排序原理在不等式證明中的應用

☉寧夏彭陽縣第三中學 王伯龍

人教A版數學選修專題4-5《不等式選講》模塊中給我們介紹了柯西不等式與排序不等式，是課標教材中新增加的內容，也是高考中的選考內容.關于柯西不等式的應用倍受青睞，多見于各級各類考試的試題中或公開發表的刊物上，而排序不等式卻很難見到，對于這樣一個形式簡單，結構優美的不等式似乎被人們淡忘，其實它在證明不等式中起到舉足輕重的作用.

一、排序不等式及其另一種表示形式

排序不等式（又稱排序原理）：設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn，即反序和≤亂序和≤順序和.為了便于研究問題，我們令矩陣

二、排序原理在不等式證明中的應用

1.運用排序原理證明教材中的不等式

例1 已知a，b都是正數，a≠b，求證a3+b3>ab2+a2b（文［1］第41頁習題）.

證法1：由對稱性，不妨設a>b>0，于是有a2>b2>0，則順序和為a3+b3，反序和為ab2+a2b，由排序原理得a3+b3>ab2+a2b.

評析：對于這樣一個簡單優美的不等式，從兩個不同的角度出發，用排序原理證明別具獨特，回味無窮.

2.運用排序原理證明數學競賽中的不等式或較難的不等式

評析：這是一道經久不息的經典賽題，流傳至今，證法多達幾十種，但用排序原理證明還尚未見到.

故原不等式成立.

評析：通過合理的排序，使一個原本較難的不等式賽題便可得到輕松愉快的證明，證法新穎獨特.

評析：原文的證法是先構造了一個令人十分費解的復雜函數，接著研究函數的單調性，最后再利用單調性進行證明，且證明過程過于復雜，不容易想到，而用排序原理證明則有心曠神怡的感受.

總之，用排序原理證明一些對稱不等式問題的關鍵，是合理的構造出兩個數列，進行恰當的排序.然而，這一過程奧妙無窮，需要我們不斷地思考、分析、探究、總結經驗才能游刃有余.排序原理形式簡單，結構優美，為不等式的證明增添了一道靚麗的風景線.

1.普通高中課程標準實驗教科書 數學選修4-5不等式選講［M］.北京：人民教育出版社（A版），2007.