挖掘潛在信息 提高應變能力——談圓錐曲線問題合理解答

☉山東省萊蕪市鳳城高級中學 張淑敏

一道數學題能否解得順利、正確，常常取決于是否能發現和利用好題目中的潛在信息，那么潛在信息，潛在哪里？又如何挖掘與利用呢？下面以圓錐曲線問題為例，探討如下.

一、離開方程 回歸定義

焦點和準線繁衍了圓錐曲線一家!焦參數為公有，離心率為分支，學習中應認清共性與個性的統一.

圖1

二、規避解析 凸顯幾何

解析幾何具有代數與幾何的雙重身份，在解題中如果能巧妙利用其幾何性質，往往收到意想不到的效果.

圖2

由雙曲線的第二定義有

點評：本題解答過程中并未用到方程、坐標系，而是利用雙曲線的幾何性質與第二定義：到定點與到定直線距離之比為定值（大于1）的點的軌跡是雙曲線.由于定義的可逆性，進而從可逆性找到了比例線段，最后用比例關系解出了e的值.

三、定值問題 先定后證

（1）求橢圓C的方程；

（2）過原點O的兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于A，B兩點，證明：點O到直線AB的距離為定值，并求出這個定值.

解：（1）由題意知4a=8，所以a=2.

（2）解法1：由題意，當直線AB的斜率不存在，此時可設A（x0，x0），B（x0，-x0）.

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m.

由已知Δ>0.設A（x1，y1），B（x2，y2），所以

點評：距離既然是定值，那么定值為多少就與參數的取值無關，為此可將直線放在特殊位置，即與x軸垂直，則求出此定值，進而再證明.解法1為通法；解法2考慮到直線參數方程中的幾何意義，將直線設為參數方程，亦可簡捷求解.

四、最值問題 對稱求最

解析：因為拋物線x2=4y關于y軸對稱，所以該拋物線的通徑、準線等，也關于y軸對稱.利用“對稱”可以迅速“解得”所求最值.

假設在焦半徑FB的端點B（x0，y0）作切線能使△ABM的面積S取得最小值，由于拋物線x2=4y關于y軸對稱，所以在焦半徑FB的端點B（x0，y0）關于y軸的對稱點A（-x0，y0）作切線也能使△ABM的面積S取得最小值.

按對稱性，此時的AB就在拋物線的通徑上.

點評：對稱圖形的最值，也保留著對稱性，對稱圖形的定值也參與對稱性之中.在對稱位置上尋找最值點，是此類圓錐曲線最值問題的常用策略.

五、垂直問題 問解向量

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N（M，N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓C的右頂點A.求證：直線l過定點，并求出定點的坐標.

由已知垂直關系，則有（2-x2）（2-x1）+y1y2=0，其中y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，即

當m+2k=0時直線恒過點（2，0），與點A重合，顯然不符合.

點評：平面向量為平面解析幾何增添了更加鮮活的生命力，一方面，利用平面向量，可以簡潔而清晰地敘述圓錐曲線有關問題的條件和待求解的問題；另一方面，借助平面向量這一工具，也可使有些圓錐曲線垂、夾角問題得到簡捷的解法.