☉江蘇省常熟市中學 查正開
這是2011年西部奧林匹克數學競賽第1題,參加這次競賽的同學普遍感到此題較難上手.實際上,本題是一個貼近高考、背景公平、對稱優美的競賽題,學生解題困難是沒有把握問題的本質,事實上,這道賽題源自人教版選修4-5教材中的一道不等式題.
習題:已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1.
求證:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
分析:這道題目的證明,是運用二元均值不等式的一個典型范例.
證明:由a,b,c∈R+,a+b+c=1,結合均值不等式得:
以上三式相乘即得(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
在賽題中,令1-x-y=z,x+y=1-z,問題即為:
對這一賽題做進一步類比加強,利用換元結合兩角和正切公式(高考重點內容),筆者編擬了一個類似問題,供同學們探究.
上式取等號,
由此可知,競賽題和高考題均源自課本(或高于課本),我們只要透過表面現象,把握問題的本質,分析題目的結構特征,運用所學數學知識和方法,可以使很多看似復雜的問題得以順利解決.