培養學生數學問題表征能力“三部曲”

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學

江蘇省常熟市殷偉康名師工作室 殷偉康（特級教師）

“問題表征是指根據問題所提供的信息和自身已有的知識經驗，發現問題的結構，構建自己問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉變為內部心理符號的過程”［1］.數學問題表征能力就是指能夠準確表征數學問題的程度，這種表征能力的高低決定著學生數學理解能力的發展水平.因此，在數學教學中，要加強學生數學問題表征的訓練，創設展示學生進行問題表征的情境，開展合理表征的辨析，提升問題表征質量，發展學生數學問題表征能力.本文試從“訓練表征表達——展示表征過程——交流多維表征”三個層次闡述培養學生數學問題表征能力的途徑.

一、訓練學生問題表征的表達能力，提高問題表征的準確性

著名心理學家西蒙指出：“表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦里是如何呈現的，如何表現出來的.”問題表征從形式上來看可分為兩種：一種是內在表征，即學習者將外在的問題信息轉化為頭腦中內在的命題形式，其外在的表現就是學習者能用自己的語言陳述問題的條件和目標；另一種是外在表征，即將問題以文字、符號、圖形、圖表、模型等具體形式表示出來.其外在表征常見的幾種形式：語言表征、符號表征、圖形表征和情境表征等.因此，在課堂教學中教師要注重引導學生把握表征取向，加強問題表征的表達訓練，提高問題表征的準確性.如在學生數學概念形成的教學階段，教師要有針對性地創設情境，使問題表征盡可能和數學概念原型相匹配，幫助學生加深對數學概念的理解和促進學生對數學知識的建構.

問題1：在函數單調性教學中，教師應當有意識地運用多元表征理論展示其多種不同的表征形式，讓學生了解數學問題表征的特點和主要形式，進行問題表征的表達訓練，讓學生逐步掌握問題表征的要領，促進學生建立數學概念的多元表征和深層次理解函數單調性.以函數f（x）=x2-2x為例，闡述其在區間［1，+∞）上的單調性（單調增函數），組織學生進行圖形、語言和符號等表征形式的訓練，提升學生問題表征的表達能力.

圖1

圖形表征：函數f（x）=x2-2x在區間［1，+∞）上的圖像是上升的（如圖1）.

這種表征便于從整體上以圖形的方式直觀地描述函數單調性.

語言表征：當x在區間［1，+∞）上取值時，隨著x的增大，相應的f（x）值也隨著增大.這種表征有利于“函數單調性”這一抽象概念被學生感知和理解.

符號表征：當x1，x2∈［1，+∞）且x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）.這種表征有利于從圖形感知轉向解析關系的認知，促進學生思維活動的有效發展.

學生表征：由上面單調增函數的符號表征可知，函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，所以函數g（x）=（a-2）x-1在（-∞，1］上單調遞增，函數h（x）=logax在［1，+∞）上也是單調遞增.于是原問題轉化為“函數y=g（x）和y=h（x）在各自范圍中都是增函數時，求實數a的取值范圍.”

有效追問能激發學生進行深層次思考，通過辨析和反思，對單調增函數的內涵有了更透徹的理解，要確保函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，除了“函數y=g（x）和y=h（x）在各自范圍中都是增函數”外，還要滿足“g（1）≤h（1），即（a-2）×1-1≤0”.此時，可以重新讓學生進行問題表征.所以理解題意是正確表征的基礎，把握數學概念的內涵和外延是理解題意的前提.

通過問題表征的專題說題訓練，不僅可以提高學生表達問題的表征能力，而且還能使學生對數學問題的表征形成直覺和積累經驗，從而提高學生對問題的深層理解能力和問題表征能力.

二、展示學生問題表征的思維過程，提高問題表征的合理性

問題表征作為解題過程的起點，對數學問題作出的表征是否恰當、合理，對數學問題能否有效解決有著重大且直接的影響.在教學中，大部分教師只注重學生的思維結果，而忽視學生對問題表征的思維過程，從而導致學生對數學問題的認識處于淺層次的理解.因此，在將數學問題展現給學生的時候，要注重創設學生思考、探究問題的時空，為學生問題的解決提供“問題表征”的充足時間，同時還要重視展示學生問題表征的思維過程，分析表征中的錯因，提取和激活其合理成分，讓學生自覺對其思維過程做出調整，修正、完善問題表征.

學生中常見的兩種“頗有爭議”的數學表征：

學生表征1：集合M表示二次函數y=2-x2，集合N表示二次函數y=x2，求M∩N就是求上述兩個二次函數的交點坐標的集合.其解題思路如下：

學生表征2：集合M與N的代表元素是y，是二次函數的函數值組成的集合.求集合M與N的交集就是要找出公共元素，即找出M與N兩個集合中一樣的“y”值.而這兩個集合中的“y”分別等于“2-x2”和“x2”，所以2-x2=x2，解得x=±1，回代y=2-x2或y=x2，得到y=1，所以M∩N={1}.

