初探中學數學教學難點確立依據與突破策略

☉山東省東營市第一中學 劉愛云

不管課程如何改革，教學方法如何創新，數學教學都離不開對數學知識重點和難點的深入思考與分析，只有學生掌握了重點、突破了難點，課堂學習才是有效的.那么，哪些知識點是中學數學的難點？難點形成原因是什么？如何突破？這一系列問題就很值得研究，筆者對此做一些初步探討.

一、難點確立的主要依據

（1）數學知識本體的絕對難度；（2）學生主體的認知相對難度；（3）課標與考綱的難度要求.

百度百科對“難點”是這樣解釋的：問題難以解決之處；對“教學難點”的釋義是：教學難點是指學生不易理解的知識或不易掌握的基本技能技巧.由此我們可以得出：難點確實是客觀存在的，而且主要指向學生的學習，是對學生而言的.數學因高度的抽象性、嚴謹性等學科特點，給學習者帶來的困難相對來說可能要多些（正因為“難”，國外一些發達國家將數學作為選拔和培養精英的“篩子”，如英國的律師大學要進行嚴格的數學訓練，美國的西點軍校把高深的數學課程設置為必修基礎課），但作為中學數學，我們認為還是以“知識本體自身所具的絕對難度、學生主體的實際認知相對難度、課標與考綱的難度要求”三維指標為難點確定依據，操作時要充分考慮、權衡三者之間關系.

案例1“函數概念”

從數學知識自身絕對難度分析.函數概念歷經三百多年，通過歷代數學家多次抽象概括，由“變量說”到“對應說”，內涵豐富，思想精深，函數概念的高度抽象性、復雜性、隱蔽性和形式化要求確立了函數的絕對難度.

從學生主體認知難度分析.一是觀念轉變的困難，有從常量的靜態到變量的動態的首次華麗轉身，也有從“變量說”到“對應說”的二次蛻變；二是短時再發現、再創造課堂學習與真實函數概念產生、形成和發展背景存在巨大的時空差距；三是不同學歷學生在認知心理和能力上存在客觀差異.總的來說，從認知心理層面來看，函數概念學習更多的是順應過程，要求學習者更多的自我反省和調整，這是造成主體認知困難的主因之一.

從課標與考綱的難度要求分析.課標認為函數概念的學習不是幾課時就一蹴而就，而需螺旋上升，貫穿整個數學的學習過程，作為中學數學核心概念，高考對函數的考查保持足夠的深度和難度要求，以2012年湖南省理科試卷為例，選擇題最后一題是函數題，解答題最后一道壓軸題是函數題，倒數第三題是一道函數模型的應用題.這些題得分很低，難度很大.函數的難，與中國的高考“國情”需要有很大的相關性.

需要說明的是，“難點”是一個相對概念，通過學習，它也會發生變化.有的難，難在內涵思想深邃，如微積分概念、無限的思想等；有的難，難在變換技巧的不易把握，如證明不等式的構造與放縮；有的難，難在運算的繁雜冗長，如解析幾何多元參變量的討論.學習是一個漸進的過程，從無知，到知之較少，到知之較多，甚至大徹大悟.教學難點的確定，要注意范圍和分寸的把握，就是“不超綱”；要注意學生的可接受性，避免隨意拔高而“曲高和寡”.

二、難點突破的策略探尋

難點的突破可以從宏觀與微觀、教法與學法、知識與思維、技術與心理等不同角度切入，我們認為以下幾點可以作為難點突破策略或原則在教學時予以遵循或參考.

1.分散難點，各個擊破

一節課中難點的設置個數宜少而典型，難點突破視角宜開放且重在反省.

