探求解題思路的幾種有效策略

☉江蘇省大豐高級中學 姜興榮

解題者探求解題思路的過程，實質上就是解題者依托自己的知識結構、思想方法、解題經驗和思維能力，通過對題目條件、結論及它們之間的關系進行積極主動的思維分析，受其中某些信息的啟示和誘發，萌生解題念頭、探索解題方法的過程.如何進行“積極主動的思維分析”是探求解題思路的關鍵所在，對此，本文結合一些實例談談幾種有效的思維策略，以期拋磚引玉.

一、通法起步、多角度思考

從題目涉及的數學知識出發，直接運用相關數學概念、公式、定理進行解題，是尋求解題思路的首選策略，但未必是最佳解法.多角度地探求問題的解法，往往能獲得很多優美、簡捷的解法，更重要的是鍛煉了思維，發展了能力.

解析一：“分離變量法”是處理不等式恒成立問題的優先之策.

解析二：不等式兩邊平方是化去根號的常用之法.

解析三：由根號想到向量的模是一個新的思考角度.

圖1

二、觀察特征，巧思善構

解題者在長期的數學學習和解題實踐過程中，由于經驗的作用、思維的積淀，會在自己的認知結構中形成一定思維模塊，如具有特定意義的某些符號表達式及相應的處理范式、某些基于基礎知識的引伸性結論及常見運用技巧等.解題時，解題者要善于捕捉蘊含于題意中的某種思維模塊特征，展開聯想，巧妙構造.

解析一：經觀察易知：該函數表達式呈平方和的特征，聯想到距離的知識，可嘗試構造圖形求解.

圖2

過點T作圓與雙曲線的公切線l，設T（x0，y0），

圖3

注：本題也可用導數法直接求解.

三、漸趨縮小，逼近目標

含有多元變量、字母參數的問題是一類比較復雜的數學題型，常常要討論其中一個或幾個變量或參數的取值情況，如滿足條件的某個或某些字母的取值存在性問題，某個變量的取值范圍問題等.

抓住題意中變量、字母間的相互制約關系，利用其中一些變量的取值要求，縮小其他變量或字母的取值范圍，使得問題的討論漸漸趨近求解目標.

解析一：由題意知：字母m，n滿足等量關系，利用n的正整數取值要求，來研究m的取值范圍，進而，從所推范圍中易知m的取整情況.

所以m的可能取值為2，3，4，5，6.

當m=3時，代入②式，解得n=3.

當m≥4時，n被m整除，設n=km（k∈N*），代入②化簡得：

同理，k=sm（s∈N*），代入③式得：2sm2+9=3s（3+4m），

所以s可能取值為1，3，9，代回④式檢驗易得：m=6，再代入②式得n=36.

注：解析二的策略是：將兩個量m，n之間的整除性關系，逐步縮小為較小的整數9是正整數s的倍數關系而獲解的.

四、重新表征、模式轉換

數學題是用文字、符號、圖形三種語言成分呈現的，揭示了一定的數學本質、數學規律，是相應數學內容的語言表征形式.同一個數學問題可以有不同的語言表征形式，故對所給數學題重新進行另一種語言形式的表征，可實施不同數學模式之間的等價轉換，進而為問題求解提供了多種通道.

例4 如圖4，在△OAB中，OP∶PA=1∶2，OQ∶QB=3∶2，連接AQ、BP交于點R，過R作RH∥OA交AB于點H，若OA=1，OB=3，∠AOB=60°，求OH的長.

解析一：向量兼有幾何與代數的雙重特征，本題是用平面幾何語言表述的，可用向量語言對之進行重新表述后，考慮求解方案.

圖4

解析二：解析法也是處理平面幾何問題的重要方法之一，用解析幾何語言重新表述，將問題轉化為解析幾何問題求解，應該值得一試.

以O為坐標原點，直線OA為x軸建立直角坐標系，如圖5.

圖5

注：本題也可用解三角形語言來表征，但需添加輔助線，請讀者一試.

從上述四個“策略”成功運用的歷程中，我們看到：自覺、主動地運用科學的思維策略，有助于快速確立解題思維的著力點，有利于找到解題的最近“攻擊”方向，增強解題的目的性、可行性、創造性，避免解題過程中的盲目性、無效性、被動性.因此，在解題實踐中，重視和加強思維策略的總結、積累與運用，是解題者學會怎樣解題、提高分析問題和解決問題能力的必由之路.

1.（美）喬治·波利亞著.劉景麟、曹之江、鄒清蓮譯.數學的發現：對解題的理解、研究和講授［M］.北京：科學出版社，2006.

2.羅增儒.中學數學解題的理論與實踐［M］.2008（9）.