貝特朗悖論與隨機模擬方法

☉湖北省鄂州市吳都中學 吳 超

☉鄂州市新民街小學 阮宏蘭

在中學概率統計部分的學習中，幾何概型問題看似簡單，卻又不好把握.解決幾何概型問題的關鍵在于問題的轉化：準確地構造出可度量的有限幾何區域（樣本空間）.特別要注意的是無限性、等可能性、有限性在解決問題中的體現.在本文中我們用隨機模擬方法來討論幾何概型問題.

隨機模擬方法是利用計算機或者計算器模擬試驗從而計算事件發生概率的一種方法.在模擬試驗過程中我們會重復產生隨機數模擬事件是否發生.利用事件發生的頻率作為事件發生概率的近似估計.這里的隨機數是在一定范圍內產生的數，并且得到這個范圍中的任一個數的機會是均等的.因此對幾何概型中事件發生的概率計算可以用隨機模擬方法實現.下面我們用歷史上著名的貝特朗悖論來說明這個問題.

1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”：從一圓內所有的弦中任意取一條弦，求該弦的長度大于圓內接正三角形邊長的概率.

一、問題分析

二、問題轉化

考慮用計算機或者計算器模擬這個試驗：從單位圓中任意取一條弦，則如何確定弦的位置？

情形1 弦由它在圓周上的兩個端點確定

此時認為弦的兩個端點可以分別在單位圓周上等可能地選取.而單位圓周的周長為2π，在圓周上任取一點為0點，沿順時針方向定義任一點的位置為該點到0點的距離.不妨設兩個端點在單位圓周上的位置為x和y，如圖1，則事件A等價于：

圖1

圖2

計算器或計算機模擬步驟如下：

（1）產生兩組0～1區間的均勻隨機數（共有N對）：x1=RAND，y1=RAND；

（2）經伸縮變換：x=x1×2π,y=y1×2π；

試驗次數為10000時模擬事件發生的概率近似值為0.3373.

情形2 弦由它的中點確定

圖3

計算器或計算機模擬步驟如下：

（1）產生兩組0～1區間的均勻隨機數，x1=RAND，y1=RAND；

（2） 經平移和伸縮變換得到，x=（x1-0.5）×2，y=（y1-0.5）×2；

試驗次數為10000時模擬事件發生的概率近似值為0.2563.

圖4

計算器或計算機模擬步驟如下：

（1）產生一組0～1區間的均勻隨機數（共有N個），x=RAND；

試驗次數為10000時模擬事件發生的概率近似值為0.4984.

結果分析：

同一問題由于對等可能性的不同解讀導致有三種不同答案，相應的樣本空間也不相同.具體如下：情形1中假定弦的兩個端點在圓周上等可能地選取，圓周上任意選取的兩個點組成樣本空間Ω1；情形2.1中假定弦的中點在大圓內等可能地選取，大圓內任意選取的點組成樣本空間Ω2；情形2.2中假定弦的中點在半徑上均勻分布，半徑上任意選取的點組成樣本空間Ω3.

由此可以看出：在解決幾何概型問題時如何選取合適的樣本空間將導致問題的結果迥然不同.不過由于貝特朗悖論本身是一個病態問題，因此這三種答案都不能認為是錯誤的.其中最接近物理學原理的答案應是情形2.1中的答案.