難點之所以為難點，主要表現為學生學起來困難，數學活動中思維滯塞，聯通緩慢.所以數學課堂給學生思考、討論、消化的時間和空間相對來說就要更足些，這就意味著在一節課中難點的設置不宜多，“貪多不化”，另一方面，難點的突破，關鍵要打開學生被束縛的視角和思維，讓他們敢想、會想.教師的工作，重在難點的精心規劃，設置富于挑戰的問題，引導學生思考、探索和交流.需要指出的是，有時僅依賴于一節課，一兩道題就將難點突破可能不太現實.雖然我們努力追求“舉一反三”，可是事實上，教學中很多時候卻要“舉三反一”，有些比較頑固的疑難問題，更需要師生與之做“長期斗爭”，所以同一難點在階段復習中要有目的、有計劃地多次出現、反復出現（反復是學習之母，但不是簡單的低層次機械重復），不斷反省總結，促進認知走向深入，從而實現“化難為易”、“熟能生巧”.

案例2“一道絕對值不等式題的多角度證明”

難點分析：“絕對值”和“根號”是學生普遍“恐懼”的“符號障礙”，但又是高考必須要邁過的“坎”；此題以不等式證明為載體，切入視角開闊，思維發散靈活.若放手讓學生充分思考、討論，定能在“符號障礙”突破、“思維通道”打通、“形式化”表述方面幫助他們積累經驗，而思維碰撞、批判反省、個性張揚的經歷有助于提高他們的解題自信.

師：這節課我們只做一道題，但要比比誰的想法多，誰的想法精彩！

一節課下來，前后兩塊黑板都寫滿了，主要有以下思路：

學生1：（平方法）

學生2：（導數法）

學生3：（由斜率思圖）

學生4：（距離結構）

的幾何意義為：點A（a，1），B（（b，1），O（0，0），OA與OB兩邊之差的絕對值小于第三邊AB.

學生5：（勾股定理）如圖1：

圖1

這是在高三二輪復習時“絕對值不等式”課堂上留下的一些東西，翻閱教案，有筆者課后對學生解法的補記，譬如后兩種思路是李治鑫、王博同學課堂上的“生成”.筆者的“課后記”：這堂課“上”的比較好，因為放手，學生很是動了腦筋，給出了一些預設外的好辦法；難點突破，貴在打開心結，開放視野，“辦法總比困難多”.

2.循序漸進、螺旋上升

這是難點突破必須遵循的基本原則，既要在宏觀上有整體協調和把握，也要在微觀上做好精心設計和處理.

張奠宙先生在文［1］中對“講了學生也不會的就不講”的觀點提出了自己的看法：人的認識過程是螺旋上升的，…以后或許也會懂一點.對于教材、課標和考綱要求掌握而有困難的東西，那就更不能回避.實際上現行教材的編寫，比較好的突出和貫徹了循序漸進、螺旋上升兩條原則.仍以“函數概念”這一核心概念為例：必修1從初中銜接過渡，學習對應下的函數定義、研討函數性質、學習冪、指、對幾類具體函數，必修4又以三角函數為載體進一步學習，必修5用函數觀點研討數列、不等式，選修2-2講微積分，用導數研究函數.這一過程就是螺旋上升、逐漸深入.所以不管是宏觀上的整體把握還是微觀上例習題講解，都應以循序漸進、螺旋上升為基本原則，越困難的地方越要這樣處理，這才符合學生認知規律和學習心理.難點的突破要克服急于求成、急功近利的心理.

不過要注意，循序漸進、螺旋上升不是對知識降低要求和消磨困難棱角.張奠宙先生給我們上課時曾打過一個生動的比方：那種對知識降低要求的做法，表面上是為了方便學生聽懂和接受，將學習變得容易，實則對學生的發展有害無益，就像把本來營養不高的袋裝奶粉還不斷地用水稀釋，營養成分少了，長期喝這樣的奶，不利于身體健康.先生的話語重心長，耐人尋味.

