一、數學化的涵義

1.“數學化”的基本對象

弗賴登塔爾認為：數學化就是數學地組織現實世界的過程.同時他所強調的數學化的對象可分為兩類，一類是現實客觀問題——事物，另一類是較為具體的數學問題即數學本身.

需要強調的是，數學化是一個過程，是從問題開始，由實際問題到數學問題，由具體問題到抽象概念，由解決問題到推廣應用的一個教育全過程，而不是方程、函數、向量等具體的數學素材.把數學化作為數學課本教學的組成部分，是要使課本成為學生自己去“發現”一些已有數學結果的輔導書［1］.

2.“數學化”的兩種方式

弗賴登塔爾引用了埃德里安·特雷弗斯（Adrian Treffers）關于數學化的理論.特雷弗斯用垂直和水平兩個方向表示數學化，垂直方向由低到高是指數學的發展程度，即對數學本身進行數學化（從符號到概念的數學化），通俗地講，在數學范疇之內對已經符號化了的問題作進一步抽象化處理.既可以是某些數學知識的深化，亦可以是對已有的數學知識進行分類、整理、綜合、構造，以形成不同層次的公理體系和形式體系，使數學知識體系更系統、更完美.

垂直數學化過程可表示如下：猜想公式→證明一些規則→完善模型→調整綜合模型→形成新的數學概念→一般化過程（現實的、構造的）.

水平方向是指不同的現實（包括數學本身）內容即對客觀世界進行數學化（從實際問題轉化為數學問題的數學化），通俗地講，發現實際問題中的數學成分，并對這些成分做符號化處理.結果是數學概念、運算法則、規律、定理和為解決具體問題而構造的數學模型等.數學化可以包括公理化、形式化以及模式化.

水平數學化過程可表示如下：從背景中識別數學→圖示化→形式化→尋找關系與規律→識別本質→對應到已知的數學模型（現實的，經驗的）.

弗氏認為：任何數學都是數學化的結果，不存在沒有數學化的數學，不存在沒有公理化的公理，也不存在沒有形式化的形式［2］.弗賴登塔爾指出數學學習過程是垂直和水平兩個方向的數學化的過程.

特雷弗斯從數學化的角度出發，對教學過程的模式區分為如下四種（如表1）：

表1 “數學化”的教學模式

表中“+”表示“有”，“-”表示“沒有”，所示的四種模式是根據垂直和水平兩個方向所強調的程度不同來區分的［3］.

弗賴登塔爾教授和他的同事們的研究表明，按現實模式學習數學，學生能達到較高的數學化水平.

3.“數學化”教學思想的實質

“數學現實”與“數學化”這兩點合起來構成了現實數學教育思想的精髓，它可以對數學化教學的含義做出科學的闡釋，所以說“數學化”是數學現實教育的主題.大量心理學研究表明，人們在理解數學知識時，如果有了具體事物的支持，從實際情境入手，再逐漸過渡到邏輯思維，這樣比直接接受理論知識要理解得更深刻，記憶得更牢固.

那么，“數學化”的真正含義是什么？目前，大多數人對“數學化”的理解是：數學地觀察、思考實際問題，并且應用數學知識來解決實際問題.事實上，前面的理解不夠全面，“數學化”還應包括：對現實世界的客觀事物的數學化，實現數學知識的“再創造”.由此可知：“數學化”不僅是數學知識的應用，也可以是數學知識的“再創造”.圖1可視為“數學化”的全面理解.

圖1“數學化”教學思想的實質

所以，我們可以把數學化的含義概括為：人們運用數學的語言、知識、方法、思想、觀點等來觀察、分析、研究客觀世界中的各種問題和現象，并加以整理組織，得到相關知識和規律的過程.

二、新課標下基于“數學化”思想的導數概念教材分析

1.導數概念教學內容的變化

自2003年《普通高中數學課程標準》實驗稿（以下簡稱《標準》）頒布后，不同版本的高中數學教材相繼出版.2004年秋，山東、廣東、海南、寧夏等四個省區作為第一批實驗省區開始使用新教材.

