追尋高考數學試題中的多元文化元素

☉江蘇省宜興中學 張海強 吳華平

《2013年高考數學科考試大綱（新課標）》在“個性品質要求”中指出：個性品質要求是指考生個體的情感、態度和價值觀.要求考生具有一定的數學視野，認識數學的科學價值和人文價值，崇尚數學的理性精神，形成審慎的思維習慣，體會數學的美學價值.這一要求如何在兼具選拔與導向功能的高考中落到實處呢？回眸歷年高考試題，筆者發現多元的數學文化元素在高考試題中的滲透是實現這一考查要求的主要途徑.下面即跟隨筆者的腳步去追尋高考數學試題中的多元文化元素，領略數學文化在激烈的考試競爭中給我們帶來的力量、傳承、影響、情懷和溫暖.

一、數學史料中的文化元素

畢達哥拉斯學派對自然數可謂情有獨鐘，對其作了多方面、系統的和深入的考察.他們發現了親和數：如果每個數是另一個數的真因數之和，即兩個數是親和的，如284和220.

他們研究了“形數”，其中包括三角形數，正方形數，五邊形數等，這些數都被看成是某些幾何圖形中點的數目，許多關于形數的有趣定理能以純幾何的方法來證明.2012年湖北省高考文科第17題即是以此為背景編擬的.

試題引用：傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數.他們研究過如圖所示的三角形數：

圖1

如圖1，將三角形數1，3，6，10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}，可以推測：（Ⅰ）b2012是數列{an}中的第______項；（Ⅱ）b2k-1=______.（用k表示）

畢達哥拉斯學派還研究完全數——等于它的真因數之和的數，如6=1+2+3、28=1+2+4+7+14.而回文數的研究則可以看成畢達哥拉斯學派精神的延續，2012年湖北省理科第13題即考查了回文數.

試題引用：回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數.如22，121，3443，94249等.顯然2位回文數有9個：11，22，33，…，99；3位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.則（Ⅰ）4位回文數有______個；（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文數有______個.

二、數學題材中的文化元素

1.擺線

圖2

2.阿波羅尼斯圓

3.費爾馬點

費爾馬被譽為“業余數學家之王”，他與笛卡爾分享創立解析幾何的榮譽，同時也是微積分的杰出先驅者；是現代數論的奠基者；與帕斯卡、惠更斯一起被稱為概率論的創始人.他提出的費爾馬大定理被喻為“會下金蛋的鵝”.它的證明持續了300多年.

費爾馬點問題最早是由費爾馬在一封寫給意大利數學家托里拆利（氣壓計的發明者）的信中提出的.托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題，并系統地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關的問題也被稱作費爾馬-托里拆利-斯坦納問題.

費爾馬點：在一個三角形中，到3個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點.具體位置分兩種情況：

（1）若△ABC的3個內角均小于120°，那么3條距離連線正好三等分費馬點所在的周角.所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心.

（2）若三角形有一內角不小于120°，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點.

2008年江蘇高考第17題即為求△APB的費爾馬點.

圖3

試題引用：如圖3，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=20km，CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現要在該矩形ABCD的區域上（含邊界），且與A、B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm.

（Ⅰ）按下列要求寫出函數關系式：

①設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數關系式；

②設OP=x（km），將y表示成x的函數關系式.

（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數關系，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短.

三、數學史籍中的文化元素

《九章算術》是中國在古代第一部數學專著，堪與西方的《幾何原本》相媲美，被尊稱為“算經之首”.其內容包括方田、粟米、衰分、少廣、商工、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，故名《九章算術》.2012年湖北高考理科第10題即來源于《九章算術》的少廣章.

四、數學名題中的文化元素

斐波那契，意大利數學家，西方第一個研究斐波那契數列，并將現代書寫數和乘數的位值表示法系統引入歐洲，其代表作為《算盤書》、《幾何實踐》.

斐波納契數列，又稱黃金分割數列、兔子數列，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、…，斐波納契數列也可由如下被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥2，n∈N*）.在現代物理、準晶體結構、化學、自然界等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1960年起出版了《斐波納契數列》季刊，專門刊載這方面的研究成果.2012年上海高考文科14題和2012年江西高考理科第6題均以斐波那契數列為基礎加工設計而成.

試題引用2： 觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，則a10+b10=（ ）.

A.28 B.76 C.123 D.199

五、數學人物中的文化元素

1.狄利克萊

狄利克萊（Dirichlet，1805-1859），德國數學家.他是解析數論的創始人之一，他在數論方面關于費爾馬大定理，先后給出了n=5，n=14時無整數解的證明.他著有《數論講義》，對高斯的《算術研究》作出了清楚的解釋并有自己的獨創，提出了著名的狄利克萊定理.

A.D（x）的值域為{0，1} B.D（x）是偶函數

C.D（x）不是周期函數 D.D（x）不是單調函數

2.柯西

柯西（Cauchy Augustin-Louis，1789-1857），法國享有盛譽的數學大師.他在純數學和應用數學的功底相當深厚，很多數學的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式.他一生著述豐富，發表論文800篇以上，幾乎涉及當時所有的數學分支，是著名的多產數學家之一，被認為在數量上僅次于歐拉的人，其中以《分析教程》和《關于定積分理論的報告》最為著名.特別是他弄清了彈性理論的基本數學結構，為彈性力學奠定了嚴格的理論基礎.

1.易南軒，王芝平.多元視角下的數學文化［M］.北京：科學出版社，2007.

2.張順燕.數學的源與流［M］.北京：高等教育出版社，2003.