3.點撥示范，適時適度

教師要適時、適度的啟發、點撥和示范，但更重要的是要幫助學生樹立相信自己力量的信心和形成鍥而不舍的鉆研精神，高效率地幫助學生理解相關內容，學會分析，化解困難，少走彎路，但教師不能包辦代替.“悟”字構造本身耐人尋味：豎心旁一個吾，我給學生解釋為“我用我心”.學習就得用心，“師傅領進門，修行靠個人”、“世上無難事，只怕有心人”就是這個道理.“吃一塹長一智”、“急中生智”對難點突破也有啟發意義，那就是要能承受住在嘗試中的失敗挫折，學會從失敗中獲取智慧.學習者要將自己置身于急難困境之中，激起解決征服困難的欲望從而產生智慧火花.新課標在課程目標中提出“提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度.”沒有經歷解決一些比較困難的數學問題的心路歷程，談數學的興趣、信心和精神，我們認為是不真實、不可靠的.在文［2］中數學家蘇步青談及年輕時在東京求學的一個故事，有一次有幾個題遇上困難他去問導師洼田教授，老師沒有告訴他解決具體題目，而是送給他厚厚三本相關參考書，他花了數月時間才把書啃完，這幾本書和這段經歷奠定了他“中國微分幾何奠基人”崇高地位，有感于此，他提出“要使學習者相信依靠自己的力量才是最可靠的”的觀點.所以，難點的突破，其意義還不止在一技一法的獲得，更在于把它作為樹立學生相信自己力量的信心和形成鍥而不舍的鉆研精神的良好契機.“攻城為下，攻心為上”，數學難點的突破，要在學生的心理素質和意志品質上下功夫！為什么應用題得分低？因為好多學生害怕到連題目都不敢讀！解析幾何大題運算不過關為什么成為老大難？因為平日能硬起頭皮，一算到底的人少之又少！借用毛主席的話來說“戰略上藐視，戰術上重視”，心理素質和意志品質很重要，其意義甚至超過了數學本身，從更高層面體現了數學育人的價值功能（前面提及的英國律師的數學訓練，美國的西點軍校把高深的數學課程設置為必修基礎課的做法，看重的是數學對思維嚴密嚴謹養成、理性精神確立和頑強堅韌意志品質塑造的巨大作用）.

4.改善教學方法和手段，倡導學習方式的多樣性

教師對教學難點有自己的研究體會很重要，但“只懂數學而不懂教學卻可能使課堂一團糟（M.克萊因語）”，波利亞也表述過類似觀點：只有得法的教學才能發揮數學啟迪心靈的作用.難點突破不太可能依賴單一的教法和手段，應結合具體的教學目標和內容，將不同的教學方式、方法和手段加以綜合應用，達到最佳的優化組合.譬如強調在數學活動和情境下的“做中學”，基于學生在解數學問題時依次發生四種困難“理解性困難、構造性困難、運算性困難和判斷性困難”研究的國外流行數學教法“學習困難分析法”，基于嘗試練習、自學引導的“嘗試教學法”等教學方法在教學難點的突破方面都有較好的借鑒之處；利用實物、模具和多媒體信息技術將抽象問題具體化、直觀化，通過大量實例觀察、比較在獲得豐富感性認識基礎上的抽象概括，運用通俗、生動、形象的語言表述數學概念和問題的技巧等，都可以作為難點突破的重要手段.同樣，加強學法指導很重要，弗賴登塔爾就說：數學知識不是教出來的，而是研究出來的.他的觀點可能太前衛了，但研究性學習、學習的研究態度確實對數學學習太重要了，新課程倡導自主、合作、探究，要求改善教與學的方式，使學生主動地學習，對教學難點突破尤為重要.數學難點的突破，有時僅靠單個學生自身力量太難，為了提高學習的時效性，需要所有學生積極主動地深層次參與，需要學生在充分獨立思考基礎上展開廣泛而有意義的合作、交流，學習小組、學習共同體的構建就很重要.

總之，只要存在教學，教學難點研究就是一個永不結題的課題，對它的思考，就是亙古而又彌新的.

1.張奠宙，趙小平.對所謂“三不講”的質疑［J］.數學教學，2011（8）.

2.蘇步青.數與詩的交融 ［M］.百花文藝出版社，2000，1.