《標準》對“導數及其應用”內容的要求相比以往教材有很大的變化，要求把導數作為一種重要的數學思想、方法來學習，提高對導數應用性的要求，降低了對求導計算和定積分計算的要求.《標準》的定位是：用導數反映的變化率思想研究初等函數的性質.首先，中學微積分不宜求全，不必從一般極限概念講起，而是直接引入導數，即變化率的思想（它是人類思維進步的里程碑）.當需要涉及極限時，只要直觀認識即可.這樣，把完整的微積分理論放到大學，中學階段學習導數，既為大學做鋪墊，也為日后不學微積分的學生提供理解變化率思想的機會.其次，中學講導數有助于進一步理解函數的變化性態.例如，可以從觀察y=x2的切線的斜率開始，判斷它的單調下降、上升區間和極值；高中階段用導數求單調區間、求極值、證明不等式，可以體現它在中學數學里的價值.

來自實驗地區的相關信息表明：“導數及其應用”作為《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（以人教版教材為例，以下簡稱《新教材》）的一個重要模塊（選修2-2），它加大了由傳統教材的“常量數學”向“變量數學”傾斜的力度，體現了新一輪基礎教育改革課程內容選編所應遵循的原則：“時代性、基礎性、大眾性、選擇性”［4］.其地位和作用已引起國內數學教育界的廣泛關注.導數融數形于一體，既介紹求導的運算，導數的幾何意義，又闡述根據導數判斷函數在給定區間內的單調性，以及導數在日常生活中關于極、最值問題的應用.其應用價值不言而喻，這部分內容的選取和編排就現階段來看是合適的，更是必要的.

2.導數概念教學的基本要求

在導數概念的引入方面，《標準》要求：通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵；通過函數圖像直觀地理解導數的幾何意義［5］.教學內容與要求可用圖2來表示.

圖2

可見《新教材》對該模塊的處理重在突出導數概念的本質，而“不是在學習一般極限的基礎上，把導數作一種特殊的極限（增量比的極限）來處理，而是直接通過實際背景和具體應用實例——速度、膨脹率、效率、增長率等反映導數思想和本質的實例，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，認識和理解導數概念，在對實際背景問題研究的基礎上，抽象概括出導數的概念”［6］.這種直觀引入的方法，由簡單到復雜，由直觀到抽象，既體現“數學化”的實用性和產生源頭，更有利于高中生的接受與理解.因此，高中階段的教學任務應是側重培養學生對“變化率”的認識，通過函數的圖像加深學生對導數概念的理解.

三、基于“數學化”思想的導數概念教學設計

1.導數概念的引入

在現實生活中，大家經?？吹絻τ凸?、拱形涵洞等設計與建筑，除了美觀和利用力學原理外，其科學性和實用性與我們要學習的導數息息相關！接下來請看兩個身邊的例子.

示例1：商店里的罐裝汽水、可樂、啤酒等，大多是圓柱鋁罐，這是為什么呢？

示例2：如果容積不變，什么形狀的包裝用料最??？

實際上，這樣的問題都可以歸結為求函數的最值問題.一般函數求最值很簡單，但對于一些復雜函數我們用什么辦法呢？今天學習的導數就可以解決這樣的問題！導數是解決函數極、最值問題的有力工具，它不僅可以解決極、最值問題，還能解決一些復雜曲線的切線問題.

【設計意圖】讓學生明白身邊實例，是學習新課的最好素材，為下面知識講解打下伏筆.

（1）橫向數學化——由現實世界轉向數學知識

師：大家回憶一下，平均速度的文字敘述和計算公式是什么？

生1：平均速度是指在某段時間內物體運動的位移與所用時間的比值.它是矢量，有方向性；表示物體在時間間隔△t內的平均快慢程度.

生2：△s=s（1）-s（2）；△t=t（1）-t（2）；平均速度=△s÷△t.

我們知道，當運動員從10米高臺跳水時，從騰空到進入水面的過程中，不同時刻的速度是不同的.假設t秒后運動員相對地面的高度為：H（t）=-4.9t2+6.5t+10，在2秒時運動員的速度為多少？［7］

解：該運動員在2秒到2.1秒（記為［2，2.1］）的平均速度為

同樣，可以計算出［2，2.01］，［2，2.001］，…的平均速度，也可以計算出［1.99，2］，［1.999，2］，…的平均速度（如表2）.

