圓錐曲線 離開方程 回歸幾何——一道高考試題的再思考

☉甘肅省蘭州市第二十七中學

甘肅省蘭州市高中數學謝立亞名師工作室 陳鴻斌

題目 （2012年新課標高考試題（理科）第20題）設拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，準線為l，A∈C，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點.

（2）若A，B，F三點在同一條直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到直線m，n距離的比值.

文［1］對此問題進行推廣，得到橢圓、雙曲線的類似結論：

筆者讀后頗受感觸，對此問題進一步研究，得到了幾個新的結論，現介紹如下.

證明：不妨設C為橢圓，如圖1所示，連接AD，AB為圓F2的直徑，所以AD⊥BD.

圖1

設θ為直線m的傾斜角，則有

證明：不妨設C為橢圓，如圖2所示，證明同上.

圖2

證明：如圖3所示，作F1E⊥AB于E，易知△F1F2E∽△BAD.

圖3

證明：同上，故從略.

圖4

證明：以橢圓為例，如圖4所示.

（2）∠F1PF2=120°；

證明同上，故從略.

1.魏澤夫.談一道高考試題的命題背景及其推廣［J］.數學通訊，2013（3）.

2.錢照平.有心二次曲線的心切距［J］.數學通訊，2010（12）.