☉南京師范大學第二附屬高級中學 朱 斌
(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程式;(2)略.
(1)求直線AA1與直線A2B的交點M的軌跡方程;
(2)略.
本文只討論問題的第(1)問,通過探究與思考,欣賞其中的數學美.
圖1
粗一看,兩個問題的條件并無多大關聯,問題的問法卻神似.事實上,題目2中的點A、B與題目1中的點P、Q是等效的(關于x軸對稱).下面以題目2為例展開探究.
一個數學問題可以從多種角度去思考,并且都能得到最終想要的結果,那么這個問題就是一個好問題.上述題目就是這樣一類問題,下面給出幾個不同思考角度的幾種解法.
解法1:設A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),則
解法2:設A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),則
解法3:設A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0).設A1A:y=k1(x+a),A2B:y=k2(x-a).
解法4:由已知直線AA1與直線A2B的交點M,因為A1、M、A三點共線,所以
說明:以上4種解法都可以證明,這里不再重復.
命題2的證明也都可以用上面的4種解法來解決,證明過程是類似的,限于篇幅,這里就不詳述了.
上述題目1(2010年廣東卷理20)就是該命題的特例,簡解如下:
設點M(x,y)是A1P與A2Q的交點,由①×②得
同理軌跡E也不經過點(0,-1).
由題目的左、右頂點分別為A1,A2知,A1和A2是關于y軸對稱,而由點P(x1,y1),Q(x1,-y1)的坐標知,P和Q是關于x軸對稱.若把這兩個對稱關系改變一下,即A1和A2是關于x軸對稱,P和Q是關于y軸對稱,又會出現什么樣的結果呢?
以上是在解題過程中,發現了高考中兩道解析幾何題的數學之美.數學美是數學的魅力之一,數學美是數學能吸引眾多數學愛好者的原因之一.這種數學美,即使是在緊張的應試過程中,也能發現其中的美妙規律,也會獲得美的感受.
因此,像這種蘊含豐富的數學美的題目,應該多出現在各大考試之中,讓更多的人去欣賞數學之美,讓更多的人去喜歡數學,讓考試成為一種賞美的樂事.
1.易南軒.解題中的數學美[J].西安:中學數學教學參考,1998(7):32-34.
2.王林全.數學美的豐富蘊含[J].北京:數學通報,2011(3):48-51.