表2 無限小時隔平均速度的計算

師：大家可以看到，當時間間隔越來越小時，平均速度趨于一個常數，這一常數（13.1）就可作為該運動員在2秒時的速度！同學們考慮：為什么可以這樣表示？這樣表示的理論依據是什么呢？

【設計意圖】循序漸進，激發學生的興趣和深思，挖掘深層次內涵.

（2）回顧舊知，引導學生研究實際問題

圖3 割、切線的漸近過程

師：（幾何畫板演示，如圖3所示）已知曲線C是函數y=f（x）的圖像，M是曲線上一點，坐標為（x0，y0）.在點M附近取一點N，坐標為（x+△x，y+△y），分別過M、N作MP∥x軸，作NP∥y軸.設割線MN的傾斜角為β，切線MT的傾斜角為α，那么MN、MT傾斜角的正切值之間有什么關系？用△x、△y表示.

師：那么割線MN的斜率為多少？

師：現在M點不動，N點沿著曲線順時針運動，并且無限地向點M逼近，大家觀察N點的運動情況.（幾何畫板演示）這個過程表示為△x→0.這時這條割線MN與點M的切線是什么關系？

生眾：與在點M處的切線重合.

師：我們是通過運動的方式得到切線的，那能不能根據這種過程來定義切線呢？請同學們利用幾何畫板，畫出你喜歡的一條曲線，按照老師的做法，看是否可以得出同樣的結果？

師：（學生利用幾何畫板進行嘗試）怎么樣？大家的結論是什么？

生4：我們可以這樣定義切線：當點N沿著曲線順時針無限接近M點時，割線MN的極限位置叫做曲線在點M處的切線.所以可以用割線MN的斜率的極限，定義曲線在點M處的切線的斜率.

師：我們通過觀察點N的運動得到了切線.因為運動的過程就是取極限的過程，所以可以用極限來定義切線和切線的斜率.

這個環節通過幾何畫板演示，學生經歷探索曲線的切線方程的過程，體會到抽象的數學問題轉化為形象化數學問題的方法.從而，培養用運動的眼光去理解數學問題的能力，感受從實際問題的探索中，嘗試幾何畫板的操作技能，發現極限和導數等概念的應用價值.增強了學生對數學活動的興趣和自信心！

【設計意圖】由生活到實際問題步步逼進，培育學生主動思考，強化知識遷移.

2.導數概念的理解

（1）縱向數學化——應用學科知識，鏈接遷移，培養學生發散思維

師：同學們，速度是我們較常見且熟悉的概念，大家是否知道瞬時速度和平均速度之間也具有類似的極限關系呢？請大家討論一下！

生5：（討論后）要確定物體在某一點M處的瞬時速度，從M點起取一小段位移S，求出物體在這段位移上的平均速度.正如前面跳水的例子，當這段位移ΔS→0時，平均速度可以近似地表示物體經過M點的瞬時速度.

師：大家知道，物體的運動規律用函數表示為S=S（t），稱為物體的運動方程或位移公式.現在有兩個時刻t0，t0+Δt，問：從t0到t0+Δt這段時間內，物體的位移和平均速度各是多少？

師：根據對瞬時速度的直觀描述，當位移足夠小，位移由時間t來表示，也就是說時間足夠短時，平均速度就等于瞬時速度.如何來刻畫時間足夠短呢？現在是從t0到t0+Δt這段時間記為Δt.

生眾：時間Δt足夠短，就是Δt無限趨近于0.

師：當Δt→0時，平均速度就越接近于瞬時速度，那么用極限如何表示瞬時速度呢？

【設計意圖】由導數概念的物理意義入手，鞏固舊知，揭示導數概念的本質，為導數概念的引出做最終鋪墊.

（2）討論分析，得出導數的定義

師：這個概念：

①提供了求曲線上某點處的切線的斜率的一種方法；

②切線斜率的本質——函數平均變化率的極限.