學生表征1的錯因是對集合的代表元素的含義理解得不透徹，導致問題表征出錯.學生表征2的錯因是沒有認識到集合M與N中的x和y并不是指某個具體的值，而是變量.求交集的實質就是要找出兩個集合中一樣的“y”值，但是兩個集合中一樣的“y”值不一定是由相同的“x”產生.

通過展示學生問題表征的思維過程，引發學生進行思維交鋒，讓學生在辨析、爭論中調整、修改和完善數學問題的表征，逐步形成合理的數學表征.求M∩N的實質就是求集合M與N中一樣的“y”值，集合M與N中“y”分別表示二次函數y的取值范圍.故

在問題解決過程中，隨著自主探究、交流等數學活動的展開，獲得信息的不斷積累，學生會結合自身儲存的信息（知識與經驗）主動地重構問題表征，其數學表征往往從不恰當表征過渡到合理表征，為解題思路尋找到突破口.

三、創設問題多維表征的交流平臺，提高問題表征的靈活性

問題多維表征是解題思路產生的源泉，正確的語言表征是理解問題的前提條件，準確的符號表征是問題解決的信息儲存和加工過程的有效表現形式，適當的圖表表征有助于問題的形象直觀思考，合理的模式表征有助于簡約問題解決的思維長度.在教學過程中，教師要運用啟發性提示語：“你能否根據自己的聯想用適當的方式將問題進行重新表征？”“在遇到困難的情況下，你能否變換問題的表征形式，調整解題思維方向？”激活學生原有的知識塊，通過聯想，誘發學生進行多維表征，并能根據解題的需要與情境的變化做出靈活的轉換.

問題4：已知f（x）=log2（x-2），若實數m，n滿足f（m）+f（2n）=3，則m+n的最小值為______.

通過分析可知，由已知log2（m-2）+log2（2n-2）=3，即log2［（m-2）（2n-2）］=log28，從而得到（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1）.此時，教師要通過適當的提示語，啟發學生運用已有的知識與經驗，靈活表征問題.并展開對問題進行多維表征的交流，讓學生學會變通地表征問題，把握問題的實質.

（這種表征，學生馬上聯想到運用求導方法或基本不等式方法進行求解.）

（這種表征，學生自然會想到運用基本不等式進行求解，但要引導學生注意等號成立的條件.）

表征3：令m+n=s，則m=s-n，代入（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1），得到關于n的二次方程n2-（s-1）n+s+2=0.于是原問題轉化為“關于n的二次方程n2-（s-1）n+s+2=0在n∈（1，+∞）上有實數解時，求s的最小值.”

這種表征，學生可能會束手無策，不會將n2-（s-1）n+s+2=0看做關于n的二次方程，若將此式直接改寫成x2-（s-1）x+s+2=0在x∈（1，+∞）上有實數解時，求s的最小值.這時，學生會聯想到運用判別式法進行求解，教師要強調求出最小值后一定要注意檢驗.

表征4：從圖形表征考慮，由反比例函數及圖像平移知識可知，（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1） 表示雙曲線一支（如圖2），令m+n=s，則其表示斜率為-1的直線.于是原問題轉化為“直線m+n=s與曲線（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1） 有公共點時，求s的最小值.”

圖2

這種表征，學生很快就會從圖像中發現，當直線與曲線相切時，s有最小值.

由此可知，由于對同一數學問題的表征方式不同，使得問題解決的難易程度及效果也不同，適宜的問題表征可以減少運算量，縮短思維過程，優化解題過程.因此，通過對數學問題的多維表征的交流，讓學生把握各種表征的特性與局限性，辨析數學問題的實質，相互啟迪思維，提高學生思維的靈活性，進而獲得合理的解題方案.

總之，在數學教學中，教師首先要引導學生積累知識與數學活動基本經驗，豐富學生的知識與經驗，為提高學生數學問題理解和表征能力奠定堅實的基礎；其次，教師要注重開發學生的元認知，增進學生的元認知體驗，促進學生學習遷移能力的發展；第三，教師要把握數學表征能力的四個層次：復現式的表征能力、轉述式的表征能力、分析式的表征能力和概括式的表征能力，有計劃、有目的地進行問題表征的訓練活動，發展學生直覺思維能力和數學語言轉換能力，從而深化學生數學問題表征能力的培養.

1.胥興春，劉電芝．問題表征方式與數學問題解決的研究［J］．心理科學進展，2002（3）：264-269．

2.郭秀玲，李忠海．學生數學問題表征能力分析［J］．中國數學教育（高中版），2008（9）：2-4．

3.毛良忠．探究多元表征途徑合理解決問題［J］．中學數學教學參考，2012（1/2）：43-45．