小公式，大作用——從一道課本例題說起

☉江蘇省揚州中學 陳黎黎

一、問題呈現

蘇教版高中數學教材必修4第2.2.3節有這樣一道例題：

圖1

原書證明過程如下：

此結論告訴我們什么？它在結構上有何特點？在向量的知識體系中占據什么樣的地位？有著什么樣的作用？筆者對它產生了興趣，今作此文與讀者探討交流.

二、結論解讀

定比分點的向量式與平面向量基本定理是特殊與一般的關系.平面向量基本定理中的基向量前的系數沒有制約，而定比分點向量式的基向量前的系數和卻等于1.由證明的過程不難發現這正是由A、C、B三點共線導致的.反之，該結論的逆命題也是成立的.（逆推結論的證明過程即得）

重新改寫如下：

三、結論應用

1.系數和問題

此類問題中的若干向量以平面向量共線定理或平面向量基本定理的背景呈現（可能有三點共線的情境亦或沒有），探尋向量表示的系數和的特征.

（1）三點共線情形：

圖2

解后反思：問題中的m、n與點P、Q的位置有關，其值在變，但其倒數和為何為定值？

找到引發這一定值的本質原因才是真正理解并解決它的關鍵.P、Q在動，但這是在P、Q、G三點共線約束下的運動.動中有靜—與定點G共線正是產生定值的本質原因！定值為3正是點G位置的體現！既然與三點共線問題有關，不妨考慮運用文中結論重解此題.

（2）無三點共線情形

這是近年高考向量命題的一個熱點，通常需要解題者構作輔助線，轉化為三點共線后再用此結論.

原解：設∠AOC=α，

即（x+y）max=2.答案為2.

圖3

圖4

2.比值問題

此類問題一般會有一組或多組“X”形出現，這正是出現三點共線情形的一個表現.利用系數和的特點巧設向量可以找到突破口，從而迅速求出比值.

例3 如圖5，設M為正方形ABCD的邊AD的中點，以A為圓心，AB為半徑的圓與以CD為直徑的圓交于點P.N為BP與CD的交點，Q為AN與BM的交點，求證：

圖5

證明：如圖5，連接DP并延長交BC于K，則

3.數量積問題

某些數量積問題若直接由定義運算，十分困難.此時不妨將數量積表達式中的向量用一組基底來表示（對于出現三點共線的情形，則可考慮運用定比分點公式的向量形式），之后再進行運算，可能會收到意想不到的效果.

圖6

四、拓展延伸

圖7

證明：如圖7所示，延長AO交BC于D.

1.徐稼紅.全日制普通高中課程實驗教科書數學（必修4）［M］.南京：江蘇教育出版社，2007.

2.張景中，彭翕成.繞來繞去的向量法［M］.北京：科學出版社，2010.

3.熊斌，馮志剛.高一年級奧數教程（第五版）［M］.上海：華東師范大學出版社，2010.