下面我們歸納導數的定義：

（3）縱向數學化——導數內部知識調整，總結其幾何意義

圖4 導數的幾何意義

f′（x）表示曲線y=f（x）在點M（x0，f（x0））處的切線的斜率，即f′（x0）=tan α（α為切線傾斜角）（如圖4）.

當f′（x0）=0時，切線與x軸平行，x0稱為駐點；切線方程為：y=f（x0），法線方程為：x=x0.

當f′（x0）→∞時，切線與x軸垂直，切線方程為：x=x0；

法線方程為：y=（fx0）.

當f′（x0）≠0且存在時，點M（x0，y0）處的切線方程為：

【設計意圖】導數概念的縱向數學化提升，揭示它在本學科內的本質及價值.

（4）導數知識遷移升華，體現其應用價值

利用導數的符號判斷函數的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用，它充分體現了數形結合的思想（如圖5）.y-y0=f′（x0）（x-x0）；

圖5

從圖5我們可以得出如下結論：當f′（x0）＞0時，曲線過點M上升；當f′（x0）＜0時，曲線過點M′下降；

一般地，在某個區間（a，b）內，如果f′（x）＞0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f′（x）＜0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減；如果在某個區間內恒有f′（x）=0，則f（x）是常數函數.

注意：在某個區間內，f′（x）＞0是f（x）在此區間上為增函數的充分條件，而不是必要條件，如f（x）=x3在R內是增函數，但x=0時f′（x）=0.也就是說，如果已知f（x）為增函數，解題時就必須寫f′（x）≥0.

【設計意圖】導數概念進一步升華，回歸生活體現其價值精髓——橫、縱數學化的辯證統一，源于生活，服務于生活！

“數學化”思想是數學認識從感性上升為理性的必由之路.該思想的培養不是一朝一夕的事情，這項任務應該貫穿于整個數學教育的過程中.重要的是要在教學過程中有意識地體現數學化的思想，培養學生數學化的意識，并采取有效的措施滲透和強化這一思想.通過數學化與導數概念教學的認識，提出與導數概念教學相關的兩點建議：

其一，把握導數的本質，處理好展現數學與發現數學的邏輯關系：

導數的概念教學完全可以還原牛頓的最初目的——確定變速運動的速度，完全可以還原萊布尼茲的最初目的——定義切線的概念，但二者并沒有給出完全的形式化定義，更沒有建立完整的極限理論，所以我們完全可以不受大學數學教材體系的局限，不用邏輯發展的手段提出定義，而是還原導數“創造”的本質，還原導數“再創造”的思維過程，教給學生高等數學的思維過程.

其二，把弗賴登塔爾的“數學化”思想融入教學，處理好現實化與數學化的關系：

數學教育的正確途徑應是現實的數學化途徑，是數學抽象發展與現實世界的緊密結合.導數教學所需要的課程體系應該全面而完善地體現數學化的正確發展，既要強調現實基礎，又要重視邏輯思維，幫助學生實現向高等數學思維的轉變.以學生的實際思維方式為基礎，將形式數學本身置于人類活動的觀點中，設法把復雜的人類思維組織成一個邏輯體系.從而，為學生提供高層次數學思維訓練平臺，提高數學素養.

1.張奠宙，宋乃慶.數學教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2 0 0 4.

2.H·弗賴登塔爾.唐瑞芳譯編.弗賴登塔爾教授關于數學教育的問答［J］.數學教育，1 9 8 8（2、3、4）.

3.《2 1世紀中國數學教育展望》課題組.2 1世紀中國數學教育展望(第一輯)［M］.北京：北京師范大學出版社，1 9 9 3.

4.繆雪松.微積分思想發展史的教學啟示［J］.數學教育研究，2 0 0 4（1）：3 6-3 7.

5.華東師范大學數學系.數學分析（上）［M］.北京:高等教育出版社,2 0 0 1：8 7-1 6 0.

6.教育部基礎教育司、師范教育司組織編寫《數學課程標準研修》［M］.北京：高等教育出版社,2 0 0 4：9 9-1 0 0.

7.教育部制訂《普通高中數學新課程標準（實驗）》［M］.北京：人民教育出版社,2 0 0 3：4 4-4 5.